兩自由度非線性隔振系統的吸引子遷移控制

柴 凱, 樓京俊, 朱石堅, 俞 翔, 吳海平

(1. 海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033；2. 海軍工程大學 船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

聲隱身技術是提高潛艇水聲對抗性能的關鍵技術之一[1]。潛艇輻射水聲中的低頻線譜是現代被動聲納在水聲對抗中檢測、跟蹤和識別目標的主要特征信號，是危害潛艇水隱身性能的主要因素，而線性隔振系統難以消除機械設備運轉產生的線譜。非線性系統屬于多重吸引子系統[2](Multiple Attractors System，MAS)，在一定參數條件下，系統可能存在多個不同拓撲特性的吸引子，而且不同共存的吸引子之間振幅存在較大差異，初始條件的改變可能使原本處于振幅小的吸引子突然跳到振幅大的吸引子上運動。

實現不同吸引子之間的轉換方法稱為遷移控制方法，利用該方法可解決如何讓MAS從一個吸引子傳輸到另一個“更有益的”吸引子[3-4]。遷移控制算法由最初的開環(huán)控制，發(fā)展到開環(huán)加線性閉環(huán)(Open-Plus-Closed-Loop，OPCL)控制以及開環(huán)加非線性閉環(huán)(Open-Plus-Nonlinear- Closed-Loop，OPNCL)控制，從而避免了確定傳輸域范圍的繁瑣計算。OPCL方法由Jackson等[5]首先提出，開環(huán)部分構造出所需的目標軌道，閉環(huán)部分使其穩(wěn)定，該方法具有很強的魯棒性和抗噪聲能力；Song[6]研究了OPCL方法在混沌系統多奇怪吸引子之間的輸運與遷移；Shen等[7]利用OPCL方法實現了Mathieu-Duffing系統由混沌運動到周期軌道的遷移；Hu等[8]通過OPCL和自適應控制實現了耦合神經元系統的延遲同步。但OPCL方法僅對微分方程右端為m(m≤2)階的多項式系統具有較高的控制效果，當m>2時傳輸域的復雜程度隨著m的增加而變得難以確定，而且OPCL受到收斂域和輸送盆的限制。為了克服上述困難，Wang等[9-10]提出了OPNCL控制算法，并證明了對于任意給定目標函數，系統的傳輸域非空并且是全局的。Chen等[11]應用OPNCL方法對Duffing系統和Van der Pol系統等2階非自治常微分方程進行了研究；Tian等[12]通過OPNCL方法實現Chua系統遷移控制，并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了傳輸域是全局穩(wěn)定的。但上述文獻大多集中在理論研究領域，面向工程應用的較少，而且由于非線性系統的固有特點，各種控制算法很難具有普遍性，需要針對具體研究對象進行改進及優(yōu)化。

本文以兩自由度非線性隔振系統為研究對象，對其吸引子共存現象進行分析，通過遷移控制，使得系統運行于振幅較小的周期或混沌吸引子上，從而實現線譜混沌化技術與潛艇動力機械隔振的有機結合。

1 遷移控制方法

1.1 基本概念

考慮帶控制項的非線性動力學系統

dx/dt=F(x,t)+S(t)K(g,x,t), (x,g)∈Rn

(1)

(2)

則稱系統被傳輸至目標g(t)。系統能夠被傳輸至g(t)的連續(xù)初始條件的集合稱為傳輸域BE(g)。要實現MAS中不同的吸引子A和B之間的遷移，只須保證g(0)位于吸引子A中，而g(t)的終點位于吸引子B中，即系統軌道進入目標軌道g(0)的鄰域時啟動傳輸控制，在g(t)進入B的吸引域后關閉控制，系統能穩(wěn)定運行在B上，下面具體給出不同遷移控制方法的數學表達式。

1.2 不同遷移方法的傳輸能力對比

利用Hübler開環(huán)控制使得式(2)成立，控制形式為

K(g,t)=H(dg/dt,g,t)=dg/dt-F(g,t)

(3)

誤差方程為

(4)

式(4)為非自治非線性方程組，零解穩(wěn)定性的判別非常復雜，即使存在BE(g)≠?，也僅在e=0的較小鄰域內，而且開環(huán)控制方法只有在dg/dt≠F(g,t)的情況下才起作用，否則H(dg/dt,g,t)=0對所有t成立，失去了遷移控制的意義。

利用線性反饋控制使得式(2)成立，控制形式為

K(g,x,t)=-A(g-x)

(5)

其中A是負定的對角常數陣，誤差方程為

(6)

閉環(huán)控制方法中g(t)必須限制為方程dg/dt=F(g,t)的某個解，且式(6)也是非自治非線性方程組，零解穩(wěn)定性判別非常復雜，確定傳輸域范圍及存在性也非常困難。

OPCL算法的控制項K(g,x,t)為Hübler開環(huán)控制和線性閉環(huán)控制的組合形式

K(g,x,t)=dg/dt-F(g,t)+C(g,t)e(t)

(7)

其中C(g,t)=?F(g,t)/?g-A，誤差方程為

(8)

OPNCL算法的控制項為

K(g,x,t)=dg/dt-F(g,t)-C(g,t)e-N(g,x,t)

(9)

式中：N(g,x,t)是非線性的閉環(huán)控制函數，Ni(g,x,t)的表達式如下

(10)

設F(x,t)為p階多項式，則m=p-1的OPNCL的誤差方程為

(11)

2 全局性態(tài)分析

2.1 動力學方程建模

將非線性隔振系統的柔性基礎簡化為一個具有單自由度的集中參數系統，則柔性基礎的非線性隔振系統如圖1所示。M1和M2分別表示被隔振設備和基礎的質量，M1由一個線性阻尼C1和一個含一次剛度K1和三次剛度K3的非線性彈簧支撐，M2則由一個線性阻尼C2和一個含一次剛度K2的彈簧支撐，激勵力為FcosΩT。當彈簧處于自然狀態(tài)時，系統的運動方程為

(12)

圖1 兩自由度非線性隔振系統示意圖Fig.1 Schematic of a 2-DOF vibration isolation system

式中：Z1和Z2分別為彈簧處于自然狀態(tài)時被隔振設備和基礎的振動位移，X1和X2分別為彈簧處于平衡狀態(tài)時被隔振設備和基礎的振動位移。為了便于分析，進行如下坐標變換：Z1=X1+h1,Z2=X2+h2,H=h1-h2。利用如下關系消除重力項：M1g+M2g=K2h2,M1g=K1H+K3H3, 通過坐標變換后系統的運動方程被轉換為

(13)

(14)

2.2 全局分岔分析

設定系統參數ξ1=0.1,γ=2,ξ2=0.1,w=0.5,k2=1,ω=1.6, 分析激勵力幅值f對系統全局分岔特性的影響。采用最簡單的跟蹤延拓算法，將f在0～30范圍內，步長為0.01的向前延拓(f由小變大)和向后延拓(f由大變小)的所有解枝均畫在同一圖上，具體系統隨f變化的全局分岔如圖2所示，圖3是對應的最大Lyapunov指數圖。

圖2 基座響應隨激勵力幅值變化的全局分岔圖Fig.2 Global bifurcation diagram varying with the excitation amplitude

圖3 最大Lyapunov指數譜圖Fig.3 Maximum Lyapunov exponent spectrum

由圖2和圖3可知，在多個參數區(qū)間內出現了吸引子共存的現象，例如8.44≤f≤9.46之間存在兩個P-1吸引子，在6.06≤f≤7.61之間存在一個P-1和一個P-3吸引子，在22.57≤f≤23.61之間存在兩個P-3吸引子，在11.23≤f≤12.51之間存在一個P-1吸引子和一個混沌吸引子，在20.08≤f≤20.64之間存在一個P-3吸引子和一個混沌吸引子。

2.3 全局性態(tài)分析

遷移控制需已知吸引子大小、位置及吸引域強弱等全局性態(tài)。全局性態(tài)很難解析刻畫，一般采用胞映射或點映射等數值計算方法進行分析[13]。本文利用胞參考點映射法[14](Point Mapping Under Cell Reference，PMUCR)對兩自由度非線性隔振系統進行全局性態(tài)分析，該方法結合了胞映射的高效性和點映射的準確性，計算流程的精細程度較高，保證了分析結果的有效性。

當f=6.8時，分析平面選擇-6≤x2≤6，-10≤y2≤6，固定x1和y1的初始值均為0，得到系統的吸引子及其吸引域如圖4所示，圖中灰色區(qū)域為周期1的吸引域，“■”為其吸引子，黑色區(qū)域為周期3的吸引域，“▲”為其吸引子，圖5是共存吸引子的相圖。由圖4和圖5可知，系統存在一個周期1吸引子和一個周期3吸引子。

圖4 時共存的吸引子及其吸引域Fig.4 Coexistent attractors and their basins at

圖5 時共存的吸引子相圖Fig.5 Phase diagram of coexistent attractors at

當f=20.5時，系統的吸引子及其吸引域如圖6所示，系統存在一個周期3吸引子和一個混沌吸引子，圖中黑色區(qū)域為周期3吸引域，“■”為其吸引子，灰色區(qū)域為混沌吸引域，“+”為其吸引子，圖7是共存吸引子的相圖。由圖6和圖7可知，系統存在一個周期3吸引子和一個混沌吸引子。

3 共存吸引子的遷移控制

設目標軌道函數為g=(g1,g2,g3,g4)T，e=(e1,e2,e3,e4)T，Δ1=g1-g3，Δ2=e1-e3， 并令S(t)=1。對系統施加Hübler開環(huán)控制，得到

圖6 時共存的吸引子及其吸引域Fig.6 Coexistent attractors and their basins at

圖7 時共存的吸引子相圖Fig.7 Phase diagram of coexistent attractors at

(15)

(16)

其中，

設實常矩陣A=diag(a11,a22, …,ann)，且aii<0，對系統施加線性閉環(huán)控制，得到

(17)

(18)

對系統施加OPCL控制，得到

(19)

(20)

對系統施加OPNCL控制，得到

(21)

(22)

因此，對于兩自由度非線性隔振系統，OPNCL控制的誤差方程相比開環(huán)控制、線性閉環(huán)控制和OPCL控制簡單，右端的系數不含有g(t)， ‖e‖很快收斂于零，說明OPNCL的控制作用與g(t)的選擇無關，對兩自由度非線性隔振系統的傳遞域是全局的，傳輸能力最優(yōu)越。

4 數值仿真分析

4.1 周期吸引子之間的遷移控制

由圖5可知，系統周期1吸引子A1和周期3吸引子A2共存，且這兩個周期吸引子振幅相差較大，下面通過控制算法實現當系統運行到振幅較大的A2吸引子上時迅速遷移至振幅較小的A1吸引子，從而實現減振降噪。

設A=diag(-10, -10, -10, -10)，目標軌道函數g1=g3=1.5+sin 0.5t，g2=g4=0.5cos 0.5t，易知目標軌道的振幅均小于兩個周期吸引子，圖8是不同控制下基座的相圖，其中虛線表示施加控制前系統的運行軌跡，粗線表示目標函數軌跡。由圖可知，開環(huán)控制下系統無法運行至目標軌道，相軌跡雜亂無章，而線性閉環(huán)控制下系統較為穩(wěn)定運行至目標軌道，由于目標函數g1=g3，使得OPCL的誤差方程的系數并未含有g(t)，因此OPCL和OPNCL控制均能使系統準確運行至目標軌道。

圖8 不同控制下基座的相圖Fig.8 Phase diagram of the base under different controls

上述控制方法雖然能大幅度降低幅值，但必須一直施加控制，所需能源較多。下面采用另一種控制策略，當系統運行在A2吸引子時，啟動控制，即令S(t)=1，而當系統遷移至目標軌道且運行在A1吸引子時，關閉控制，即令S(t)=0。圖9是線性閉環(huán)和OPCL控制下基座的相圖，其中細線表示施加控制后系統的運行軌跡。由圖可知，兩種控制算法均能實現A2吸引子到A1吸引子之間的遷移控制，但線性閉環(huán)控制的瞬態(tài)時間較長，同時由于目標函數g1=g3，使得OPCL的誤差方程并未含有g(t)，OPCL相比線性閉環(huán)效果更佳。

(a) 線性閉環(huán)控制

(b) OPCL控制

目標軌道選擇g1=1.5+sin 0.5t，g2=0.5cos 0.5t，g3=1+0.5sint，g4=0.5cost，圖10是OPCL和OPNCL控制下基座的相圖。由圖可知，兩種控制算法均能實現A2吸引子到A1吸引子之間的遷移控制，但OPCL控制的瞬態(tài)時間較長，同時由于目標函數g1≠g3，使得OPCL的誤差方程的系數含有g(t)，OPCL不能遷移至目標軌道，但OPNCL依然能準確遷移至目標軌道，并使得系統穩(wěn)定運行在A1吸引域，且瞬態(tài)時間較短。

(a) OPCL控制

(b) OPNCL控制

4.2 周期和混沌吸引子之間的遷移控制

由圖7可知，系統周期3吸引子A1和混沌吸引子A2共存，下面通過控制算法實現當系統運行到A1吸引子上時迅速遷移至A2吸引子，使得功率譜呈現連續(xù)譜特征，從而削弱線譜特征，隱匿線譜信息。

目標軌道選擇g1=1.5+sin 0.5t，g2=0.5cos 0.5t，g3=0.5+2sint，g4=0.5cost，圖11是OPNCL控制下系統的相圖和時程圖，系統由A1吸引子準確遷移到A2吸引子，由周期運動變?yōu)榛煦邕\動，系統的振幅降低。圖12是控制前后系統的功率譜圖，由圖可知，OPNCL控制后的系統功率譜呈現連續(xù)譜特征，平均線譜強度由-38.03 dB降低至-44.21 dB，實現了降低線譜強度和隔離振動的雙重目的。

(a) 基座的相圖

(b) 基座的時間歷程圖圖11 OPNCL控制后基座的相圖和時程圖Fig.11 Phase diagram and time histories of the base under OPNCL control

(a) 未施加OPNCL控制

(b) 施加OPNCL控制圖12 基座施加OPNCL控制前后的功率譜圖Fig.12 Power spectrum of the base under before-and-after the OPNCL control

5 結 論

本文建立了兩自由度非線性隔振系統的動力學模型，分析了系統的全局分岔特性和吸引子共存現象，并通過不同控制方法實現了不同周期吸引子之間和周期吸引子與混沌吸引子之間的遷移控制，使系統始終工作在期望的最佳運動狀態(tài)。可以得出如下結論：

(1)兩自由度非線性隔振系統隨著激勵力幅值的變化呈現豐富的動力學行為，存在不同周期吸引子、周期吸引子和混沌吸引子共存現象。

(2)OPNCL控制方法相比Hübler開環(huán)、線性閉環(huán)和OPCL，微分方程右端為任意多項式形式時，傳遞域是全局的，且不受目標函數變動的影響，能準確實現不同吸引子之間的遷移。

(3)通過仿真驗證，OPNCL能使系統始終運行在振幅較小的周期或混沌吸引子上。這樣一方面可以顯著降低線譜強度，提升振動隔離能力；另一方面可以利用混沌功率譜為連續(xù)譜的特性，重構水聲頻譜，隱匿線譜信息，從而達到隔振和線譜混沌化的雙重目的。