換元法在初中數學中的應用

湖北省武漢市關山中學 黃格群

作為一項初中數學中被廣泛應用的解題方法，換元法非常重要。換元法是指在解題過程中將試題的一個（些）字母用另外一個（些）字母來替換，從而達到化繁為簡的解題目的。換元法在初中數學中占據著非常重要的地位，數學教師應當注重向學生滲透換元法的重要思想，從而幫助他們達到快速、準確的解題效果。本文就以換元法典型習題為例進行講解，希望對廣大學生有所幫助。

一、換元法在因式分解中的應用

因式分解是初中數學中最重要的恒等變形之一，是學生解決數學問題的一項有力工具。在解因式分解時，需要用新元來替換式中的某個部分，從而減少因式項數，最終讓復雜的因式分解變得簡單。

例1：分解因式：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3。

解析：如果先去掉括號，然后再進行分解，過程會相當煩瑣且運算量巨大。如果我們注意到（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，則可通過換元法將復雜的情況轉化為簡單問題。

解答：設（b+c-2a）=x，（c+a-2b）=y，（a+b-2c）=z，則有：x+y+z=0，

又x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-xz）， 則 有：x3+y3+z3-3xyz=0，

因此，原式=x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）。

如果能夠掌握換元法求解參數試題，那么數字試題就能夠輕松解答。

二、換元法求解分數方程和無理方程

分數方程和無理方程的難度要大于普通方程，因此需要換元法來降低方程的求解難度。

解析：本題需要從題目中的根號入手，讓根號內外通過增減項變得一致，然后利用換元法將二次根式進行替換，最終將無理方程轉換為有理方程進行求解。

當y=1時，即x2-3x+2=1， 解 得通過檢驗要舍去，因此，原方程的根為

三、換元法求解高次方程

整式方程未知數最高項次數高于2次的方程,稱為高次方程。

例4：（1）已知方程（2x2+1）2-2x2-3=0，設y=2x2+1，則原方程可化為_____；

（2）仿照上述解法解方程：（x2+2x）2-3x2-6x=0。

解析：（1）設y=2x2+1，則原式左邊=（2x2+1）2-（2x2+1）-2=y2-y-2，

∴原方程可化為y2-y-2=0。

（2）設x2+2x=y，則原式左邊=（x2+2x）2-3（x2+2x）=y2-3y；

∴y2-3y=0，即y（y-3）=0，即y=0或3。

當y=0時，則x2+2x=0，∴x（x+2）=0，解得x=-2或0；

當y=3時，則x2+2x=3，∴x2+2x-3=0，解得x=-1或3。

故方程的解為-1，-2，0，3。

通過解題過程我們可以看到，換元法能夠有效降低方程的冪次，降低試題的難度，提升學生計算的速度和效率，因此，教師在教學中應當注重傳授這種數學思維，使學生能夠靈活運用。

四、換元法巧解方程組

學生運用換元法求解方程組能夠有效消元，簡化求解過程和步驟，從而提升解題的速度和效率。

解析：如果正常求解這個方程組，會比較麻煩。我們可以把x+y，x-y分別看為一個整體，進行“換元”，然后再進行方程的求解，這樣較為簡單。

（2）設x+y=m，x-y=n，則原方程組可化為

通過解題過程我們可以得到，利用換元法能夠有效降低方程的運算難度，提升解題速度，因此教師應當指導學生總結相關技巧，提升數學思維和水平。

總之，數學教師在授課過程中應當加大訓練的強度和力度，總結經典習題的解題方法，提升學生的學習興趣和成就感，幫助他們取得理想的分數，從而進入心目中的高中進行深造學習。

[1]高占芬．例析換元法在初中數學教學中的應用[J]．基礎教育課程，2016（05）．

[2]盧春松．淺析換元法在初中數學解題中的應用[J]．數理化學習（初中版），2014（10）．