周期函數及其性質的探究

龔凱宏

(江蘇省啟東中學 226200)

一、周期函數的定義

一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.

根據該定義可得到以下兩個性質：

(1)如果f(x)定義在R上，且滿足f(x+a)=f(x+b)，那么f(x)是a-b(a-b≠0)為周期的周期函數

證明因為f(x+a)=f(x+b)，所以x用x-b代換得：f(x+a-b)=f(x)，故命題成立.

(2)如果f(x)定義在R上，且滿足f(x+a)= -f(x+b)，那么f(x)是2a-b(a-b≠0)為周期的周期函數.

證明因為f(x+a)= -f(x+b)，所以x用x-b代換得：f(x+a-b)= -f(x)，x再用x+a-b代換得：f(x+2a-2b)= -f(x+a-b)，因此有f(x+2a-2b)=f(x)，故命題成立.

二、幾個定理

定理1 設函數y=f(x)定義在R上，其圖象關于直線x=a與x=b對稱(a≠b)，則f(x)是以2a-b為周期的周期函數.

證明因為f(x)的圖象關于x=a與x=b對稱，所以f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)則f(2a-x)=f(2b-x).根據性質(1)x用2b-x代換即得：f(2a-2b+x)=f(x)，因此f(x)是以2a-b為周期的周期函數.(當b=0時，它是偶函數)

定理2 設函數f(x)是以2a-b為周期的周期函數，且f(x)的圖象關于x=a(或x=b)對稱，那么f(x)的圖象關于x=b(或x=a)對稱.

證明不妨設b>a,則2a-b=2(b-a)，因為f(x)的圖象關于x=a對稱，所以f(x)=f(2a-x)則f(x)=f(2a-x+2b-2a)=f(2b-x)，即f(x)的圖象關于x=b對稱.

定理3 如果函數y=f(x)定義在R上，其圖象關于直線x=a對稱，又關于點(b，0)對稱，則函數f(x)是4a-b為周期的周期函數(a≠b).

證明因為f(x)的圖象關于x=a對稱，所以有f(x)=f(2a-x).又因為關于點(b，0)對稱，有f(2b-x)=-f(x)，則f(2a-x)= -f(2b-x).此時x用2b-x代換得：f(2a-2b+x)= -f(x).根據性質(2)，x再用2a-2b+x代換得：f(4a-4b+x)=f(x)，因此，函數f(x)是4a-b為周期的周期函數.

推廣如果函數y=f(x)定義在R上，其圖象關于直線x=a對稱，又關于點(b，c)對稱，則函數f(x)是4a-b為周期的周期函數(a≠b).

定理4 如果函數f(x)定義在R上，其圖象關于點(a，0)與點(b，0)對稱(a≠b)，則f(x)是以2a-b為周期的周期函數.

證明因為圖象關于點(a，0)與(b，0)對稱，所以f(2a-x)= -f(x)，f(2b-x)= -f(x)，則f(2a-x)=f(2b-x).根據性質1，x用2b-x代換得：f(2a-2b+x)=f(x)，因此函數f(x)是以2a-b為周期的周期函數.

在這里我們可仿定理2可證得：如果函數f(x)是以2a-b為周期的周期函數.且f(x)的圖象關于點(a，0)(或(b，0))對稱，則函數f(x)的圖象關于點(b，0)(或(a，0))對稱.證明略.

三、應用舉例

例1 已知f(x+1)= -f(x)且f(1)=-1，則f(5)=____.

解因為f(x+1)= -f(x)，所以是以2為周期的周期函數，則f(5)=f(1)=-1.

例2 已知函數f(x)滿足f(x+2)=f(x-2)，且f(x+4)=f(4-x)，當 -6≤x≤ -2時f(x)=x2+bx+c且f(-4)=-13，若m=f(b/3)，n=f(c/2)，p=f(11)，則m、n、p的大小關系為( ).

A．p

解由f(x+2)=f(x-2)得f(x)是以4為周期的周期函數.又因為f(x+4)=f(4-x),則f(x)又關于直線x=4對稱,因此b=8,c=-61.而f(x)是偶函數,且在[0,2]上是增函數,則m=f(b/3)=f(8/3)=f(4/3),n=f(c/2)=f(-61/2)=f(3/2),p=f(11)=f(1),故p

例3 若函數f(x)的最小正周期是2004，而f(1002+x)=f(1002-x)對一切實數x都成立，則f(x)( ).

A.是奇函數而不是偶函數

B.是偶函數而不是奇函數

C.既是奇函數又是偶函數

D.既不是奇函數又不是偶函數

解因為f(1002+x)=f(1002-x)，所以x用x+1002代換得：f(2004+x)=f(-x).而f(x)以2004為周期，故f(x)是偶函數，選B.

例4 已知函數f(x)的定義域為R，對任意的x、y有 ①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0 ②f(π/2)=0.

(1)判斷f(x)的奇偶性;

(2)判斷f(x)是否為周期函數.

解(1)令x=y=0，得2f(0)=2f(0)f(0).∵f(0)≠0，∴f(0)=1.再令x=0得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，∴f(-y)=f(y)，即f(x)是偶函數.

(2)令x=t+π/2，y=π/2得：f(π+t)+f(t)=2f(t+π/2)f(π/2)，即得：f(π+t)= -f(t)，則f(x)是2π為周期的周期函數.

例5 函數f(x)在R上有定義且滿足

(1)f(x)是偶函數且f(0)=32;

(2)g(x)=f(x-1)是奇函數，試求f(2004)的值.

解由g(x)=f(x-1)是奇函數得f(x-1)的圖象關于原點(0，0)對稱，則f(x)的圖象關于點(-1，0)對稱.(把函數f(x)的圖象向右平移一個單位即得函數f(x-1)的圖象)而函數f(x)又是偶函數，所以得函數f(x)是以4為周期的周期函數.因此f(2004)=f(501×4+0)=f(0)=32.