一道浙江高考理科數學題的高等數學背景探究

謝冠瀚

最近拜讀文獻[1]，受益匪淺，作者用了8種方法求解一道2015年浙江高考理科數學填空題，整個過程行云流水，一氣呵成，讀后深受啟發，但是，筆者覺得這8種方法都沒有指出此題深刻的背景知識，以下筆者給出此題的一個高等數學的背景，僅供同行交流探討，我們先回顧該考題：

題目已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=1/2，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=5/2，且對任意的x，y∈R，|b-（xe1+ ye2）|>|b-（xoe1+y0e2）|=|（xo，Yo∈R），則xo=____，Yo=____，|b|____.

正如文獻[1]指出，這是一道向量和代數的綜合題，具有一定的難度，但是我們從題目條件中出現的兩個向量差的絕對值|b- （xe1+ ye2）|可以看出：它表示兩個向量（一個是定向量b，另一個是動向量xe1+ ye2）的“距離”，而題目中的“1”表示它們的距離為1.利用高等數學的知識，從已知條件聯想到這個問題的本質就是希爾伯特空間的逼近定理，事實上，利用這個逼近定理求解此題，顯得異常簡單，為此，先回憶一下希爾伯特空間的逼近定理，

定理1 設X為希爾伯特空間，且M為X的閉線性子空間，則任給xo∈X，存在唯一的Yo∈M，使得p（xo， M）=|xo-Yo|，且xo -Yo⊥M.其中，p（xo， M）表示點xo到M的距離，|xo- Yo|表示xo和Yo的距離.

注意到R3是一個特殊的希爾伯特空間，而xoy平面是R3的一個閉線性子空間，因此定理1有如下的特殊情形：

定理2 設ao是R3中的一個始點在原點的非零向量，且ao不在xoy平面上，則存在xoy平面上唯一一個向量bo，使得ao的終點到xoy平面的距離等于|ao-bo|，且有（a0 - bo）⊥xoy平面.

下面用希爾伯特空間的逼近定理求解上述高考題.

評注 希爾伯特空間中的逼近定理在高中數學并不陌生，例如我們熟悉的點到直線的距離公式其實也是希爾伯特空間的逼近問題之一，

參考文獻

[1]董泉發.一道高考題的多種解法及其背景研究[J].數學教學，2016，1（6）：36-37