關于數學解題中逆向思維的應用

陜西省延安大學數學與計算機科學學院 田 星

在數學解題中，我們經常會遇到利用常規思維解題而陷入思維定式中難以得到問題答案的現象。但如果我們“反其道而思之”，從問題的對立面進行深入思考，使問題簡單明了，進而有利于我們解題。

在教育心理學中，逆向思維就是挑戰常規，克服思維定式，打破我們日常的思維經驗和習慣造成的僵化的認識模式，得出的結果則會使我們豁然開朗。逆向思維體現在生活的方方面面，在我們的日常學習及生活中利用逆向思維解決問題經常會以“出奇”達到“制勝”，結果常常出人意料，喜出望外，別有所得。

數學家們在探索數學的過程中便有許多利用逆向思維成功的例子，本文列舉出了運用逆向思維的幾種具體方法在數學中的應用，如：逆向分析法、反例法、構造輔助函數、倒推法、求補法、排除法，解決一些在中學數學中的問題，挑戰常規，打破思維定式，拓展思維，并學會使用逆向思維更加容易地解決問題。

一、反證法

反證法是常見的利用逆向思維的論證方式，是“間接證明法”的一類，常被用于證明題中。其解題過程一般為當證明所給的數學猜想或命題遇到困難時，便會在原命題的題設下假設結論不成立，然后推出明顯矛盾的結果，從而使原命題得證。

二、逆向分析法

逆向分析法是一種執果索因的分析方法，是一個由需要逐步推向已知結果的過程。在日常解題中，當我們遇到一些難題，如果從題目所給的條件出發逐漸求出結論的過程可能復雜且困難，不易直接證明結論，但若反其道而行之，對題目從結果出發，進行反方向的分析、分解與重構，并分析每一種可能，則會降低難度，從而便于求出正確答案。該方法的一般順序為從果到因進行分析，逐步求出與條件相符的答案。

三、逆用定義法

在中學幾何題中，有非常多的可逆的定義定理，在我們日常解題中，對原有的數學定義定理逆用也是一種常見的解題方法，利用逆向思維對相關定義定理進行逆用，便可使一些問題化難為易，從而提高解題效率，也能更好地開拓我們的數學思維。

四、構造輔助函數法

在證明一些存在性命題與解決代數問題時往往需要構造輔助函數，但有時輔助函數并不好找，所以我們就需要將構造輔助函數與逆向思維聯系起來，從具有特征的結論入手進行逆向分析與推理，便可很快找出輔助函數，該方法是一種簡單、適用、易掌握且有效的數學解題方法，在解題時我們只需找到符合要求的輔助函數問題便迎刃而解。

五、求補法

求補法，即正難則反，當所求問題比較復雜或者直接解題較為困難時，可以考慮在與原題所給條件相反的情況下求解，最后只需取其所得結果的反面即可。比如求大于零的空集，可以用小于零的非空集合來考慮。此處介紹該方法用于概率論中求某事發生的概率時，當所求事件發生的概率較難求時，則可以考慮先求出所求事件的對立事件的概率，化難為易，更易于求出答案。

六、排除法

排除法是數學運算時常用的方法之一，尤其是在選擇題中有著廣泛的應用，其應用更是層出比窮，在一些重要考試中是需要重點掌握的方法，是逆向思維中“正難則反”數學思想的一個重要應用。日常學習中應學會巧妙使用取特殊例子排除錯誤選項，加快解題效率。學會使用一些解題技巧，化難為易，在考試時更有效、準確地解出答案，亦為在有限的考試時間中提供一種有效的解題技巧。

逆向思維在數學方方面面都存在著應用，在我們的日常學習中，逆向思維不僅可以幫助我們解決思維定式化難為易，快速有效地解決一些難題，而且經常使用逆向思維解決問題可以開拓學生思維，提高數學素質，使學生減少繼而消除對數學的畏懼感，培養對數學的興趣，讓學生的頭腦更加靈活，并且也可以培養學生全面思考問題的思維習慣，逐漸形成較高的數學素養。就一些中學中常用的解題方法著手，利用逆向思維反向思考，使一些原本看似難以解決的問題變得簡單明了化。拓展解題思維，以便在解一些難題時能夠活題活用，找到最佳的解題方法。本文將逆向思維在數學的多個方面進行了探討，詳細敘述了應用逆向思維時的具體方法理論，使學生學習時將問題簡易化，并有利于學生提高解題效率與數學能力。