圓與軌跡的一組結論

張至君

(山東省淄博市實驗中學高二1班 255086)

1.若一個圓C1內含于另一個圓C2，則與大圓內切與小圓外切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，兩圓的圓心為焦點，其長軸長為兩圓半徑之和；

2.在一個圓內有一點，則過該點且與已知圓相切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，且其長軸長為已知圓的半徑.

3.將圓的橫坐標(或縱坐標)拉伸或縮短為原來的m倍，該圓變成橢圓；

4.連接圓內一定點與圓上任一點的線段的垂直平分線與圓上該點到圓心的連線的交點的軌跡為一橢圓.方橢圓的長半軸與圓的半徑長相等；

5.兩個同心圓較大圓上任一點與圓心的連線與小圓交于一點，從大圓上該點作x軸的垂線， 則過小圓交點向該垂線作垂線，其垂足的點的軌跡為橢圓.

點評由已知點A與圓心F的對稱性，可以猜測是橢圓或雙曲線的兩焦點，同時奠定了利用定義求軌跡方程的基礎．

例2 已知兩圓C1:(x+4)2+y2=9，C2:(x-4)2+y2=169，動圓P與C1外切，與C2內切，求圓心P的軌跡．

分析如圖，由平面幾何知識知，兩圓相切時常連結兩圓心，可利用切點在連心線上及圓心距與兩半徑的關系為突破口，求解此類題．

又16>C1C2=8，所以P點的軌跡是橢圓．

點評利用圓錐曲線的定義解題，是解決軌跡問題的基本方法之一．此題先根據平面幾何知識，列出外切的條件，內切的條件，可發現利用動圓的半徑過渡，恰好符合橢圓的定義．從而轉化問題形式，抓住本質，充分利用橢圓的定義是解題的關鍵．

例3 已知點A1,0、B4,0，動點P滿足PB=2PA，設動點P的軌跡為曲線C，將曲線C上所有點的縱坐標變為原來的一半，橫坐標不變，得到曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)A,B是曲線E上兩點，且AB=2，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值.

當斜率不存在時，△AOB不存在，

綜上所述，可得△AOB面積的最大值為1.

點評對于最值問題，一般是利用函數思想，建立所求量的目標函數，轉化為函數最值問題．要特別注意定義域．