在錯解中理解圓與方程 于糾錯中提升思辨能力
——求解圓與方程問題的典型錯誤辨析

朱賢良

(安徽省樅陽縣宏實中學 246700)

在解題活動中，“錯誤”總是遭人討厭，卻又似乎揮之不去、如影隨形．事實上，只要我們能正確地對待錯誤，利用好這一寶貴的資源，在錯誤中反思、感悟，就一定可以悟出真相、悟出規律、悟出本質、悟出智慧．以圓與方程為例，筆者總結了常見的四類錯誤，在學習中妥善加以利用，既有助于我們理解圓與方程的相關知識，又能在糾錯中不斷提升思辨水平．

一、忽略圓的一般方程中的隱含條件

例1 已知圓x2+y2+k2x+y-k=0關于直線y=x對稱，求k的值．

辨析由于方程x2+y2+k2x+y-k=0是否為圓的方程尚沒有保證，故此時談不上它關于直線y=x的對稱問題．當且僅當D2+E2-4F>0，即k4+1+4k>0時，方程x2+y2+k2x+y-k=0為圓的方程，在此條件下再研究它關于直線y=x對稱才有意義．

正解因為方程x2+y2+k2x+y-k=0表示圓，故D2+E2-4F=k4+1+4k>0(*)．

當k=1時，(*)式成立，符合題意；

當k=-1時，(*)式不成立，故舍去．

所以，k=1．

例2 已知圓C的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0，要使過點A(1,2)所作圓的切線有兩條，求k的取值范圍．

錯解因為過點A(1,2)作圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0的切線有兩條，故點A在圓C的外部，即9+k+k2>0，解得k∈R．

辨析我們不能在沒有D2+E2-4F>0保證的前提下，去討論圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的任何性質特征．正如同說二次方程x2-2x+10=0的兩個實根之和為x1+x2=2、兩個實根之積為x1x2=10一樣，這是極其荒謬的，因為沒有Δ≥0的保證，二次方程不一定有實根．因此，在平常的學習中，要重視對概念、定理的本質進行準確把握，不可死記硬背、生搬硬套．

又過點A(1,2)作圓C的切線有兩條，故點A在圓C的外部，即9+k+k2>0，解得k∈R．……②

二、對兩圓相切的位置關系考慮不全

例3 求半徑為4，與圓x2+y2-2x-4y+4=0相切，且和直線y=0相切的圓的方程．

錯解結合圖形可判斷，所求圓的圓心必在x軸的上方．

因為所求圓與直線y=0相切，且半徑為4，故可設圓心坐標為O1(a,4)，則方程為(x-a)2+(y-4)2=16．

已知圓x2+y2-2x-4y+4=0，即(x-1)2+(y-2)2=1，其圓心為O2(1,2)，半徑為1．

辨析兩圓相切的情況有兩種，到底是外切還是內切，或是兩者皆有可能，一般可以通過作圖進行分析、判斷．在兩圓內切時，還需要注意區分哪一個圓在外，哪一個圓在內．兩圓相切可分為內切與外切，錯解并未分析全面，僅考慮了外切這一種情形．

正解結合圖形可判斷，所求圓的圓心必在x軸的上方．因為所求圓與直線y=0相切，且半徑為4，故可設圓心坐標為O1(a,4)．而已知圓x2+y2-2x-4y+4=0，即(x-1)2+(y-2)2=1，其圓心為O2(1,2)，半徑為1．由兩圓相切，可知O1O2=4+1=5(外切)或O1O2=4-1=3(內切)．

三、忽略切線、交線的特殊位置情形

例4 求過原點且與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線方程．

錯解因為所求直線過原點，可設其方程為y=kx，即kx-y=0．

辨析本題考查直線與圓的位置關系，一般都通過圓心到直線的距離與半徑的大小關系加以判斷．但在設直線方程時，沒有考慮斜率不存在這一特殊情況，即易犯漏解這樣的錯誤．本題中，原點在圓(x-1)2+(y-2)2=1外部，故過原點必可作該圓的兩條切線，上述解答有誤．

(2)當直線的斜率不存在時，其方程為x=0．此時，圓心(1,2)到直線x=0的距離恰好為圓的半徑1，故也符合題意．

辨析在運用直線的點斜式方程包括斜截式方程解題時，常會發生類似的錯誤，這是點斜式方程和斜截式方程本身的局限性所致．在這兩類方程里，沒有包含斜率不存在的直線．因此，用這兩類方程解題時，必須驗證斜率不存在的直線是否符合題意的要求．

正解(1)當直線l的斜率存在時，同錯解得直線l的方程為3x+4y+15=0．

綜上所述，所求直線方程為3x+4y+15=0或x=-3．

四、未檢驗曲線與方程的關系

例6 已知圓C的方程為x2+y2=9，過點P(5,0)作直線l與圓C交于A,B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程．

錯解顯然直線l的斜率必定存在，可設其方程為y=k(x-5)．

當k=0時，x=y=0，也滿足方程x2+y2-5x=0．

所以，M的軌跡方程為x2+y2-5x=0．

辨析過圓外一點的直線與圓相交是有條件的，這個條件顯然應當限制軌跡方程中變量x,y的范圍．本題只能保證軌跡上的點的坐標都是方程x2+y2-5x=0的解，但不能保證以方程的解為坐標的點都在曲線上，所以x2+y2-5x=0不是M的軌跡方程．

正解同錯解得點M(x,y)的坐標滿足方程x2+y2-5x=0．

?4x-x2=(3-y)2(y≤3)

?(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3)

此方程表示一個圓的下半部分，圓心坐標為(2,3)，半徑為r=2．

錯誤總是伴隨著人認識事物的整個過程，也只有從錯誤中不斷總結，才能認識真相、掌握真理．因此，在學習過程中，既要注意養成良好的解題習慣與思維習慣，對一些常見的錯誤產生預見性并合理規避，進而提升自身的“免疫力”，更要善于辨析錯誤，從中汲取智慧．