基于D-P準則巷道圍巖應變軟化與破裂膨脹彈塑性分析*

羅 勇

(中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙 410083)

0 引言

基于M-C準則的Kastner方程，假定圍巖為理想彈塑性材料，被廣泛應用于巷道彈塑性分析[1-2]。近年來，對巷道彈塑性分析開展了許多相關研究，得到了一些有益的成果。例如，蔣斌松等[3]利用非關聯流動法則和M-C準則對巷道變形進行分析；孟龍等[4]基于M-C準則，得到了圍巖應力解；有研究表明[5-6]中間主應力可使巖體強度增大30%左右；侯公羽等[7]利用D-P準則推導了理想彈塑性巷道的解析解；胡小榮等[8]、曾開華等[9]考慮中間主應力對變形的影響；劉萬榮等[10]、劉志欽等[11]分析了中間主應力巷道應力的影響解析式。上述這些研究雖分析了中間主應力對彈塑性解的影響，但均沒有考慮巖體的應變軟化行為。為此，基于非關聯流動法則和D-P準則，考慮中間主應力、圍巖軟化和膨脹，推導了巷道彈性解，并進行應用分析。

1 力學模型與屈服準則

1.1 巷道力學模型

設在原巖應力為p0的地層中開挖一半徑為R0的圓形巷道，表面作用有支護阻力pi，圍巖依次形成彈性區、塑性區和破裂區，如圖1。

圖1 巷道力學模型Fig.1 Mechanical model of roadway

圖中Rb，Rp分別為破裂區和塑性區半徑。設水平無限長巷道深度大于20倍硐徑；原巖應力各向等壓，不計影響范圍內巖體重力，圍巖視為連續、均質和各向同性材料。

1.2 應變軟化

為了描述巖體的軟化行為，設軟化階段φ和c與塑性應變εp滿足二次函數關系[12]，如圖2所示。

圖2 c和φ軟化模型Fig.2 Softening model of c and φ

設二次函數關系式為：

c=F(εp-ε0)2+K(εp-ε0)+D

(1)

式中：F，K，D為常數。在峰值強度(ε0，c0)和殘余強度(εb，cb)處，由圖2可得：

c0=D，cb=F(εb-ε0)2+K(εb-ε0)+D

(2)

在c減至cb后，塑性應變不再使其變化，即：

(dc/dεp)εp=εb=2F(εb-ε0)+K=0

(3)

聯立式(1)～(3)可得：

c=Sc(εp-ε0)2/(εb-ε0)-2Sc(εp-ε0)+c0

(4)

同理：

φ=Sφ(εp-ε0)2/(εb-ε0)-2Sφ(εp-ε0)+φ0

(5)

式中：Sc=(c0-cb)/(εb-ε0)，為c的軟化模量；Sφ=(φ0-φb)/(εb-ε0)，為φ的軟化模量；ε0，φ0，c0分別是峰值處的應變、內摩擦角和黏聚力，單位分別為無量綱、(°)和MPa。

1.3 破裂膨脹

圍巖破壞后具有破裂膨脹行為[13-14]，可利用非關聯流動法則確定切向和徑向塑性應變的關系[9]：

塑性區：

(6)

破裂區：

(7)

式中：β1和β2是與巖體破裂膨脹有關的系數。

1.4 Drucker-Prager屈服準則

D-P準則表達式為：

(8)

n=(σ2-σ3)/(σ1-σ3)

(9)

σθ-σr=(1-M)σr-N

(10)

考慮應變軟化，則在塑性區有：

σθ-σr=(1-Mp)σr-Np

(11)

在破裂區有：

σθ-σr=(1-Mb)σr-Nb

(12)

式中：σr和εr，σθ和εθ，σz分別為徑向應力和應變、切向應力和應變以及巷道軸向應力，應力單位為MPa。

2 巷道圍巖應力與位移

2.1 基本方程

平衡微分方程：

dσr/dr+(σr-σθ)/r=0

(13)

幾何方程：

εr=du/dr，εθ=u/r

(14)

物理方程：

(15)

式中：u，v，E分別為位移、泊松比和彈性模量，單位分別為mm、無量綱和MPa。

2.2 彈性區應力與位移

對于彈性區，當r→時，有σr=σθ=p0；r=Rp時，σr和σθ滿足式(10)和σθ+σr=2p0，且有求解得彈性區應力：

(16)

將式(16)代入式(15)求解，得彈性區應變：

(17)

式(17)第2式代入式(14)，得彈性區位移：

(18)

2.3 塑性區應力和位移

在塑性區內，σr和σθ滿足式(11)和式(13)，把式(11)代入式(13)，積分解得：

σr=CrMp-1+Np/(1-Mp)

(19)

(20)

在塑性區，圍巖總的應變由2部分組成，即塑性應變和彈性應變，由此得到：

(21)

在塑性區，巖體表現出破裂膨脹特性，聯立式(6)、(14)和(21)得：

(23)

式(23)代入式(14)，可得到塑性區內應變：

(24)

2.4 破裂區應力與位移

(25)

由式(21)，同理可以得到破裂區總應變，即：

(26)

(27)

2.5 塑性區和破裂區半徑

在塑性軟化區內，由式(24)可以得：

(28)

由于應變軟化，塑性區cp，φp與εp分別滿足式(4)和(5)，將式(28)代入得：

(29)

式中：H=(1+ν)[p0(M-1)+N]/[E(1+M)]。

當r=Rb時，c=cb，φ=φb，代入式(29)，可以得到塑性區與破裂區的半徑比值，即：

(30)

(31)

聯立式(30)和(31)得破裂區半徑。如圍巖無破裂膨脹和應變軟化特性，此時cb=c0，φb=φ0，β1=β2=1代入式(27)和(31)，則得到只考慮中間主應力下的一般解答，與文獻[7]所得解一致。

3 算例分析

假設開挖一半徑R0為3 m的圓形巷道，p0為15 MPa，巷道表面均勻作用支護阻力pi，大小為1.2 MPa。圍巖基本參數為：E=2 GPa；μ=0.25；c0=5.3 MPa；cb=2.1 MPa；φb=16.3°；φ0=32°；Sφ=1 963°；Sc=400 MPa；β1=1.42；β2=1.4。

3.1 中間主應力對Rp，Rb及u的影響

圖3為中間主應力對Rp和Rb的影響，圖4為中間主應力對巷道變形u的影響。由圖3和圖4得，n逐漸增大時，Rp，Rb及u均呈現先減后增的變化規律。當0≤n≤0.5，Rp，Rb及u隨n增大減小明顯；當0.5≤n≤0.7，Rp，Rb及u隨n增大呈先減后增的規律，但變化不明顯，且當n=0.7左右有最小值；當0.7≤n≤1時，Rp，Rb及u隨n增大增加越明顯，但n=1比n=0時值小。因此，中間主應力對Rp，Rb及u的影響具有區間性。由圖3、圖4可知考慮中間主應力時，最大可使Rp大約減少20%，Rb減少12%，u減少22%。由此可見，中間主應力對巷道的變形和破壞影響較大。

圖3 中間主應力對Rp和Rb的影響Fig.3 Influence of intermediate principal stress on Rp and Rb

圖4 中間主應力對巷道變形u的影響Fig.4 Influence of intermediate principal stress on u

3.2 應變軟化對Rp，Rb及u的影響

圖5為c軟化對Rp和Rb的影響，圖6為內聚力軟化對位移的影響。由圖5和圖6可知，Sc對Rp不產生影響；Sc恒定不變時，隨cb的增大，Rp，Rb和u均逐漸減小，且有cb較小時，對Rp，Rb及u的影響相對更顯著，當cb增大到某一值后繼續增加，則對Rp，Rb及u的影響不明顯；cb恒定不變時，Sc的值越大，其對u的影響較小，而對Rb的影響越大，但隨Sc增大，Rb受其影響程度降低。圖7為φ軟化對Rp和Rb的影響，圖8為φ軟化對u的影響。分析圖7和圖8得，Sφ對Rp沒有影響，對u影響小；Sφ恒定不變時，Rp，Rb和u隨φb增大均呈現降低趨勢，且有φb越小，對Rp，Rb和u的影響程度越小，而φb越大，Rp和Rb兩者越接近；當φb不變，Sφ越大，對Rb影響越大。

圖5 c軟化對Rp和Rb的影響Fig.5 Influence of cohesive force-softening on Rp and Rb

圖6 內聚力軟化對位移的影響Fig.6 Influence of cohesive force-softening on displacement

圖7 φ軟化對Rp和Rb的影響Fig.7 Influence of φ on plastic and fractured zone radius

圖8 φ軟化對u的影響Fig.8 Influence of φ on displacement

3.3 破裂膨脹對Rp，Rb和u的影響

由式(27)和(31)可知，β1對Rp沒有影響，對Rb和u有影響；β2對Rp和Rb都沒有影響，但對u有影響。膨脹系數β1和β2對Rb及u的影響如圖9和圖10所示。

圖9 破裂膨脹對Rb的影響Fig.9 Influence of expansion on fractured zone radius

圖10 破裂膨脹對位移的影響Fig.10 Influence of expansion on displacement

分析圖9和圖10可以得出，β2恒定時，隨β1增大，Rb和u呈現逐漸增大趨勢，每當β1增大0.5，破裂區半徑大約增大1%～2%，u增大7%～8%。β1恒定時，隨β2增大，變形u逐漸增大，且有β1越大，β2對變形u的影響越顯著。因此，膨脹對Rb影響不大，但對變形影響顯著。

3.4 支護阻力對Rp和Rb及位移u的影響

pi對Rp和Rb的影響見圖11，pi對u的影響見圖12。分析圖11可得，pi恒定時，隨p0增大，Rp和Rb均增大；p0不變時，隨pi增大，Rp和Rb均降低，當pi增加0.5 MPa，Rp和Rb大約減少5%左右。分析圖12可知，巷道變形u隨pi增加逐漸減小，且p0越大，pi對巷道變形影響就變得越顯著。

圖11 pi對Rp和Rb的影響Fig.11 Influence of pi on plastic and fracture zone radius

圖12 pi對u的影響Fig.12 Influence of pi on displacement

4 工程應用

潘一礦東區的-842 m東翼大巷位于二疊系上石盒子組含煤系地層中。該區域最大主應力為34.67 MPa，巷道揭露巖性主要為砂質泥巖、細砂巖、11-3煤及煤線等，圍巖單軸抗壓強度大都在20～40 MPa之間，屬于典型的高應力軟巖巷道。巷道開挖后，圍巖強度不斷劣化，表現出明顯的應變軟化行為。

文獻[15]在該巷道中選取2段進行現場實驗。2段均采用“錨桿+錨索+鐵絲網+混凝土”支護，但一段采用中空錨注錨桿，對圍巖注漿，減小圍巖軟化程度，另一段采用普通端錨錨桿，不進行注漿，其他參數均相同。觀測結果發現，注漿段圍巖變形和破裂范圍明顯小于未注漿段。因此，降低圍巖軟化程度，能有效減小軟巖巷道的破裂范圍和變形。

5 結論

1)中間主應力對巷道變形和破壞的影響具有區間性。塑性區、破裂區半徑及位移隨中間主應力增加先減少后增大，且有|n-0.7|越大，影響程度越大。

2)巷道變形、塑性區和破裂區大小均隨軟化程度增大而增大；軟化模量對巷道變形影響不明顯，但對破裂區和塑性區大小受其影響比較顯著。

3)塑性區膨脹行為不影響塑性區半徑，但影響巷道變形和破裂區范圍；破裂區膨脹行為對破裂區和塑性區范圍不產生影響，但會影響巷道的變形。

4)支護阻力對圍巖破壞和變形影響明顯。當支護提供的阻力每提高0.5 MPa，破裂區和塑性區的寬度縮小5%左右，且巷道所處地應力越高，支護對巷道變形產生的作用效果就越顯著。