一類分式型遞推數列通項公式的統一求法

李秀元

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

由遞推關系式確定的數列，是數列問題中的難點，熟悉一些常見遞推關系式的處理策略就顯得尤為重要.下面將看到一類由分式型遞推關系式確定的數列，其通項公式的統一求法.

(2)求使不等式an

(2)略.

例3 函數f(x)=x2-2x-3.定義數列xn如下：x1=2，xn+1是過兩點P(4，5)，Q(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

(1)證明：2≤xn

(2)求數列xn的通項公式.

說明本題是2012年高考大綱全國卷試題，按命題者的安排，先證明數列xn的單調性及取值范圍，再求通項公式.我們改變了試題的求解順序，先求通項公式，再證明不等式，可以說證明過程幾乎是秒殺，而且求通項的過程正好解釋了參考答案中構造的理由，這正是此類分式型遞推數列求解方法的直接應用，缺乏方法指導，僅僅通過觀察是很難發現其中的秘密的.

作為練習，我們給出武漢市2017屆高中畢業生四月調研測試理科的一道選擇題，即使本題不需要求通項公式就能確定答案.