雙脈沖發動機EPDM軟隔層黏超彈本構模型

范興貴，許進升,，陳雄，杜紅英，李映坤，張中水

1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094 2.晉西工業集團 技術研發中心，太原 030027 3.北方自動控制技術研究所，太原 030006

級間隔離技術作為雙脈沖固體火箭發動機(以下簡稱雙脈沖發動機)的關鍵技術之一，其技術突破成為雙脈沖發動機實現工程應用的關鍵。隔層式雙脈沖發動機具有結構簡單、加工容易、裝配工藝簡便等優點，因而隔層式雙脈沖發動機具有很好的應用前景。雙脈沖發動機級間隔層裝置不僅要求具有良好的絕熱能力，還要保證安全可靠地打開。國內的許多研究者對雙脈沖發動機的工作過程進行了實驗研究和數值模擬，王春光等[1]建立了雙脈沖發動機三元乙丙橡膠(EPDM)軟隔層的結構仿真模型，利用擴展有限元技術模擬了隔層的承壓以及破壞過程，得到了軟隔層的打開壓強。付鵬等[2]通過顯式動力學的方法對一種軟隔離裝置的打開過程進行了模擬，驗證了隔層的打開過程，結果表明脆性斷裂準則可以較準確地預測隔層的破壞位置和破壞壓強。

王春光[1]和付鵬[2]等在研究EPDM軟隔層時，都把EPDM當作線彈性或者超彈性材料來建模，然而EPDM軟隔層在雙脈沖發動機工作過程中的力學行為已經超出了線彈性和超彈性的范圍，因而有必要對EPDM軟隔層的力學行為進行研究。目前已有大量關于各種填料對EPDM燒蝕性能和力學性能影響的研究，而對其力學行為的研究較少。國外如亞利桑那大學的Cheng和Chen[3]進行了EPDM準靜態和動態加卸載實驗研究，分別采用了Ogden模型和Roxburgh模型描述準靜態加載條件下的力學行為和連續加卸載條件下的應力軟化行為。隨后Cheng等[4]又建立了考慮損傷和應變率效應的黏超彈性本構模型，較好地預測了EPDM在動態加卸載循環下的Mullins效應。Cheng等[4]所建立的橡膠材料的黏超彈本構模型僅僅是把超彈項里面的常數改為了伸長比變化率的經驗函數，這種經驗函數適用性不強，且整個模型無法描述除應變率效應外的其他黏彈性材料的力學特性。Pouriayevali等[5]研究了6種不同硬度的橡膠在準靜態和高應變率加載條件下的力學行為，并提出了一個松弛時間依賴于應變水平的黏超彈本構模型。Pouriayevali等[5]建立的黏超彈本構模型把松弛時間作為等效應變的經驗函數，同樣也存在著經驗函數的適用性問題。國內李冬等[6]研究了EPDM包覆層拉伸性能的影響因素。張中水等[7]針對EPDM絕熱層建立了一個由應變率相關函數與Ogden超彈模型乘積組成的經驗型黏超彈本構模型，蔣晶等[8]研究了EPDM絕熱層在準靜態條件下的壓縮響應，基于熱激活機制的Seeger模型建立了準靜態條件下的黏超彈本構模型。張中水[7]和蔣晶[8]等建立的黏超彈本構模型也存在著無法描述除應變率效應外其他黏彈性材料的力學特性和有限變形條件下的力學響應問題。楊曉紅等[9]基于Mooney-Rivlin超彈模型和廣義Maxwell黏彈性模型建立了EPDM絕熱層在準靜態加載條件下的本構模型。在楊曉紅等[9]所建立的黏超彈模型中，黏彈項采用了小變形條件下的廣義Maxwell模型，因而整個模型不能用于描述有限變形情況下的力學響應。談炳東等[10-11]研究了短纖維增強EPDM薄膜的力學性能，引入角度參數，建立了考慮角度參數的橫觀各向同性黏超彈本構模型。談炳東等[10-11]建立的本構模型也是只能描述應變率效應，無法描述應力松弛效應等其他黏彈性材料的力學特性。

本文基于上述研究的不足，采用橡膠類材料連續介質力學理論，對EPDM軟隔層的力學行為進行研究，建立其在有限變形下的本構模型，為開展EPDM軟隔層式雙脈沖發動機工作過程的研究提供理論參考。

1 實驗與結果分析

本文研究的EPDM軟隔層是厚度為4 mm的薄板，該材料以EPDM為基體，在此基礎上加入填充纖維以及阻燃性添加劑來提高其熱穩定性能和耐燒蝕性能。依據航天工業行業標準GB/T 528—2009，將EPDM軟隔層制成啞鈴型3型標準試件，該試件標距為16 mm，截面尺寸為4 mm×4 mm。試件尺寸如圖1所示。

圖1 啞鈴型試件尺寸示意圖Fig.1 Diagram of dumbbell specimen

實驗在微機控制電子萬能材料試驗機上完成，實驗環境條件：溫度為25 ℃，濕度為40%。分別進行了多步松弛實驗和單軸等速率拉伸實驗。單軸等速拉伸速率分別為1、10、100、500 mm/min。實驗中對每一個工況進行多次重復實驗，并選取5次有效實驗結果的平均值作為該工況的實驗曲線。單軸等速率拉伸實驗結果如圖2所示。

為了獲取本文所建立的本構模型中的超彈項參數，需要進行多步松弛實驗，該實驗是每次以200 mm/min的速率拉伸20%的應變，應變保持1 000 s，重復進行若干次直至試件斷裂。多步松弛實驗如圖3所示。

圖2 單軸等速率拉伸曲線Fig.2 Uniaxial tension test at different constant rates

圖3 多步松弛曲線Fig.3 Multi-step relaxtion curve

從圖2中可以看出，EPDM軟隔層表現出軟而韌的特點，沒有明顯的屈服點，只在曲線上有較大的彎曲部分，斷裂伸長率可達500%以上，斷裂強度較低。當伸長比λ<2時，從圖上可以看出材料的應變率效應并不明顯，表現出彈性材料的特點。只有當伸長比λ>2時應變率效應才開始比較明顯。從圖2中還可以看出，當伸長比λ>2時，從單條曲線來看，應力-應變曲線表現出類似線性關系。至于圖2中曲線出現的交叉現象，則是由于拉伸機無法瞬間加載到給定速率，導致應變較小時實驗曲線產生交叉。

2 EPDM軟隔層黏超彈本構模型

國內外學者對EPDM的研究表明，橡膠材料的力學響應可以用黏超彈模型來描述，該模型認為總的Cauchy應力張量σ可以分解為超彈性應力張量σe與黏彈性應力張量σv之和，如圖4所示，即

σ=σe+σv

(1)

圖4 黏超彈本構模型示意圖Fig.4 Diagram of visco-hyperelastic constitutive model

2.1 超彈性本構模型

對于超彈性部分，單軸拉伸情況下，假設加載方向與主應力σ11方向一致，加載方向的主伸長比λ1=λ。假設橡膠類材料不可壓縮，則其余2個主方向的伸長比λ2=λ3=λ-1/2。根據連續介質力學的有限變形理論可知，描述有限變形需要引入變形梯度張量F，即

(2)

在單軸加載的條件下，左右Cauchy-Green應變張量B和C具有相同的形式，即

(3)

對于不可壓縮各向同性超彈性材料，其Cauchy應力張量σe可以用應變能密度函數We來表示，即

(4)

(5)

(6)

從式(4)可以看出，Cauchy應力張量σe的具體表達式取決于應變能密度函數We的選取。商業軟件中常見的基于不變量的應變能密度函數有Neo-Hookean模型[12]、Yeoh模型[13]和Mooney-Rivlin模型[14]等。Neo-Hookean模型具有常剪切模量，只適用于近似預測30%～40%單軸拉伸和80%～90%純剪切的橡膠力學行為；Yeoh在Neo-Hookean模型的基礎上通過引入I1的高階項使其能描述有隨變形而變化剪切模量的填料橡膠，而且可以描述較大的變形，但不能很好地描述等雙軸拉伸實驗[13]。Mooney[14]將Rivlin和Saunders提出的級數形式的應變能函數[15]取前2項，即在Neo-Hookean模型的基礎上考慮I2對應變能函數的影響，Mooney-Rivlin模型被廣泛應用于工程問題中，但在變形很大的情況下，Mooney-Rivlin模型無法描述顆粒填充橡膠出現的硬化現象。因此本文在Mooney-Rivlin模型的基礎上，對其作如下改進：允許I1-3和I2-3的次數為大于1的任意實數，可以寫為

(7)

(8)

2.2 非線性黏彈性本構模型

對于描述橡膠這種非線性力學特性比較明顯的材料來說，小變形、線黏彈性條件下的線黏彈性本構模型已經不合適，這時需要利用有限變形條件下的非線性黏彈性本構模型進行描述。描述非線性黏彈性的本構方程有很多種，較為簡便的是對于各向同性不可壓縮材料，若不考慮t=0之前的加載歷史對當前應力的影響，有限變形下非線性黏彈性本構方程可以寫為

(9)

(10)

mt-τ一般可以寫為Prony級數的形式，如果要預測應變率橫跨多個數量級情況下的力學響應，就要取高階的Prony級數，這樣勢必會增加模型參數的個數，因此本文提出采用無量綱形式的KWW方程來代替Prony級數[16]，即

(11)

式中：θ為KWW松弛時間；β(0≤β≤1)為指數擴展因子。

令Wv為

(12)

將式(12)代入式(10)，再由單軸拉伸的邊界條件可得

(13)

聯立式(8)和式(13)可得總的柯西應力為

(14)

3 模型參數的獲取與驗證

3.1 模型參數的獲取

對于黏超彈本構模型，獲得模型參數的思路有2種：① 通過多步松弛實驗或者極慢速拉伸實驗獲得本構模型中超彈項的參數，然后再選一個拉伸速率下的應力-應變曲線獲得本構模型中黏彈項的參數[17-18]；② 通過松弛實驗或者2條不同拉伸速率的應力-應變曲線作差的方法來獲得本構模型中黏彈項的參數，然后再選某一個單軸拉伸速率下的應力-應變曲線擬合出超彈項的參數[19]。

獲得超彈項參數之后，選擇1 mm/min加載速率下的應力-應變曲線來獲得本構模型中的黏彈項參數，采用最小二乘法對式(14)進行擬合，獲得的黏彈項參數如表2所示，擬合結果與實驗結果的對比如圖6所示。

為驗證建立的黏超彈模型對其他加載速率的預測效果，利用擬合出來的本構模型去預測10、100、500 mm/min單軸等速拉伸的實驗結果，預測結果如圖7所示。從圖中可以看出，本模型可以較好地預測加載速率為10、100、500 mm/min時的力學響應。

表1 超彈參數Table1 Hyperelastic parameters

圖5 超彈響應實驗曲線與擬合曲線對比Fig.5 Comparison between model and experimental stress-strain curves

表2 黏彈參數Table 2 Viscoelastic parameters

圖6 1 mm/min速率單軸拉伸擬合結果與實驗結果的對比Fig.6 Comparison between fitting result and experimental results of uniaxial tension at 1 mm/min

圖7 不同加載速率下模型結果與實驗結果的對比Fig.7 Comparsion between model and experimental stress-strain curves under different rates

3.2 模型參數的驗證

3.2.1 超彈模型適用性驗證

為了進一步驗證本文所提出的超彈模型的適用性，采用經典的Treloar實驗數據[20]來驗證，分別有單軸拉伸、等雙軸拉伸、純剪切3種不同類型的實驗。為了便于比較，將本文所提出的新模型與Neo-Hookean (N-H)模型、Yeoh模型、Mooney-Rivlin (M-R)模型放在一起作為對比。擬合結果如圖8所示。表3～表5分別為單軸拉伸實驗、等雙軸拉伸實驗、純剪切實驗各模型的平均絕對誤差(MAE)。

從圖8(a)來看，Neo-Hookean模型和Mooney-Rivlin模型不能預測大應變時出現的硬化現象，Yeoh模型和本文所提出的新模型能更好地預測700%應變范圍內單軸拉伸實驗結果，但是本文所提出模型的MAE值比Yeoh模型更低；從圖8(b)來看，除了Neo-Hookean模型外，其他3個模型都對等雙軸拉伸實驗的結果擬合較好，本文所提出的新模型的MAE值比其他模型小1個數量級；從圖8(c)來看，在出現硬化現象之前，4個模型預測結果相差很小，MAE值均在相同的數量級，出現硬化現象之后，Yeoh模型和本文所提出的新模型能更好地預測實驗結果，但是本文所提出模型的MAE值比Yeoh模型更低。綜合3種加載情況來看，本文提出的新模型對3種加載工況的預測結果最好。

圖8 3種加載情況下不同模型預測結果與實驗結果對比Fig.8 Comparison of prediction results of different models and results of experiments under three loading cases

表3 單軸拉伸實驗各模型的平均絕對誤差Table 3 MAE of each model in uniaxial tensile experiment

表4 等雙軸拉伸實驗各模型的平均絕對誤差Table 4 MAE of each model in biaxial tension experiment

表5 純剪切實驗各模型的平均絕對誤差Table 5 MAE of each model in pure shear experiment

3.2.2 中高應變率單軸拉伸及準靜態單軸壓縮驗證

3.2.1節所述實驗均在準靜態條件下進行，為了進一步驗證模型對于其他工況下的適用性，下面采用中高應變率下的單軸拉伸實驗[17]和準靜態下的單軸壓縮實驗[8]來驗證。模型參數的獲取過程不再贅述，擬合及預測結果如圖9和圖10所示，表6～表9為中高應變率單軸拉伸及準靜態壓縮超彈、黏彈部分參數。

從圖9中可以看出，本文所建立的本構模型可以預測寬泛應變率下的單軸拉伸響應，同時也預測到了大應變時出現的硬化現象。圖10也表明本文所建立的模型可準確地預測EPDM絕熱層在準靜態條件時的單軸壓縮力學響應。綜合以上實驗結果與相應的預測結果可以看出，本文所建立的模型對多種工況都有較好的預測能力。

圖9 中高應變率單軸拉伸下模型預測結果與實驗結果的對比Fig.9 Comparison of prediction results of models and results of experiments under uniaxial tensile at medium high strain rates

圖10 準靜態單軸壓縮下模型預測結果與實驗結果對比Fig.10 Comparison of prediction results of model and results of experiment under quasi-static uniaxial compression

表6 中高應變率單軸拉伸超彈部分參數

表7 中高應變率單軸拉伸黏彈部分參數

表8 準靜態壓縮超彈部分參數

表9 準靜態壓縮黏彈部分參數

4 結 論

1) 對雙脈沖發動機EPDM軟隔層低應變率條件下的力學行為進行了研究，獲取了EPDM軟隔層的超彈響應曲線和低應變率加載曲線。從實驗結果來看，EPDM軟隔層具有超彈和黏彈性材料的特點，加載速率越大對應的載荷值越大。

2) 在Mooney-Rivlin模型的基礎上對其進行了改進，使其能夠描述大應變時出現的硬化現象而不至于引入過多參數；針對傳統的描述寬泛應變率條件下的力學響應需要克服高階Prony級數帶來的參數過多的缺點，提出采用無量綱形式的KWW方程代替高階Prony級數。

3) 為驗證本文所建立模型的合理性，利用所建的本構模型參數去預測EPDM軟隔層單軸拉伸實驗結果。為了進一步驗證模型的預測能力，采用文獻中經典的Treloar實驗及中高應變率單軸拉伸、準靜態壓縮實驗結果對模型進行了驗證。驗證結果表明，本文所建模型適用性較好，能夠較好地預測橡膠類材料在較大應變及應變率范圍內的力學響應，可以為雙脈沖發動機隔層工作過程的數值仿真提供理論模型。