指數(shù)式比較大小問題的方法探討

李嘉寧

(河北省衡水第一中學(xué) 053000)

一、單調(diào)性法

A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3

C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2

解析y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5.∵y=2x在(-∞，+∞)上是增函數(shù)，∴y1>y3>y2.故選D.

溫馨提示利用單調(diào)性比較大小，關(guān)鍵是化同底.

二、中間變量法

例2 比較1.40.1與0.90.3的大小

解析∵1.40.1>1.40=1,0.90.3<0.90=1，∴1.40.1>0.90.3.

溫馨提示中間量法是指利用性質(zhì)不易比較時，運用0、1等中間量進行比較，從而使問題獲解.

三、分類討論法

例3 比較52x2+1與5x2+2的大小.

思路點拔題中底數(shù)5>1，因此只要討論冪指數(shù)2x2+1與x2+2的大小關(guān)系即可.

解析令2x2+1>x2+2，得x>1或x<-1；令2x2+1

∵5>1，因此當x>1或x<-1時，52x2+1>5x2+2；當-1

溫馨提示分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，運用分類討論法時，首先要確定分類的標準，涉及到指數(shù)問題時，通常在底數(shù)與1的大小關(guān)系確定后，再比較冪指數(shù)的大小.

四、比較法

例4 若00，試比較abc與bac的大小.

五、轉(zhuǎn)化法

1.轉(zhuǎn)化為同底型

溫馨提示本題通過細心觀察轉(zhuǎn)化為同底型然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，其中轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

2.根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪

溫馨提示本題關(guān)鍵也是轉(zhuǎn)化，先將根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪，然后采用作差比較法比較指數(shù)的大小，再按底數(shù)進行分類討論.

分析x1x2>0等價于x1>0且x2>0，或x1<0且x2<0，這樣分別在(0，+∞)，(-∞，0)上比較大小即可.

(2)當x1<0且x2<0時，

六、圖象法

例8 如圖指數(shù)函數(shù)①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的圖象，則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是( ).

A.a

B.b

C.1

D.a

解析根據(jù)圖象可先分為兩類，③④的底數(shù)大于1，①②的底數(shù)小于1，再由③④中比較c,d的大小，由①②中比較a,b的大小.即當指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時，圖象上升，且底數(shù)越大時圖象向上越靠近于y軸，當?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸，故選B.

例9 函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是( ).

A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx)

D.大小關(guān)系隨x的不同區(qū)間而改變

解析∵f(1+x)=f(1-x)，∴f(x)的對稱軸為x=1，由此得b=2，又f(0)=3，∴c=3，∴f(x)=x2-2x+3在(-∞，1)內(nèi)遞減，在(1，+∞)內(nèi)遞增.若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x).若x<0，則3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x).

即總有f(3x)≥f(2x)，故選A.

溫馨提示本題是關(guān)于二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合問題，掌握二次函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)圖象的變化趨勢是解決本題的關(guān)鍵.