學科核心素養視角下高中數學課堂文化的三重鏡像

李龍輝

1問題的提出

作為人類社會實踐活動所產生的重要物質財富和精神財富，“數學”無疑屬于文化的范疇，[1]雖然關于“數學文化”這一概念尚未形成統一的學科共識，但大多強調數學文化的“共同體”意識，即“數學文化”是人類共同體對客觀世界深入探索的智慧結晶，不同社會文化環境下的數學研究者借助共通的數學語言，一方面深化自身對于數學觀念的認知水平，另一方面為其他自然學科和人文社科提供研究工具，也為數學學科的理論拓展提供理論基礎，從而達成數學研究者、數學知識、數學思想、數學精神與價值觀念等文化要素的有機統一，[2]在中小學階段，“數學文化”的互動主要基于系統完整的數學教育過程，即教師以數學課堂教學這一情境為中心，以顯性的數學知識規范為載體，引導學生不斷接觸、認同、內化數學觀念這一隱性知識的過程，

數學課堂文化是數學文化的微觀表現形式，數學文化為數學課堂文化提供了共同體支撐、教學框架、理論積淀等文化要素[3]，“數學課堂文化”為數學教師探尋數學文化在中學課堂的有效滲透提供了全新的教學視角，歸根結底，數學課堂文化是師生在數學課堂教學過程中共同堅守的課堂精神、教學理念和教學行為的總和，本質上師生對于數學學科教學主體性選擇的結果.[4]因此教師在學科核心素養理念指導下，通過數學課堂進行數學文化的有效滲透，為學生在分科課程情境下發展核心素養輸送數學學科營養，將是未來高中數學教育的基本取向，

“斐波那契數列”源于13世紀初意大利數學家列奧納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）《算盤全書》（Liber Abacci）中關于動物繁殖的經典數學問題，即“如果一對兔子每月能生一對小兔子，而每一對小兔子在出生后的第三個月又能生出一對小兔子，在不發生任何兔子死亡的情形下，50個月之后會生出多少對小兔子”，人們通過“斐波那契數列”這一看似樸素的數學問題與“楊輝三角”、“盧卡斯數列”、“恒等式”等數學領域內相關問題緊密關聯，也引發了“斐波那契螺旋”、“斐波那契堆”、“歐幾里得算法”、“波浪理論”等跨學科衍生研究，人教A版教科書通過“閱讀與思考”的課外導讀方式呈現了“斐波那契數列”的相關知識，為師生們圍繞這一富有數學素養意味的問題，探究積極生動的數學課堂文化之路徑提供了重要載體，因此本文擬以數學核心素養的視角，從“數學核心素養”與“數學課堂文化”的互動關系入手，以“斐波那契數列”數學課堂文化要素的探究為中心，初步探討高中數學課堂文化教學鏡像的呈現問題.

2數學抽象與直觀想象：高中數學課堂文化的“知識理解”鏡像

數學現象為高中數學課堂文化的呈現提供了豐富的教學情境，“數學抽象”素養要求學生透過現實世界中數學現象的數量、形狀、位置等物理屬性，歸納概括數學現象的本質特征，而這種“本質特征”的教學呈現往往依托于師生之間對于數學現象形態與變化的“直觀想象”素養，因此“數學抽象”與“直觀想象”實為師生以數學的學科眼光，共同展開對于數學現象的觀察過程[5]，這種“觀察”并不是走馬觀花式的“瀏覽”，而是師生們在課堂教學中以問題情境為中心，通過數學現象的數量關系與圖形關系深入思索，并在數學現象意義建構的基礎上提煉“知識經驗”與“語言符號”，使之成為教學共同體數學文化交流范式的過程，因而“數學抽象”與“直觀想象”共同構成了高中數學課堂文化的“知識理解”鏡像，高中數學課堂文化的“知識理解”是學生認知過程和認知結果的有機統一，高中數學課堂文化的“知識理解”鏡像既包括教師引導學生對數學現象本身蘊含知識經驗和語言符號的本質辨識，即學生通過“數學抽象”與“直觀想象”的有效作用，從數學現象的本身性質和類屬等認知范疇，以及新舊數學知識之間的邏輯關聯兩個維度，在知識認知——知識運用——知識認知的循環認知過程不斷達成新認知平衡的過程，也包括學生數學基本技能演進的過程，即“數學抽象”與“直觀想象”既是基于數學知識產生的活動經驗而回應數學知識演進結果的陳述性知識，也是具有廓清數學知識動態生成路徑方法論意義的程序性知識，

“數列”（ sequence of number）源于人類對于生產生活過程中客觀事物離散性的數學刻畫，因此人類的早期數列研究往往表現為具體事物直觀的數量關系、位置關系、形態變化的現實情境抽象，例如畢達哥拉斯的“三角形數”、“正方形數”，在“斐波那契數列”的數學文化探究過程中，教師應通過以上數學史知識的導入有效營造數學文化探究情境，使學生明了“數列”的由來與基本發展情況，特別是“數列”的列表法、圖示法、通項公式法等表示法的相關知識，通過數列通項公式、數列求和、數列與函數關系等知識的溫故知新，建立數學知識間的邏輯聯結，將學生陌生疏離的“斐波那契數列”納入學生已知知識的研究范式，從而鼓舞學生對問題探究的興趣，教師引導學生以“斐波那契問題”由文本的自然語言轉化為數學語言這一知識理解過程為中心，比較圖示法（圖1、圖2）、列表法（圖3）、通項公式法這三種數學方法對刻畫兔子繁殖過程進行“數學抽象”與“直觀想象”的作用[6]，從而凸顯通項公式法在展示“斐波那契數列”數量關系和形態變化上的意義，以數形結合思想打通數學學科內的知識畛域，為學生理解“斐波那契數列”的線性遞歸特性提供認知支架.

3邏輯推理與數學運算：高中數學課堂文化的“知識遷移”鏡像

邏輯推理是按照歸納、類比、演繹等邏輯規則對數學事實和數學命題推導的思維過程，“邏輯推理”素養是數學思維品質深刻性和預見性的重要表現，“數學運算”則是學生在運算法則的指導下運用演繹推理形式，明確運算對象、明了運算方向、遴選運算策略、設置運算程序、獲取運算結果的思維過程.[7]“邏輯推理”與“數學運算”統一于師生以數學的學科眼光開展對客觀世界的分析過程，即師生在不斷變化的問題情境中對數學活動經驗與語言符號的加工處理，使之成為教學共同體內數學文化交流行為規則的過程，因而“邏輯推理”與“數學運算”共同構成了高中數學課堂文化的“知識遷移”鏡像，高中數學課堂文化的“知識遷移”鏡像既包括學生在“知識理解”基礎上對數學基本技能在新問題情境下的有效遷移，即基于新問題情境與原有問題情境的特征差異辨識，采取靈活的認知策略激活與調整原有問題解決方案的樣態，以適應新情境下的問題解決，也包括學生基于“知識理解”對數學基本技能在新問題情境上的多元遷移，即考查學生能否全方位地調用數學學科內和跨學科的知識資源，將多個原有情境的問題表征進行有效整合與提煉，從而服務于新情境問題的識別、判斷、篩選、決策的表現，

“數學猜想”是“邏輯推理”素養與“數學運算”素養的重要交集，教師在“斐波那契數列”的數學文化探究中應提供數形結合、方程思想、幾何代數轉化等理論視角讓學生“大膽猜想，小心求證”，以幫助學生擺脫數學命題具體形態的影響而找準問題解決方向，進行有效知識遷移，教師應注意學生知識介入的有效性問題，從{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34…這一“斐波那契級數”出發，借助教材提供的“斐波那契數列”的遞推關系式指導學生FN =Fn-1+Fn-2（n≥3）運用待定系數法構造等比數列、線性遞推數列的特征方程法、矩陣法等方法，嘗試歸納推導“斐波那契數列”的通項公式（即比內公式Sn），從而引發學生對于無理數與有理數關系的全新思考[8]，在此基礎上逐步展開對于“斐波那契數列”各項之間關系的思考：從相鄰兩項的關系入手探求其比值，從而發生與“黃金分割率”的知識遷移（見圖4）;通過任意四個連續斐波那契數構造畢達哥拉斯三角形數，進而探究這些連續數之間的乘積、平方和、整除性等性質，從圖示法入手引導學生關注“楊輝三角”斜線方向的和值構成，從而引發“斐波那契數列”與“楊輝三角”的知識遷移（見圖5）.此外，“斐波那契數列”的同余及其周期性問題、“斐波那契數列”在計數組合題探究中的運用都是值得關注的探究問題.[9]

4數據分析與數學建模：高中數學課堂文化的“知識創新”鏡像 “數據分析”素養要求學生根據現實情境問題解決的要求，綜合運用統計方法對有效信息中蘊含的數據進行收集、整理、提取，并通過數學模型的構建獲得數學結論，“數學建模”則重點關注從數學視角描述現實情境紛繁復雜的問題表征，驗證與修正數學模型以完善數學模型的問題解決功能.[10]“數據分析”與“數學建模”統一于師生以數學的學科眼光開展對客觀世界的表達過程，即師生在不斷變化的問題情境中對數學價值觀體系的體悟，使之成為教學共同體內數學文化交流的過程，因而“數據分析”與“數學建模”共同構成了高中數學課堂文化的“知識創新”鏡像。

高中數學課堂文化的“知識創新”鏡像既包括學生在“知識遷移”基礎上對數學知識在開放性情境中的變式求解，即通過挖掘隱藏在原有問題情境深處的創新元素，將原有問題情境的解決作為新問題情境探究的邏輯起點，在教師指引下以新方法的“自我發現”為中心，通過變式訓練不斷拓展原有方法的認知生成空間，從而使“知識理解”、“知識遷移”、“知識創新”捏合為數學認知循環，持續動態重構數學知識體系的過程，也包括學生以知識延伸與方法突破為軸心，通過假設、實證、求解、反思等數學高階思維過程，初步了解數學學科特定的認識世界和改造世界的世界觀和方法論的過程.[11]

大數據時代的數學知識創新，要求師生貫穿“數據分析”與“數學建模”主線，共同運用互聯網資源拓展數學教學的疆界，每小組探究斐波那契數列的其它性質，然后利用網絡搜索所得到的性質是否已經被發現，在網絡中查找一下是否還有其它性質，將得到的結論填入表格，將學生分組，利用網絡搜索斐波那契數列與生活的聯系，將收集的資源加工整理，制作成課件，以小組為單位展示課件，并加以說明，嘗試一下，能否借助斐波那契數列的特性設計圖案？在網絡中查找一下利用斐波那契數列而設計的圖案，并分析其中蘊含的數列.

5小結

隨著高中“新課標”對數學文化的價值導向日益深入人心，以往數學教學中存在的過分關注數學學科工具屬性，忽視數學學科文化價值的傾向將受到抑制，數學學科對于學生適應社會發展和所需“核心素養”的深刻影響將得以彰顯，基于師生間數學活動經驗、數學語言符號、數學思維方式、數學價值觀念教學傳承的高中數學課堂文化，在學科核心素養時代背景下展現出“知識理解”、“知識遷移”、“知識創新”三重鏡像，本文以“斐波那契數列”的數學文化探究，說明了學科核心素養視角下高中數學課堂文化的三重鏡像的主要形態：“知識理解”反映了師生共同調動數學活動經驗和數學符號語言“觀察世界”的歷程，體現了高中數學課堂教學問題情境的“建構”;“知識遷移”則是對師生運用數學思維方式“分析世界”的折射，展現了高中數學課堂教學問題情境的“解構”;“知識創新”是對師生共同感悟數學價值觀念以科學地“表達世界”的過程，凸顯了高中數學課堂教學問題情境的“重構”，數學核心素養視角下高中數學課堂文化的三重鏡像雖然各有側重，強調了高中數學學科認知的不同理論維度，但都關乎高中數學學習的整體性問題，最終交匯融合于數學學科以“情境一問題一互動”認知模式，使數學學科核心素養以“多元共通”而“支離割裂”的面貌完整地呈現在高中數學課堂，從而持續推動人類認識世界和改造世界的社會實踐，為數學文化在高中數學課堂教學中的有效滲透奠定了堅實的基礎，

參考文獻

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