深入探究兩類基本不等式問題的解題策略

陳后萬

(浙江省洞頭區第一中學 325700)

基本不等式問題靈活多變、方法多樣，常用方法就有：湊、拆、代換、去和留積、去積留和、消元等.所以對于基本不等式問題，還是要經常總結、歸納題型，尋找規律，探索合適方法.

類型一：已知Axy+Bx+Cy+D=0 (A≠0)，求Ex+Fy或xy的最值問題

例1 (2016紹一中模擬)若正數x,y滿足xy+x+2y=6，求x+y的最小值．

點評對于類型：已知Axy+Bx+Cy+D=0(A≠0)，求Ex+Fy的最值問題．一般用消元法可以解決，可謂是通法，但轉化過程有時計算量稍大.解法二(待定系數法)是能夠解決一類問題的，前提是條件能夠轉化成(x+a)(y+b)=c(a,b,c>0).它充分體現了基本不等式的優點，計算量小，方法絕妙，讓人驚嘆.

例3 (2012浙江卷)若正數x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是( )．

A. 245 B. 285 C. 5 D. 6

例4 若正數x,y滿足2xy+x-y-1=0，則2x+y的最小值為 .

解法一(消元)略．

點評解法二中的換元法，技巧性比較強，目的是為了消去常數.這樣，問題顯然可以化歸到例3類型問題處理.

總結：一般情況下，消元法、待定系數法、代換法可以解決類型一問題，具體應用還要看題目本身的系數特點.

例5 (2011浙江高考)設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是 .

解∵4x2+y2+xy=1，∴(2x+y)2-3xy=1，

A．2 B．6 C．8 D．9

總結：基本不等式求函數最值(或值域)有著很多應用，極具簡潔快捷功能.要熟練地求解基本不等式問題，主要靠平時善于總結、樂于總結，充分運用化歸思想，抓住它的幾條使用原則不放，構建基本不等式條件，高屋建瓴地使用基本不等式.