基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律

李斌，林德福，何紹溟，白冰

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2. 北京理工大學(xué) 無人機(jī)自主控制技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081 3. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，機(jī)場和軍艦等戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)目標(biāo)都采取多種防御措施來應(yīng)對(duì)來襲導(dǎo)彈，比如面對(duì)空空導(dǎo)彈系統(tǒng)，電子干擾系統(tǒng)，近防武器系統(tǒng)[1]。協(xié)同攻擊可以有效地應(yīng)對(duì)上述防御措施對(duì)導(dǎo)彈的威脅[2]。多枚導(dǎo)彈在協(xié)同攻擊目標(biāo)時(shí)，為了取得更佳的毀傷效果，還希望以不同的終端攻擊角度命中目標(biāo)[3]。因此，本文研究了一種基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律，可以同時(shí)滿足攻擊時(shí)間和終端攻擊角度的約束。

隨著多飛行器協(xié)同控制問題的發(fā)展，帶有攻擊時(shí)間約束的制導(dǎo)問題在近幾年被廣泛研究[4]。文獻(xiàn)[2]提出了一種基于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律來實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊的任務(wù)。文獻(xiàn)[5-6]提出了基于領(lǐng)彈和從彈的協(xié)同制導(dǎo)，從彈通過跟蹤領(lǐng)彈來實(shí)現(xiàn)主從協(xié)同。文獻(xiàn)[7]引入剩余飛行時(shí)間變量，提出了協(xié)同比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，它通過減少各枚導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間之間的偏差來實(shí)現(xiàn)同時(shí)擊中目標(biāo)。文獻(xiàn)[8]利用一種雙層的控制結(jié)構(gòu)，提出基于協(xié)調(diào)變量的時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[9]用多項(xiàng)式函數(shù)推導(dǎo)含時(shí)間控制的制導(dǎo)指令，附加導(dǎo)引頭視場角限制的偏置項(xiàng)，設(shè)計(jì)了帶視場角限制的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[10]研究了不需要剩余飛行時(shí)間的兩段式制導(dǎo)策略，當(dāng)導(dǎo)彈狀態(tài)趨于一致后，切換成相同的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律來實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊。

針對(duì)具有終端攻擊角度約束的制導(dǎo)律研究已有很多，例如最優(yōu)制導(dǎo)律[11-13]，偏置比例導(dǎo)引律[14-15]，非線性控制制導(dǎo)律[16-17]。文獻(xiàn)[11-12]選取剩余飛行時(shí)間的函數(shù)為性能指標(biāo)的權(quán)函數(shù)，基于二次型最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了帶終端角度約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[13]針對(duì)帶有終端角度約束的任意函數(shù)加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)問題，應(yīng)用Schwarz不等式求解了有無控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)情況下最優(yōu)制導(dǎo)律的一般表達(dá)式。文獻(xiàn)[14-15]研究了無剩余飛行時(shí)間的偏置制導(dǎo)律，在比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上附加角度約束偏置項(xiàng)，利用改變過載指令控制終端攻擊角度。文獻(xiàn)[16]基于連續(xù)二階滑模理論設(shè)計(jì)了有限時(shí)間收斂的角度約束制導(dǎo)律，具有很強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[17]將終端攻擊角度約束轉(zhuǎn)化為終端視線角約束，利用螺旋控制算法設(shè)計(jì)了一種二階滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。

同時(shí)考慮攻擊時(shí)間和終端攻擊角度的制導(dǎo)律也有一些研究。通過對(duì)文獻(xiàn)[2]的拓展，文獻(xiàn)[18]提出了攻擊時(shí)間和角度控制制導(dǎo)律，可以同時(shí)滿足攻擊時(shí)間和終端攻擊角度的約束。文獻(xiàn)[19]選擇滿足攻擊時(shí)間和終端攻擊角度約束的滑模面，基于二階滑模理論和最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了攻擊時(shí)間和角度控制制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[20]在偏置比例導(dǎo)引律基礎(chǔ)上附加攻擊時(shí)間誤差反饋項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)了期望的攻擊時(shí)間和終端攻擊角度。文獻(xiàn)[21]研究了帶有攻擊時(shí)間和攻擊角度控制的三維制導(dǎo)問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和時(shí)間誤差補(bǔ)償設(shè)計(jì)了帶攻擊時(shí)間和攻擊角度控制的三維制導(dǎo)律。

制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)可以轉(zhuǎn)化為一種有限時(shí)間跟蹤問題，目的是希望在有限時(shí)間內(nèi)將跟蹤誤差調(diào)整為零。根據(jù)不同的制導(dǎo)目的，跟蹤誤差可選擇為零控脫靶量，視線角速率，攻擊時(shí)間誤差，攻擊角度誤差等[22]。以往研究的誤差動(dòng)力學(xué)只是將跟蹤誤差收斂到零，未考慮跟蹤誤差的收斂模式，一些基于非線性控制方法的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律設(shè)計(jì)沒有明確的性能指標(biāo)。本文研究了跟蹤誤差的最優(yōu)收斂模式，給出了實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差最優(yōu)收斂模式的最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)，考慮攻擊時(shí)間和終端攻擊角度約束，設(shè)計(jì)了基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律，并給出了相應(yīng)的性能指標(biāo)，得到的是一種能量最優(yōu)形式的制導(dǎo)律，且制導(dǎo)律中各部分制導(dǎo)指令的物理意義明確。最后，對(duì)不同參數(shù)情況下進(jìn)行仿真，結(jié)果表明設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)了期望的攻擊時(shí)間和終端攻擊角度。

1 問題描述

建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，圖1為導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo)的二維平面示意圖。其中VM為導(dǎo)彈速度，aM為制導(dǎo)指令,R為導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Relationship of missile-target engagement

距離，λ、θ和σ分別為彈目視線角、導(dǎo)彈速度方向角和速度方向誤差角，σ0為初始速度方向誤差角。z和s分別為彈目視線系下表示距離的參數(shù)。

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(2)

初始和終端約束分別為

(3)

式中：(x0,y0)和(xf,yf)分別為導(dǎo)彈的初始位置和目標(biāo)位置；t0和tf分別為初始和終止時(shí)刻；θ0和θf分別為導(dǎo)彈的初始速度方向角和終端攻擊角度；td為期望的攻擊時(shí)間；θd為期望的終端攻擊角度。

2 最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)

跟蹤問題的系統(tǒng)方程一般表示為

(4)

式中：ε(t)為跟蹤誤差；r(t)為已知的時(shí)變函數(shù)；u(t)為控制輸入。

首先選擇一個(gè)期望的誤差動(dòng)力學(xué)，然后計(jì)算在期望的誤差動(dòng)力學(xué)下滿足系統(tǒng)方程式(4)的控制輸入。根據(jù)不同的制導(dǎo)目的，跟蹤誤差可選擇為零控脫靶量，視線角速率，攻擊時(shí)間誤差，攻擊角度誤差等，r(t)與選取的跟蹤誤差有關(guān)，因?yàn)樯鲜龈檰栴}都是可控的，所以r(t)是可逆的，有r(t)≠0。

制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中一種傳統(tǒng)的期望誤差動(dòng)力學(xué)為

(5)

式中：k>0為控制跟蹤誤差收斂速度的比例增益。

解式(5)可得跟蹤誤差的解析式為

ε(t)=ε(t0)e-kt

(6)

式中：ε(t0)為初始跟蹤誤差。

式(6)表明跟蹤誤差按指數(shù)函數(shù)形式漸進(jìn)地收斂到零，收斂速度與比例增益k有關(guān)。這種期望的誤差動(dòng)力學(xué)只是將跟蹤誤差收斂到零，沒有考慮如何選取明確的性能指標(biāo)最優(yōu)地實(shí)現(xiàn)零跟蹤誤差。

考慮跟蹤誤差的最優(yōu)收斂模式，利用Schwarz不等式推導(dǎo)最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)[22]。

期望的誤差動(dòng)力學(xué)選取為

(7)

式中：tgo為剩余飛行時(shí)間；

(8)

其中：H(t)>0為權(quán)函數(shù)。

性能指標(biāo)為

(9)

實(shí)現(xiàn)期望的誤差動(dòng)力學(xué)式(7)并使性能指標(biāo)式(9)取最小值需要的控制輸入為

(10)

證明過程可參考文獻(xiàn)[22]。

誤差動(dòng)力學(xué)式(7)的形式即為最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)，它保證了設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在有限時(shí)間內(nèi)收斂，因?yàn)樗侵苯忧蠼庥邢迺r(shí)間最優(yōu)跟蹤問題得到的。

對(duì)最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，傳統(tǒng)期望誤差動(dòng)力學(xué)與最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)為

(11)

對(duì)比式(11)的兩種誤差動(dòng)力學(xué)，可知傳統(tǒng)期望誤差動(dòng)力學(xué)與最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的區(qū)別在于比例增益不同。傳統(tǒng)期望誤差動(dòng)力學(xué)的比例增益是一常值k，最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的比例增益是時(shí)變值φ(t)/tgo。

分析最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)變比例增益，由于

(12)

隨著剩余飛行時(shí)間趨于零，最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)變比例增益由一個(gè)初始小值增大到無窮大，時(shí)變比例增益的變化形式與φ(t)有關(guān)。

令Γ(t)=H-1(t)r2(t)，可將φ(t)寫為

(13)

函數(shù)r(t)與具體的制導(dǎo)問題有關(guān)，權(quán)函數(shù)H(t)是設(shè)計(jì)參數(shù)，根據(jù)不同的目標(biāo)選取合適的權(quán)函數(shù)H(t)。

分析式(13)可得，對(duì)于給定的r(t)和H(t)，始終有φ(t)>0。當(dāng)Γ(t)為常數(shù)時(shí)，φ(t)=1；當(dāng)Γ(t)隨著t→tf減小時(shí)，φ(t)>1；當(dāng)Γ(t)隨著t→tf增大時(shí)，φ(t)<1。

下面分析兩種情況。

1)當(dāng)r(t)是時(shí)不變函數(shù)，權(quán)函數(shù)H(t)=1時(shí)，φ(t)為

(14)

最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)使性能指標(biāo)式(15)取最小值得到的是控制量平方積分最小的制導(dǎo)律。

(15)

(16)

這種情況下，φ(t)=K為一常數(shù)。

期望誤差動(dòng)力學(xué)使下述性能指標(biāo)式(17)最小。

(17)

當(dāng)r(t)=1且K=1時(shí)，性能指標(biāo)式(17)退化為性能指標(biāo)式(15)。

最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)為

(18)

解式(18)可得最優(yōu)跟蹤誤差的解析式為

(19)

這種最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)在實(shí)際中是可用的，因?yàn)楦櫿`差的收斂模式作為剩余飛行時(shí)間的函數(shù)是可預(yù)測(cè)的，并且最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)由簡單形式給出，這種最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)可應(yīng)用于各種類型的制導(dǎo)問題。

3 時(shí)間角度控制制導(dǎo)律

本節(jié)利用最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)方法設(shè)計(jì)時(shí)間角度控制制導(dǎo)律，在廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上增加攻擊時(shí)間誤差反饋項(xiàng)，將攻擊時(shí)間誤差看做跟蹤誤差，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律使跟蹤誤差以最優(yōu)模式在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，最終實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間和終端攻擊角度的共同控制。

3.1 廣義最優(yōu)角度控制律的剩余飛行時(shí)間

廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律可表示為[12]

(20)

式中：n=0,1,2,…；σf=θf-λ。

在對(duì)廣義最優(yōu)角度控制律進(jìn)行剩余攻擊時(shí)間估算時(shí)，不僅要考慮比例導(dǎo)引過載指令對(duì)彈道曲率的影響，還要考慮用于終端攻擊角度控制的過載指令對(duì)彈道的影響。

定義z為關(guān)于沿彈目視線參數(shù)s的多項(xiàng)式函數(shù)

z=an+3sn+3+an+2sn+2+…+a1s+a0

n=0,1,2,…

(21)

根據(jù)小角度假設(shè)，速度方向誤差角表示為

σ=-[(n+3)an+3sn+2+(n+2)

an+2sn+1+…+a1]

n=0,1,2,…

(22)

根據(jù)邊界條件

(23)

當(dāng)n≥1時(shí)，補(bǔ)充方程

(24)

將式(23)和式(24)代入式(21)和式(22)，可解出待定系數(shù)為

(25)

當(dāng)1

考慮終端攻擊角度約束的剩余飛行時(shí)間估計(jì)表示為

(26)

式中：Δ為由于彈道彎曲增加的剩余飛行時(shí)間的比例。

將式(21)對(duì)s求導(dǎo)可得

(27)

利用泰勒公式并略去高階項(xiàng)有

(28)

將式(28)代入式(27)得

(29)

3.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

時(shí)間角度控制制導(dǎo)律的制導(dǎo)指令表示為

aM=aOA+aIT

(30)

式中：aIT為攻擊時(shí)間誤差反饋項(xiàng)制導(dǎo)指令。

3)σ+(2n2+6n+3)σf]sinσ

(31)

將上述簡化關(guān)系代入式(31)并且忽略高階項(xiàng)得

[(2n+3)σ+(2n2+6n+3)σf]σ=

(n+1)σf]aIT

(32)

攻擊時(shí)間誤差定義為

εt=td-tf

(33)

將攻擊時(shí)間誤差εt看作跟蹤誤差，利用第2節(jié)的方法，可得

[(2n+4)σ-(n+1)σf]aIT

(34)

攻擊時(shí)間控制問題的時(shí)變函數(shù)r(t)和控制輸入u(t)分別為

(35)

關(guān)于攻擊時(shí)間誤差εt的最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)

(36)

性能指標(biāo)為

(37)

將式(36)代入式(34)得

(38)

則時(shí)間角度控制制導(dǎo)律為

(39)

式(39)也可表示為

(40)

可以看出，時(shí)間角度控制制導(dǎo)律包含比例導(dǎo)引項(xiàng)，終端攻擊角度控制項(xiàng)和攻擊時(shí)間誤差反饋控制項(xiàng)。其中比例導(dǎo)引項(xiàng)保證命中目標(biāo)，終端攻擊角度控制項(xiàng)和攻擊時(shí)間誤差反饋控制項(xiàng)使導(dǎo)彈分別滿足期望的終端攻擊角度和期望攻擊時(shí)間。當(dāng)攻擊時(shí)間與期望的攻擊時(shí)間實(shí)現(xiàn)一致后，攻擊時(shí)間誤差反饋控制項(xiàng)的制導(dǎo)指令收斂為零，時(shí)間角度控制制導(dǎo)律退化為廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律。

當(dāng)n=0時(shí)，廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律即彈道成型制導(dǎo)律，時(shí)間角度控制制導(dǎo)律為

(41)

性能指標(biāo)為

(42)

4 仿真分析

以時(shí)間角度控制制導(dǎo)律式(41)為例，仿真驗(yàn)證在不同參數(shù)條件下的性能。式(41)可表示為

(43)

不考慮跟蹤誤差的收斂模式，由傳統(tǒng)的誤差動(dòng)力學(xué)式(5)得到的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律為

(44)

可以看出制導(dǎo)律中的設(shè)計(jì)參數(shù)為期望攻擊時(shí)間td、期望終端攻擊角度θd和制導(dǎo)增益K，不同的參數(shù)不僅可以改變導(dǎo)彈的彈道軌跡，也會(huì)影響對(duì)控制能量的消耗。

控制能量定義為

(45)

導(dǎo)彈初始位置(0,0) m，目標(biāo)位置(12 000,0) m，初始速度方向誤差角σ0=30°，導(dǎo)彈速度VM=300 m/s，導(dǎo)彈最大可用過載amax=10g。

首先對(duì)比基于最優(yōu)和傳統(tǒng)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律式(43)、式(44)的性能。選取期望的攻擊時(shí)間為47 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導(dǎo)增益K=6。

圖2給出了不同跟蹤誤差收斂模式下的彈道、過載指令和控制能量曲線。仿真結(jié)果表明，制導(dǎo)律式(43)、式(44)都實(shí)現(xiàn)了期望的攻擊時(shí)間和終端攻擊角度，但不考慮跟蹤誤差收斂模式的制導(dǎo)律式(44)需要很大的初始過載和更多的控制能量，并且沒有明確的性能指標(biāo)。

下面分別分析td、θd和K對(duì)基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律式(43)性能的影響。

圖2 不同跟蹤誤差收斂模式下的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of different tracking error convergence patterns

4.1 不同攻擊時(shí)間

研究不同攻擊時(shí)間情況下的性能。選取期望的攻擊時(shí)間分別為44、47、50 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導(dǎo)增益K=6。

圖3給出了不同攻擊時(shí)間下的導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)距離、彈道、速度方向角、速度方向誤差角、過載指令和控制能量曲線。由圖3(a)和圖3(c)可看出，在時(shí)間角度控制制導(dǎo)律作用下，實(shí)現(xiàn)了不同攻擊時(shí)間和期望的終端攻擊角度約束。在比例導(dǎo)引制導(dǎo)律作用下的飛行時(shí)間tf=40.8 s，終端攻擊角度θf=-10°，越大的期望攻擊時(shí)間要求彈道越彎曲，因此在初始段導(dǎo)彈以速度方向誤差角增大的方向飛行來增加彈道長度。仿真結(jié)果圖3(d)～圖3(f)表明，攻擊時(shí)間和角度的跟蹤誤差越大，初始段速度方向誤差角增加越多，需要的過載越大，控制能量消耗越多。

圖3 不同攻擊時(shí)間下的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of different impact time

4.2 不同終端攻擊角度

分析不同終端攻擊角度情況下的性能。選取期望的終端攻擊角度分別為-45°，-60°，-75°，攻擊時(shí)間td=47 s，制導(dǎo)增益K=6。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)和圖4(c)分別為彈目相對(duì)距離曲線和速度方向角曲線，導(dǎo)彈以期望的終端攻擊角度在攻擊時(shí)間47 s命中目標(biāo)。在彈道成型制導(dǎo)律作用下，實(shí)現(xiàn)-45°，-60°，-75°終端攻擊角度的飛行時(shí)間分別為43.04、44.57、46.52 s。圖4(d)～圖4(f)表明，終端攻擊角度-45°的時(shí)間誤差最大，為了增加攻擊時(shí)間，初始段需要以速度方向誤差角增大的方向飛行，相應(yīng)的需要較大過載和控制能量。終端攻擊角度-75°的攻擊時(shí)間誤差較小，初始段需要較小的過載和控制能量，在彈道末端需要較大的過載和控制能量來實(shí)現(xiàn)大的終端攻擊角度。終端攻擊角度-60°時(shí)消耗的控制能量最小，因此在選擇制導(dǎo)律參數(shù)時(shí)，需要權(quán)衡攻擊時(shí)間和終端攻擊角度的匹配問題。

圖4 不同終端攻擊角度下的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of different terminal impact angles

4.3 不同制導(dǎo)增益

圖5仿真對(duì)比了不同制導(dǎo)增益K下的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律性能。選取攻擊時(shí)間td=47 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導(dǎo)增益K分別為6、10和14。仿真結(jié)果表明，制導(dǎo)增益K越大，攻擊時(shí)間誤差收斂越快，但需要更大的過載和控制能量。由圖5(a)和圖5(c)可看出，不同的制導(dǎo)增益K都實(shí)現(xiàn)了期望的攻擊時(shí)間和終端攻擊角度。

圖5 不同制導(dǎo)增益下的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of different guidance gains

5 結(jié) 論

1) 本文考慮攻擊時(shí)間和終端攻擊角度約束，提出了一種時(shí)間角度控制制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律由廣義最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律和攻擊時(shí)間誤差反饋項(xiàng)組成，分別用來進(jìn)行終端攻擊角度控制和攻擊時(shí)間控制。

2) 考慮跟蹤誤差的最優(yōu)收斂模式，利用Schwarz不等式推導(dǎo)了最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)，給出了廣義最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律作用下的剩余飛行時(shí)間估算表達(dá)式，將攻擊時(shí)間誤差看作跟蹤誤差，設(shè)計(jì)基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)了攻擊時(shí)間和終端攻擊角度的共同控制。

3) 該制導(dǎo)律形式簡單，仿真表明在不同的設(shè)計(jì)參數(shù)下均有較好的性能，具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。