自由翻滾故障衛(wèi)星外包絡(luò)抓捕及抓捕路徑優(yōu)化

孫沖，袁建平，萬文婭，崔堯

1. 西北工業(yè)大學 航天學院，西安 710072 2. 西北工業(yè)大學深圳研究院，深圳 518057

故障衛(wèi)星抓捕是空間非合作目標在軌服務(wù)以及空間碎片清除的基礎(chǔ)[1]。大多數(shù)故障衛(wèi)星失去姿態(tài)軌道調(diào)整能力，受到太陽光壓、重力梯度等攝動力矩及失效前自身殘余角動量的影響，往往會呈現(xiàn)出復雜旋轉(zhuǎn)運動，最終趨向于自由翻滾。翻滾故障衛(wèi)星質(zhì)量、質(zhì)心位置、幾何形狀尺寸、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動角速度等信息均未知，運動規(guī)律較為復雜。在抓捕過程中，抓捕機構(gòu)和抓捕對象之間存在高動態(tài)相對運動，在軌抓捕難度很大[2-7]。

針對自由翻滾故障衛(wèi)星抓捕問題，國內(nèi)外研究人員提出了很多抓捕方法，包括非接觸式抓捕、機械臂抓捕、繩網(wǎng)抓捕、柔性抓捕及黏貼抓捕等。非接觸式抓捕需要采用電磁環(huán)境牽引或者引力環(huán)境改變目標運動狀態(tài)，應(yīng)用于故障衛(wèi)星清理任務(wù)難度較大。機械臂抓捕是通過機械臂末端執(zhí)行器直接對故障衛(wèi)星進行抓捕。采用機械臂抓捕空間一般需要有固定的抓捕點或者對接結(jié)構(gòu)。ESA、NASA、JAXA、DLR、DARPA等機構(gòu)提出了包括Deorbit[1]、TAKO[2]、EPOS[3]、OctArm[4]、Canadarm2[5]等系列任務(wù)，均采用剛性連接抓捕方式實現(xiàn)對故障衛(wèi)星等空間碎片的抓捕。機械臂抓捕方法成本較高，對測量系統(tǒng)、導航系統(tǒng)以及控制系統(tǒng)要求更高。然而，采用剛性連接抓捕方法可直接對旋轉(zhuǎn)故障衛(wèi)星實施主動消旋，而且在抓捕后可對抓捕目標進行精確控制，有利于為其提供在軌服務(wù)[8-12]。例如更換廢棄衛(wèi)星的天線、對燃料耗盡的衛(wèi)星進行燃料加注等。文獻[6]提出一種柔性抓捕概念，該抓捕機構(gòu)采用3個或4個多關(guān)節(jié)手爪組成，可通過張開閉合抓捕手爪來實現(xiàn)對尺寸相當?shù)墓收闲l(wèi)星的“擁抱式”抓捕。然而，針對尺寸較小的故障衛(wèi)星，該機構(gòu)無法保證在抓捕過程中故障衛(wèi)星不會逃脫；另外，針對旋轉(zhuǎn)角速度較大的自由翻滾故障衛(wèi)星，抓捕過程碰撞沖擊有可能會損壞柔性手爪。文獻[7]提出了一種仿象鼻抓捕機構(gòu)，通過可變形抓捕機構(gòu)本身的彎曲纏繞抓捕對象，以實現(xiàn)對形狀不規(guī)則故障衛(wèi)星的抓捕。該抓捕機構(gòu)可以實現(xiàn)對翻滾角速度較小的故障衛(wèi)星的抓捕，然而不適用于自由翻滾角速度較大的抓捕目標。文獻[8]提出一種類似于壁虎足底的，通過抓捕機構(gòu)與抓捕對象表面吸附力抓捕方法。該抓捕方式不需要固定的抓捕點，只需要一塊略微平整的表面即可，然而針對自由翻滾故障衛(wèi)星，采用該抓捕方式需要先對其進行消旋。由分析可知，故障衛(wèi)星具有外形不規(guī)則、運動參數(shù)未知等特點，采用傳統(tǒng)抓捕方法，很難完全適應(yīng)，因此需提出新的抓捕理論方法。

針對上述問題，本文提出一種外包絡(luò)抓捕方法，該方法在考慮故障衛(wèi)星運動參數(shù)不確定的情況下重構(gòu)其運動外包絡(luò)，并在給定抓捕終端結(jié)構(gòu)的前提下，根據(jù)故障衛(wèi)星的運動外包絡(luò)設(shè)計機械臂終端機構(gòu)的抓捕包絡(luò)。進一步，針對外包絡(luò)抓捕方法，考慮到抓捕任務(wù)的燃料消耗、機械臂關(guān)節(jié)角約束、基座擾動以及路徑約束，求解了最省燃料抓捕路徑。最后，采用旋轉(zhuǎn)立方星的抓捕問題，驗證了該抓捕方法的有效性。本文的結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)描述了外包絡(luò)抓捕動力學模型，包括外包絡(luò)抓捕定義、故障衛(wèi)星運動包絡(luò)建模；在第2節(jié)，建立了外包絡(luò)抓捕機械臂運動方程，給出了抓捕機械臂工作空間求解算法；然后提出了一種求解有效外包絡(luò)抓捕的抓捕位置姿態(tài)方法，將最優(yōu)路徑設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為多目標優(yōu)化問題。在第3節(jié)，以旋轉(zhuǎn)立方星抓捕問題為例，通過實驗驗證了本文所提出外包絡(luò)抓捕方法的有效性。最后在第4節(jié)給出本文的結(jié)論。

1 包絡(luò)抓捕模型

1.1 包絡(luò)抓捕定義

外包絡(luò)抓捕是指根據(jù)抓捕目標的運動特征以及機械臂末端抓捕機構(gòu)特征，設(shè)計抓捕包絡(luò)并有效約束故障衛(wèi)星運動范圍；通過抓捕機構(gòu)與故障衛(wèi)星表面摩擦抓捕自由翻滾故障衛(wèi)星。實現(xiàn)外包絡(luò)抓捕需要利用抓捕機構(gòu)對目標構(gòu)成約束障礙，防止目標逃走。一旦實現(xiàn)包絡(luò)構(gòu)型，目標就被約束在某一區(qū)域，不需要精確控制就可實現(xiàn)目標抓捕。因此，外包絡(luò)抓捕適合具有運動參數(shù)不確定特性的故障衛(wèi)星抓捕問題。基于文獻[13-14]，構(gòu)成外包絡(luò)的充分必要條件如下：

(1)

式中：qobj為包含目標位置信息和姿態(tài)信息的矢量；Cfree_obj為目標的自由構(gòu)型空間；Cfree_inf為由離目標無限遠的點組成的集合。此外，Cfree_obj和Cfree_inf組成了自由C空間。目標可以在自由C空間內(nèi)運動并且不會和抓捕機構(gòu)發(fā)生碰撞。Cfree_obj和Cfree_inf的具體形式與抓捕機構(gòu)構(gòu)成的C障礙以及目標運動特性和幾何特性有關(guān)。非合作目標運動包絡(luò)是由非合作目標所有可達到的位置構(gòu)成的，在此假定為Cfree_obj。抓捕包絡(luò)是由抓捕機構(gòu)形成的特定構(gòu)型，防止非合作目標逃走。在實際抓捕過程，抓捕包絡(luò)需要完全包含故障衛(wèi)星運動包絡(luò)，且抓捕包絡(luò)與運動包絡(luò)之間的差值需要盡可能小。

在此假定，在對目標實現(xiàn)包絡(luò)抓捕前，抓捕航天器和故障衛(wèi)星之間已實現(xiàn)軌道運動同步，因此僅需分析故障衛(wèi)星的姿態(tài)運動。故障衛(wèi)星外形往往呈現(xiàn)不規(guī)則特征。在此以長方體及圓臺體為例分析故障衛(wèi)星運動包絡(luò)。如圖1所示，Ot為故障衛(wèi)星質(zhì)心，Otxbybzb為故障衛(wèi)星連體坐標系，其坐標軸單位矢量沿著慣性主軸。在此定義Ixt、Iyt和Izt為故障衛(wèi)星慣性參數(shù)，ωt為角速度,qt為故障衛(wèi)星的姿態(tài)參數(shù);Pt為故障衛(wèi)星表面上任意點。

利用Euler動力學方程可以建立故障衛(wèi)星姿態(tài)運動方程為

圖1 非合作目標簡化模型Fig.1 Simplified model of non-cooperative targets

(2)

(3)

(4)

式中：IAb為從非合作目標連體坐標系到慣性坐標系的變換矩陣，可表示為

(5)

基于式(1)～式(5)可以預(yù)測目標表面上任意點的運動，所有點的軌跡組成了目標可達域。

1.2 故障衛(wèi)星運動外包絡(luò)構(gòu)建

(6)

St={(xt,yt,zt)(xt-xt0)2+(yt-yt0)2+

(7)

這里St包含了所有目標可能到達的位置。如果抓捕機構(gòu)能夠包絡(luò)運動包絡(luò)，那么目標也就能夠成功地被包絡(luò)住。因此，對抓捕機構(gòu)而言，故障衛(wèi)星運動包絡(luò)可以代替目標。

為便于討論外包絡(luò)抓捕方法，以一種三爪抓捕機構(gòu)為例說明外包絡(luò)抓捕方法。如圖3所示，該抓捕機構(gòu)的主體由3根兩關(guān)節(jié)的手指構(gòu)成。通過調(diào)整手指關(guān)節(jié)間角度，以及手指和基座的角度，能夠形成合適的網(wǎng)來約束目標的運動。抓捕機構(gòu)內(nèi)表面附有高阻尼的諸如毛刷的物體，可對抓捕目標消旋。

圖2 長方體目標的運動包絡(luò)Fig.2 Motion envelope of rectangular target

圖3 網(wǎng)爪機構(gòu)圖Fig.3 Three-fingered net-gripper mechanism

2 機械臂最優(yōu)抓捕路徑設(shè)計

如圖4所示，空間機器人系統(tǒng)由航天器和n自由度的機械臂組成，一共n+1個物體。為了便于討論，一些重要的符號和變量見表1。

運動學和動力學方程可以表示為[15-16]

(8)

(9)

圖4 單臂空間機器人系統(tǒng)Fig.4 Diagram of single-arm space robot system

表1 空間機器人建模時重要的符號和變量Table 1 Important kinematic and dynamic symbols of space robots

整個系統(tǒng)滿足角動量和線動量守恒：

(10)

因此，基座運動可以表示為

(11)

將式(11)代入式(8)中，自由漂浮空間機器人的運動方程為

(12)

抓捕機構(gòu)末端執(zhí)行器能夠到達位置的集合被稱為機械臂可達工作空間[5]，代表了抓捕機械臂的運動范圍。只有當故障衛(wèi)星處在機械臂工作空間之內(nèi)，才可對故障衛(wèi)星實施抓捕。由于機械臂和主航天器基座間存在動力學耦合。文中，空間抓捕機械臂工作空間通過虛擬機械臂建模數(shù)值方法計算，具體步驟為[17]

1) 根據(jù)連桿參數(shù)建立虛擬機械臂模型。

2) 確定相連物體間的坐標變換矩陣。

5) 畫出末端執(zhí)行器所有可能的位置點，得到空間機器人工作空間。

上標I為變量參數(shù)在慣性坐標系中表示。基于虛擬機械臂建模，末端執(zhí)行器的位置可以表示為

(13)

(14)

從系統(tǒng)質(zhì)心到末端執(zhí)行器的距離R為

(15)

基于幾何分析可得出當基座姿態(tài)運動自由且關(guān)節(jié)角不受限制，當滿足式(16),空間機械臂抓捕機構(gòu)的工作空間為環(huán)形，當滿足式(17)時，抓捕機構(gòu)的工作空間為球。

(16)

(17)

假定空間機械臂抓捕機構(gòu)的工作空間區(qū)域記作Sm，根據(jù)式(16)和式(17)，可以寫為

(18)

dcm=Ot-Pc=

IAE[xt0-xcyt0-yczt0-zc]T

(19)

抓捕機構(gòu)通常是軸對稱的，僅僅確定軸線方向并不能唯一確定姿態(tài)。為減小機械臂機動并簡化計算，將與空間機器人初始構(gòu)型對應(yīng)的包絡(luò)點選為參考包絡(luò)點，其姿態(tài)作為參考姿態(tài)。如圖6所示，參考包絡(luò)點用Pcr表示，設(shè)對應(yīng)的抓捕機構(gòu)軸線方向為d0：

(20)

圖5 不同包絡(luò)點抓捕機構(gòu)的姿態(tài)Fig.5 Attitude of capture mechanism at different caging points

圖6 抓捕機構(gòu)姿態(tài)確定示意圖Fig.6 Illustration for determination of capture mechanism attitude

式中：抓捕機構(gòu)的姿態(tài)IAEr由空間機器人系統(tǒng)的初始構(gòu)型決定，

(21)

式中：jAi為從坐標系i到坐標系j的變換矩陣。

對于故障衛(wèi)星運動包絡(luò)上的其他點Pci，如

圖6所示，可以由參考包絡(luò)點Pcr繞非合作包絡(luò)中心旋轉(zhuǎn)得到。旋轉(zhuǎn)角Φi可以表示為

(22)

因此，抓捕機構(gòu)在參考包絡(luò)點和任意包絡(luò)點的姿態(tài)變換矩陣ErAEi可以寫為

(23)

式中：s=sinΦi,c=cosΦi。進一步，抓捕機構(gòu)在慣性坐標系中的姿態(tài)可以表示為

IAEi=IAEiErAEi=IA00A11A2…n-1AnnAErErAEi

(24)

由上述分析可知，采用外包絡(luò)抓捕具有大量可行的抓捕包絡(luò)點。當確定了包絡(luò)抓捕點后，抓捕姿態(tài)角度亦可確定。大量可行抓捕點可構(gòu)成一個抓捕面。

外包絡(luò)抓捕方法具有大量的可行抓捕點。因此設(shè)計基于外包絡(luò)抓捕的最優(yōu)抓捕路徑，首先需要在大量滿足約束的外包絡(luò)抓捕點中選擇最優(yōu)的抓捕點，從而將點對面的抓捕問題，轉(zhuǎn)換為點對點的抓捕問題。進一步采用優(yōu)化算法對點對點的抓捕路徑進行優(yōu)化。

在此考慮抓捕燃料消耗、抓捕路徑約束以及抓捕過程中終端抓捕機構(gòu)與抓捕目標之間的摩擦碰撞對抓捕航天器的擾動，設(shè)計燃料消耗以及抓捕航天器擾動最小的抓捕路徑。為了避免旋轉(zhuǎn)動力學奇異點以及減小驅(qū)動關(guān)節(jié)的燃料消耗，優(yōu)化抓捕路徑的目標函數(shù)之一為

(25)

(26)

s.t.gi(x)=0

hi(x)≤0

(27)

(28)

考慮到抓捕機構(gòu)機械臂的非完整特征，點到點路徑規(guī)劃的模型為

(29)

θi(t)=ai5t5+ai4t4+ai3t3+ai2t2+ai1t+ai0

i=1,2,…,n

(30)

式中：aij(j=0,1,…,5)為5次多項式的系數(shù)，可以通過邊界條件確定。綜上所述，空間機器人最優(yōu)路徑規(guī)劃問題可以描述為

(31)

3 仿真分析

3.1 旋轉(zhuǎn)立方相抓捕地面實驗

在此采用旋轉(zhuǎn)立方星抓捕問題驗證外包絡(luò)抓捕方法的有效性。地面實驗中采用3D打印技術(shù)設(shè)計了三爪抓捕機構(gòu)，抓捕目標為尺寸15 cm×15 cm×15 cm的立方星。抓捕機構(gòu)手爪上布置了毛刷如圖7(a)所示。實驗中，將立方星吊掛在一根輕質(zhì)繩上，并使其繞繩軸自由旋轉(zhuǎn)。抓捕實驗中，當抓捕機構(gòu)對自旋立方星構(gòu)成有效抓捕包絡(luò)后，手爪毛刷在立方星表面的摩擦力作用在立方星上，阻尼作用使立方星的旋轉(zhuǎn)角速度逐漸減小。整個地面實驗根據(jù)角速度不同分了6組，不同角速度與消旋時間如圖7(b)所示。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，外包絡(luò)抓捕方法不需要固定抓捕點，當抓捕包絡(luò)有效約束立方星運動，則外包絡(luò)抓捕方法可以有效抓捕自旋立方星。

圖7 旋轉(zhuǎn)立方星抓捕地面實驗Fig.7 Tumbling Cube-Sat grasping experiment

3.2 機械臂抓捕路徑優(yōu)化

在此采用自由翻滾立方星抓捕路徑優(yōu)化問題進一步驗證外包絡(luò)抓捕路徑優(yōu)化方法。假定自由翻滾立方星的初始角速度選為[-4 -2 -2]T(°)/s，運動包絡(luò)的半徑為0.519 6 m。整個抓捕任務(wù)見圖8。機械臂運動學和動力學參數(shù)見附錄A，其中ai、bi和Ii均在各自本體系中表示。

圖8 機械臂抓捕故障衛(wèi)星任務(wù)示意圖Fig.8 Task sketch for grasping a dysfunctional satellite by space robot

假設(shè)基座姿態(tài)運動和關(guān)節(jié)運動均自由，即α,β,γ,θi∈[-π, π]。通過計算，可求得機械臂工作空間是半徑為2.864 1 m的球，如圖9所示。

圖9 空間機器人工作空間Fig.9 Workspace of space robot

抓捕機械臂的初始構(gòu)型是由初始關(guān)節(jié)θi(t0)和關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角αi決定的。因此，從第i個連桿到第i-1個連桿的坐標變換矩陣i-1Ai(i=1,2,…,6)為

i-1Ai=Rx(αi)Rz(θi0)=

(32)

式中：θi0為θi(t0)的簡寫。根據(jù)圖8，抓捕機構(gòu)從參考包絡(luò)點連體坐標系到機械臂末關(guān)節(jié)坐標系坐標變換矩陣為6AEr:

(33)

根據(jù)抓捕目標的運動包絡(luò)與抓捕機構(gòu)的工作范圍的不同情況St?Sm和St?Sm&St∩Sm≠?，進一步分析最優(yōu)抓捕路徑。

圖10 仿真中St和Sm關(guān)系圖Fig.10 Relative relationship between St and Sm in simulation

Case1St?Sm

圖11 Γ1和Γ2關(guān)系圖Fig.11 Relationship between Γ1 and Γ2

表2 Case 1優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimal results of Case 1

Case2St?Sm&St∩Sm≠?

圖12 Case 1中關(guān)節(jié)末端執(zhí)行器和基座的位姿變化Fig.12 Change of joint motion and pose of end effector and base for Case 1

表3 Case 2優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimal results of Case 2

圖13 Case 2中關(guān)節(jié)末端執(zhí)行器和基座的位姿變化Fig.13 Change of joint motion and pose of end effector and base for Case 2

4 結(jié) 論

1) 針對具有參數(shù)不確定特征的自由翻滾故障衛(wèi)星,本文提出了一種外包絡(luò)抓捕方法以及抓捕路徑優(yōu)化方案。該抓捕方法不需要固定抓捕點或準確的運動參數(shù)，因此可適用于類似故障衛(wèi)星、空間碎片等空間非合作目標抓捕。

2) 給出了外包絡(luò)抓捕的定義、故障衛(wèi)星運動包絡(luò)以及抓捕機構(gòu)的抓捕包絡(luò)，并給出了外包絡(luò)抓捕的約束條件。根據(jù)外包絡(luò)抓捕特點，同時考慮到抓捕燃料消耗以及抓捕過程對抓捕航天器擾動，以及抓捕過程中機械臂的關(guān)節(jié)角約束問題，設(shè)計了同時考慮抓捕燃料消耗以及基座擾動的最優(yōu)抓捕路徑。

3) 采用立方星抓捕地面實驗及數(shù)值仿真表明，外包絡(luò)抓捕方法無需固定抓捕點，可對參數(shù)不確定的非合作目標實施有效抓捕。