化歸思想在高中數學函數學習中的應用

山西省大同市礦區同煤一中 閆涵超

一、化歸思想方法原理分析

1.化歸思想的內涵

所謂化歸就是指在解決數學問題過程中的轉化與歸結思想，其目的是將原本未知的問題轉化為已知的問題，從而實現由難到易，盡可能將復雜的問題轉化為簡單的問題進行求解，最終達到降低解題難度，提高解題效率的目的。因此從本質上來說，化歸思想就是將原本復雜的問題轉變為我們熟悉解決思路的簡單問題上，在這一過程中，需要我們重視起復雜問題到簡單問題轉化之間的聯系，只有在把握聯系的基礎上，才能夠實現合理正確的轉化。因此，歸納起來，在高中數學函數的學習過程中，對于化歸思想的應用，其核心就是“求變”，通過將原問題進行不斷的變化與轉化，尋找將問題盡可能轉化的途徑，從而降低解題的難度，提高解題的效率。

2.化歸的模式

在高中數學函數的學習過程中，應用化歸思想來解決問題有著基本的模式，總結起來如下：先尋找原問題與已知問題的聯系，然后再將原先的復雜問題轉化為已經有成熟解決方法的問題，從而通過對這一已知問題的求解來得到原問題的答案。

3.化歸思想應用的基本原則

（1）等價性原則

在進行化歸思想應用的過程中，必須要保證代數性質能夠與幾何性質實現等價，這是避免解題失誤的重要基礎。但需要注意的是，由于圖形往往具備一定的局限性，往往很難對代數的性質進行完全的表現，因此在數形結合的過程中，圖形的性質只是一種較為淺顯的說明作用。

（2）雙向性原則

在進行化歸思想應用的過程中，一方面需要對抽象的代數關系進行探討，另一方面也需要對直觀的幾何圖形關系進行分析。在這一類的數學解題中，必須要立足于代數與圖形的結合才能夠保證解題效率，要注意兩者之間是相輔相成的關系。

（3）簡單性原則

在高中數學的解題中，運用數形結合的方法往往會有多種解題方法，需要我們在實際情況中根據具體的題目來選擇合適的方法，要保證解題方法簡單。應用化歸思想的根本目的就是為了讓求解更加簡單，因此化歸思想應用的方向就是使得問題變得簡單。

二、化歸思想在高中數學函數學習中的作用

數學思維的形成從本質上來看，就是我們在學習數學并應用數學的過程中，對于數學的相關規律、概念有了自己的理解與認知。而化歸思想作為高中數學函數學習中的一種重要思想，同樣是我們對于高中數學知識的理解與歸納。在實際情況中，思維活動是影響人認知活動的重要因素，思維活動的狀態與內容體現了一個人對于事物本質規律的理解。在此認知基礎上，我們就很容易認識到數學思維中的化歸思想對于高中數學解題的重要意義。首先，化歸思想能夠有效提高學生在數學學習與應用過程中的觀察能力，而無論是對于數學相關規律與概念的觀察，還是對于高中數學習題解題方法的觀察，都是十分重要的內容，是我們自身真正掌握數學知識的重要基礎。只有建立對于問題的仔細觀察，才有可能利用化歸思想尋找問題之間的聯系，最終實現復雜問題向簡單問題的轉化。其次，化歸思想能夠幫助我們實現對于觀察的總結，對于數學規律的觀察只是我們學習的第一步，更需要我們在這一過程中能夠將觀察到的知識與得到的想法總結起來，這要求我們具備化歸思想，能夠對觀察到的結果進行歸納總結。只有這樣，才能夠使得我們在求解問題的過程中更加有效率、有質量，化歸思想的應用基礎就在于我們對于數學知識的理解程度，積累越多，那么應用也就越熟練。最后，化歸思想還能夠提高我們對于數學規律與方法的應用水平，在完成對于規律與方法的總結后，就需要我們能夠真正利用這些知識。高中數學解題的過程就是我們應用相關知識的過程，因此需要我們利用化歸思想來加深對于數學規律的理解，從而更好地實現應用。

三、高中數學函數學習中化歸思想的運用

1.將未知問題轉化為已知問題

化歸思想在高中函數中的應用可以實現題型內在聯系的適當轉化，對復雜的問題進行簡化，解題難度也會隨之降低。在函數解題過程中，可以利用圖像對題目信息進行表示，將抽象的概念轉化為具體的圖形，在數形結合的基礎上充分發揮化歸思想的效果。將函數題目中的數字與文字轉化圖像顯示，可以更加清楚地了解參數、變量之間的關系，提高解題的效率。在運用函數知識解題的過程中，我們很清楚題目考查的知識點，但是由于條件不足，實際解題可能并不會那么順利。通過化歸思想的應用，我們可以在對題干內容進行準確分析的基礎上，變換提問的形式或者是解題方向，將未知問題轉化為已知問題，并依照相應的解題思路對問題進行逐步解答，在確保解題步驟條理化的同時，自己的解題能力也會逐漸提高。例如在進行三角函數相關問題的解答時，可以先將其轉化為二次函數或者是其他的簡單函數問題，在此基礎上更容易明確變量之間的關系，通過變量構圖的方式可以更加清晰地了解函數的特征，降低解題難度。

2.合理運用反向思維

在函數學習的過程中會面臨這樣一個問題，通過自己的方法，我們可以直接得到問題的答案，但是無法寫出具體的計算步驟，而一些解答型的函數題目解題思路占得分的比重很大，步驟的缺失在影響得分的同時，也不利于自己掌握解題方法，理解同類型不同形式的函數問題。在實際解題過程中可以利用化歸思想解決解題思路不明的情況，我們可以將題干的答案作為題目的已知條件，利用反向思維對正面的問題進行反向思考，從而實現反向運算，明確解題步驟。例如在解答f（x）=ax+1這類問題的時候，需要先確定區間并在此基礎上求出a的具體取值范圍。在遇到該類問題時，一般會先根據題目中變量的設定對區間問題進行分析，反向思維就是對解題思路進行逆轉，結合到具體的問題中就是將區間視作題目的已知條件，根據區間對變量進行設定。逆向思維解題過程易于被理解，與高中生現階段的邏輯思維也更為符合，可以避免解題過程中出現邏輯誤區，在一些較為復雜的數學問題的解決中，我們容易被邏輯誤區引導導致差錯的出現，逆向思維的應用可以有效避免類似情況的出現。

3.函數圖像化的應用

在學習高中函數知識時，老師會引導我們用圖像解決問題，在實際的解題過程中，也需要將題目具體的內容進行函數關系的表達，為了提高草圖繪制的效率和質量，可以先用表達式對函數的屬性進行分析。通過函數圖像的合理運用，可以更加清楚地了解變量之間的關系，從而使復雜的數量關系具體化，將抽象的題目轉化為具體的形象。化歸思想的應用具體表現為圖像與函數方程的結合，在此基礎之上可以更加準確地理解題目的內涵，確保條件分析和數量關系構建的正確性。高中函數學習除了數字關系、數量表達式之外，還需要學習與具體函數知識相關的函數圖象，例如正切函數、余弦函數以及正弦函數等三角函數。當需要應用這些知識解決具體的函數問題時，就可以充分利用化歸思想實現數形之間的轉換。

首先是數與形的轉化。具體應用如下：

例1 在函數=中，假如有|f（x）|≥ax，則a的取值范圍為（）

A.（- ∞，0] B.（- ∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解析：拿到這個問題，首先需要對題設條件進行分析，如果單純利用數字計算來解決該問題，難度較大且需要大量的時間。這是一道選擇題，在考試中為了節約時間，就需要應用化歸思想的數形轉換方法。首先要畫出函數f（x）的圖像，根據題設條件可以得知該函數的圖像由兩部分組成，因而可以對f（x）圖像的x軸以下的部分進行軸對稱作圖，從而得到該函數完整的圖像，由此可以得知|f（x）|≥ax是恒成立的。結合圖像分析后可以知道a的取值為非正數，然后再根據a的取值對函數進行分區間分析。當x＜0時，函數|f（x）|的圖像也必然是在直線y=ax的圖像之上的，而兩個函數的圖像之間存在相切的關系，這時可以得到a=-2，最后結合圖像和分析計算結果得出，a的取值范圍是[-2，0]。因而該題的答案為D。

其次是題根的轉化。題根轉化在高中函數，尤其是復合函數的解題中十分常用，通過題根的轉化，可以對題目進行簡化，從而實現問題的解決。具體應用如下：

例2 實數k滿足方程x4-2kx2+k2+2k-3=0具有實數根的條件，試求k的取值范圍。

解析：先對該方程進行觀察可以發現，這是比較常見的二次函數問題，因而該方程的根也一定是二次函數。在對題目分析的基礎上，解答之前要先對題設條件進行轉化，將該方程視作x的四次方程，是k的二次方程，然后將原方程x4-2kx2+k2+2k-3=0轉化為k2+2（1-x2）k+x4-3=0（k∈R）。要保證此方程有根，就必須要讓Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）≥0，由此便可以得到-2≤x≤2，所以k的取值范圍是[-2，2]。

高中階段的數學學習是我們高中生學習中的重要內容，而對于數學函數的學習，往往是很多同學的薄弱環節，特別是對于各種數學函數題目的求解，很多同學往往摸不著頭腦。而利用化歸思想就能夠有效提高我們對于復雜函數問題的求解效率與質量，通過利用化歸思想，能夠將原本未知的問題轉化為已知的問題，從而實現由難到易，盡可能將復雜的問題轉化為簡單的問題進行求解，最終達到降低解題難度，提高解題效率的目的。而在這一過程中，需要我們注意化歸思想應用的基本原則，遵循基本的等價性原則、雙向性原則與簡單性原則，同時在平時的學習過程中注意對于數學函數原理的積累，從而提高化歸思想的應用水平。

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