高中數學解題中應用數形結合思想之探索

李沁芮

(重慶市南開中學 400030)

一、認識數形結合思想

對于高中數學來說，“數”和“形”是其中非常關鍵的構成部分，數量關系主要是以圖象進行直觀體現，而集合圖形內也涉及到數量關系.所以，將“數”“形”進行融合來解答數學問題，這是非常高效的一種解題思想.通過對數形結合思想的實際運用，了解到其中包括兩點內容：(1)以形助數；(2)以數解形.正確運用這兩種方法，可以快速、正確地完成解題.

二、數形轉化的有效方法

針對數形轉化模式進行分析，其中包括三種轉化模式：(1)形轉數；(2)數轉形；(3)數形互轉.其一，形轉數.這種模式一般是按照題目中的已知圖形，經過詳細審題之后便可以創造圖象中隱藏的數量相關性，將幾何圖形所有屬性以數這種形式進行體現.其二，數轉形這種轉化模式，一般是按照問題中的已知假設，畫出相應的圖形，圖形可以表示既有數量關系，從而更加直接地了解數、形本質.其三，數形互轉.這種模式主要是通過數、形之間的相互對立統一，詳細觀察圖形之后，展開數、公式結構的分析，并展開聯想，從而實現轉化，將數學習題原本抽象、空洞的內容便成更為形象且直觀的知識，幫助快速解題.

三、高中數學解題中應用數形結合思想

1.求解方程式習題

高中數學當中涉及到一元二次方程，面對這一類習題的求解，有時我們會遇到一元二次方程根分布的相關問題，這時可以使用二次函數圖象進行求解.

例1 設f(x)=x2-2ax+2，當x∈[-1,+∞)時，f(x)>a恒成立，求a的取值范圍.

解析：運用數形結合思想，可知這道題有兩種解法.

第一種解法：由f(x)>a，在[-1，+∞)上恒成立?x2-2ax+2-a>0在[-1，+∞)上恒成立.函數g(x)=x2-2ax+2-a的圖象在區間[-1，+∞)上位于x軸上方，如下圖可知兩種情況：

綜上所述a∈(-3，1).

第二種解法：由f(x)>a?x2+2>a(2x+1)，令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數的圖象,如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對應的a值分別為1，-3，所以直線l對應的a∈(-3,1).

2.求解函數解習題

函數有各自的表達式以及圖象，解題時可以通過繪制圖形的方式高效完成，展開數學計算也可以求解一些難度較高的問題.

例2 一家運輸公司的運輸設備分別包括7輛載重量6t的A型卡車、4輛載重量10t的B型卡車，駕駛人員為9名.某次該公司承包了每天搬運360t瀝青的工作.已知每輛卡車每日往返次數如下：A型卡車8次，B型卡車6次.每輛卡車每日往返成本費如下：A型車160元，B型車252元.那么每日派出A型車、B型車多少輛，可以將公司成本控制到最低？

畫出可行域圖，保證z=160x+252y取最小值.

在可行域內針對某確定整數y，x取最小整數，也可以先定x，再定y的值，如此可行域內可能成為最優解的可行解如下：(7,1)(5,2)(4,3)(3,4)，將其代入到目標函數中，點(5,2)可以使公式z=160x+252y取最小值，計算可得最小值是1304元.因此，每日派A型車7輛，B型車1輛，這時可以將公司成本控制到最低.

3.求解集合類習題

一般我們面對集合類問題使用韋恩圖的幾率比較大，所謂韋恩圖，即使用圓代表集合，若兩圓相交，則證明集合內有公共元素，若兩圓相離，則證明集合不包括公共元素.如此可見，韋恩圖是求解集合類習題的有效方法.

例3 假設a、b為兩個實數，A={(x，y)|x=n，y=na+b,n∈Z}，B={(x，y)|x=m，y=3m2+15,m∈Z}，C={(x，y)|x2+y2≤144}，是否存在a和b使A∩B≠?和(a，b)∈C同時成立.

解析集合A、B均為不連續點集，已知條件中給出“存在a、b，使得A∩B≠?”這一條件，即代表“存在a、b使得na+b=3n2+15(n∈Z)有解，解為(A∩B時x=n=m).根據主參數a、b，便可明確問題在幾何角度的意義，即動點(a，b)在直線l：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，但原點到直線l的距離不小于12.應用數形結合思想，這道題同樣有兩種解法：

第一種解法：由A∩B≠φ得na+b=3n2+15

第二種解法：這一道題也可以使用代數方法求解.

由A∩B≠?可得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an. ①

由(a,b)∈C可得，a2+b2≤144. ②

將①代入②中可得關于a的不等式：(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0. ③

判別式Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n2)[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2.

∵n是整數,

∴n2-3≠0，Δ<0.

又∵1+n2>0，故③不存在實數解.

∴不存在a、b，使得A∩B≠?與(a,b)∈C同時成立.

綜上所述，數形結合思想在高中數學解題中運用，可以提高解題效率，降低問題難度，這對于增強高中生數學學習水平、綜合素質發展有重要作用.