新型阻尼環對轉子-齒輪傳動系統彎扭耦合振動的減振研究

王逸龍 , 曹登慶, 楊 洋, 張立偉

(1. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001； 2. 西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031；3. 齊齊哈爾二機床(集團)有限責任公司， 黑龍江 齊齊哈爾 161005)

齒輪傳動裝置經常被用于速度變化或工作方向變化的轉子系統中，由于齒輪之間的嚙合作用引起的內部和外部激勵，導致傳動系統極易產生高頻噪音,進而降低傳動效率，甚至引起整體系統的劇烈振動。這對傳動系統的穩定性和可靠性而言非常不利。阻尼環減振降噪技術是改善齒輪振動性能的一個非常有效的措施。通過在齒輪輪轂溝槽內嵌入阻尼環，利用阻尼環與齒輪溝槽間存在的摩擦力消耗系統的振動能量，起到減振降噪的目的[1]。雖然從原理上來看，阻尼環減振技術非常簡單，但是阻尼環對齒輪動力學特性的影響卻十分復雜。為了避免通過反復的實驗來對阻尼環減振技術進行研究，達到減少研究時間和成本的目的，對齒輪-阻尼環系統進行理論分析研究顯得非常有意義。

國內外有不少專家學者對阻尼環技術進行了研究并不斷的改良，取得了一些成果。但由于阻尼環對齒輪振動的影響十分復雜，到目前為止，大部分的研究工作主要依托實驗測試來進行。Okamura等[2]以實驗研究為手段，測定了阻尼環結構參數和安裝誤差對齒輪傳動系統的振動噪聲所產生的影響。嚴紹霞等[3]分別以幾種不同的工況和不同結構形式阻尼環為變量對齒輪系統噪聲譜進行了實驗分析，得出了含油雙面環的降噪效果最佳的結論。Zucca等[4-6]結合有限元和靜態試驗研究了不同結構形式阻尼環對航空齒輪動態特性、振動噪聲的影響，發現阻尼環可以有效降低齒輪振動位移和減小等效應力波動。在理論分析方面，孫濤等[7]以庫倫摩擦力表征阻尼環與齒輪間的摩擦特性，建立了5 自由度的齒輪-阻尼環系統扭轉動力學模型。研究了摩擦力對齒輪振動加速度幅值的影響，發現了該系統存在最佳摩擦力，可使得減振效果最佳。于英華等[8]建立了簡化的齒輪-阻尼環系統的軸向振動的模型，并由此推導出了齒輪-阻尼環系統振動位移與阻尼環黏滯阻尼之間的關系式，分析了泡沫鋁與其他材料相比用于阻尼環減振降噪的優越性。毛炳秋等[9]對兩種阻尼材料的力學特性進行了分析,并以阻尼環厚度為變量探討了阻尼環對齒輪傳動振動噪聲的影響，發現阻尼環對高頻振動噪聲的抑制效果尤佳。王慶洋等[10]以于英華建立的模型為基礎，建立了齒輪-阻尼環系統的軸向振動的動力學方程組，采用諧波平衡法給出了近似解析解，并通過數值模擬探討了齒輪-阻尼環系統減振效果與阻尼環參數的關系。彭楠等[11]以C型開口阻尼環為研究對象，建立了安裝阻尼環的弧齒錐齒輪傳動動力學模型，通過數值模擬給出系統的動態響應，并研究了阻尼環的開口量、厚度和寬度對系統振動特性的影響。馮海生等[12]同樣以C型開口干摩擦阻尼環為研究對象，建立了干摩擦阻尼環齒輪傳動系統的彎扭軸耦合多體動力學模型，研究了阻尼環結構參數對齒輪傳動系統軸向振動特性的影響。

目前有關阻尼環減振特性的研究大多基于干摩擦阻尼環與部件結構之間的摩擦力，這在一定程度上會導致阻尼環的減振效果不佳，影響系統的運動穩定性。為此，本文將探討一種結合了干摩擦減振器與彈簧減振器的工作原理的新型阻尼環，研究其對轉子-齒輪傳動系統的減振效果。首先，根據設計的阻尼環-齒輪模型和轉子-齒輪傳動系統模型，建立阻尼環-轉子-齒輪傳動系統的彎扭耦合動力學模型，并建立其對應的動力學方程組；通過數值方法求解方程組，以轉子的彎曲振動和齒輪的扭轉振動所對應的自由度為主要研究對象，對比安裝阻尼環前后，這些自由度的共振幅頻響應特性，得到新型阻尼環對這些自由度共振時的減振情況；以阻尼器的剛度、阻尼和阻尼環的摩擦力為變量，研究在新型阻尼環的結構參數變化時，系統共振的幅頻響應變化規律。

1 安裝阻尼環的轉子-齒輪系統的動力學建模

本文將以某航空發動機轉子試驗臺裝置為基礎[13]，建立起對應的轉子-齒輪轉動彎扭耦合動力學模型，并將新型阻尼環安裝在該模型中，從而研究阻尼環對該系統的減振效果。該實驗設備的內部傳動系統由兩個傳動軸構成，其中低壓渦輪盤(轉子)所在軸是從動軸，由一個從動輪和兩個渦輪盤組成，而主動軸上的齒輪為主動輪，與電機直接通過傳動軸連接。對應的轉子-齒輪系統在剛性支撐下的模型由圖1所示。

圖1 安裝阻尼環的轉子-齒輪傳動系統模型Fig.1 The damping ring-rotor-gear transmission system model

1.1 基本假設

建立安裝阻尼環的轉子-齒輪傳動系統動力學模型的基本假設如下：

(1) 齒輪傳動系統的重要內部激勵因素包括輪齒時變嚙合剛度和嚙合誤差[14]，但為了盡可能地簡化模型，本文不考慮時變的嚙合剛度，而采用綜合嚙合剛度來描述齒輪副的激振力傳導[15]。

(2) 考慮到扭擺振動對系統的影響較小，為分析方便，本文中忽略扭擺振動。

(3) 由于阻尼環對系統的減振主要通過減少齒輪扭振來實現，雖然轉子的渦動也是造成系統彎扭耦合振動的主要原因，但是它并不會影響阻尼環的減振原理，因此本文假設轉子都是理想轉子，不會發生渦動。

1.2 動力學建模

如圖1所示，該模型是一個集中參數三維空間動力學模型，兩齒輪用集中質量和集中轉動慣量模擬，將傳動軸考慮成沒有質量但是具有彎曲剛度和扭轉剛度的連接體，其質量參數被等效地考慮到轉子和轉盤的集中質量里，用彈簧和阻尼器來模擬嚙合剛度。建立空間直角坐標系Ai(xi,yi,zi)(i=1, 2, 3, 4), 坐標系Ai原點分別位于4個質量塊的理想中心，坐標軸xi平行于齒輪嚙合線方向(即模型中與嚙合剛度方向平行)，坐標軸yi垂直于傳動軸線方向，而坐標軸zi沿傳動軸線方向。設轉子1的轉角為θ1，從動輪的轉角為θ2，轉子2的轉角為θ3，主動輪的轉角為θ4，主動輪上阻尼環的轉角為θ5，從動輪上阻尼環的轉角為θ6。通過該方法，理論上可以得到18個自由的轉子-齒輪傳動系統，包括每個質量塊的沿xi軸和yi軸方向的彎曲振動、沿zi軸方向的軸向振動，以及沿θi方向的扭轉振動。

如圖2 所示為安裝了新型阻尼環的齒輪模型。該阻尼環模型的安裝方式參考了彈簧減振器的工作原理，并結合了阻尼環的減振原理，考慮在阻尼環與齒輪之間設置一種彈簧阻尼材料，用一種中間體(與齒輪用螺栓連接，而與阻尼環僅接觸)將兩者在扭轉方向上關聯起來，使兩者在扭轉方向上不僅存在摩擦力相互作用的關系，還存在彈簧-阻尼力相互作用關系，從而使阻尼環不僅能夠發揮摩擦力耗能作用，也能發揮動力減振器的作用[9]。當阻尼環安裝在溝槽內后，它們之間的接觸壓力主要是由阻尼環的彈性變形所造成，根據不同的彈性變形程度，可以對阻尼環與齒輪之間的摩擦力值進行調整。

圖2 阻尼環-齒輪模型(左圖)和阻尼環模型(右圖)Fig.2 The damping ring-gear model (left) and the new type damping (right)

根據相關文獻[16]可知，齒輪在嚙合時，由于傳動誤差，導致在齒間會產生一個不穩定力，這是齒輪發生強迫振動的主要原因之一。傳動誤差可以通過傅里葉展開的形式來表達：

e(t)=e0+ersinΩt

(1)

式中：e0為齒輪副之間沿嚙合線方向上的傳動誤差常量(沿xi軸);er為該方向上的傳動誤差幅值(沿xi軸);Ω為齒輪副的嚙合頻率，其值為齒輪齒數與轉軸轉速ω的乘積。

如圖3所示，設每個齒輪在嚙合處受到的沿xi方向的外力大小為F，沿yi方向的為F′，可以得到：

(2)

圖3 齒輪副受力示意圖Fig.2 The gear pair model

由于系統沿yi軸方向的振動量十分微小，該方向上的振動量對嚙合力的影響僅僅是通過受力角φ來體現的[12]。設此時只有yi方向存在振動，產生的嚙合力為ΔP，s為兩齒輪嚙合點沿嚙合線方向的距離，lxi為沿xi軸上的初始距離，如圖4所示。

圖4 齒輪副方向振動示意圖Fig.4 The gear pair’s vibration along the direction

圖中：φ是一個與齒輪齒的尺寸、傳動誤差和沿yi軸方向的振動量等相關的量。由于齒輪尺寸遠大于沿yi軸方向的振動量，從而導致φ的值十分微小，即有cosφ≈1, tanφ≈0，因此由式(3)可知：ΔPxi≈0。

(3)

由此可知，沿yi軸方向的振動對系統沿xi軸和扭轉方向上振動的影響甚微，可以忽略其耦合作用。為了簡化模型，在該模型中，沿yi軸方向的振動被考慮成由一個沿yi軸方向的內激勵F′=εF所導致，其中ε為一個比例常數，并且取值非常小。則式(2)可簡化成：

(4)

此時，沿yi軸方向的振動就簡化成了獨立的振動，所以系統的自由度從18變成了14。同理，系統沿zi方向的振動也具有相同的特性，因此可以將系統進一步地從14個自由度簡化成10自由度。

結合實際齒輪傳動系統中的摩擦特性[4-5, 7-8]，本文將采用Coulomb摩擦力模型表征阻尼環與齒輪間的摩擦機理，即：

f=Ffsgn(vr)

(5)

式中：Ff為阻尼環與齒輪間的滑動摩擦力;vr為兩者之間的相對速度。

則安裝阻尼環的轉子-齒輪傳動系統的動力學微分方程為：

(6)

2 固有特性和幅頻響應分析

由方程(6)可知系統的剛度矩陣和質量矩陣，由此可求出安裝新型阻尼環的轉子-齒輪傳動系統的固有頻率和對應的各階主振型。本文以實際航空發動機轉子實驗臺的構造圖紙為基礎，借鑒文獻[12-13, 15-17]中的主要結構參數，得到系統基本參數如表1所示，然后通過計算得到系統的固有頻率，如表2所示。

表1 安裝阻尼環的轉子-齒輪傳動系統基本參數

表2 安裝阻尼環的轉子-齒輪傳動系統各階固有頻率

要研究阻尼環對該系統的減振效果，只需要針對該系統的工作環境來進行即可。由于轉子試驗臺的工作轉速在2 000～5 000 r/min之間(嚙合頻率為1 000～2 500 Hz)，由表2可知，此區間包含系統的第9、10階模態。經過歸一化處理后，通過系統第9、10階主振型(如圖5所示)可知，系統在這兩階模態附近發生的振動主要是由齒輪的扭振主導。因此，該系統的第9、10階模態將是本文研究的重點。

圖5 安裝阻尼環后系統的第9、10階模態主振型Fig.5 The No. 9 and No. 10 mode values of the damping ring-rotor-gear system

為了更加直觀地研究安裝阻尼環對轉子-齒輪傳動系統的減振效果，需要對安裝阻尼環的轉子-齒輪傳動系統的幅頻響應進行計算。為了適應MATLAB中4階Runge-Kutta變步長數值積分法，在調用ode45函數進行計算時，引入狀態變量u(τ)，然后將式(6)中的10個二階微分方程轉化為20個一階狀態方程。其中，狀態變量u(τ)表示為：

(7)

則方程組(7)可以寫成：

(8)

式中：A為線性系數矩陣，B(u)為非線性項組成的矢量，C為激勵項組成的矢量。

盡管，系統在其工作頻率范圍內發生的振動是由齒輪的扭振所主導，但是由于齒輪扭振所發生的彎曲振動也是不可忽略的。在此，以工程中通常比較關心的幾個自由度為主要研究對象，即轉子1、2的彎曲振幅和主、從動輪的扭轉振幅，設不安裝阻尼環時為工況1，安裝了新型阻尼環為工況2，而安裝了傳統不帶安裝剛度和安裝阻尼的阻尼環為工況3(摩擦力與工況2一致)，根據表1給出的參數，通過計算系統中這幾個自由度在1 000～2 500 Hz范圍內的幅頻響應，如圖6所示，可以直觀地看出安裝阻尼環后系統的減振情況。

從圖6可以看出，系統在共振點附近受新型阻尼環的影響比較明顯，這四個自由度的減振率在10%～30%不等，尤其是在第9階共振點附近時，x1,x3,θ4受阻尼環的影響比較明顯，共振幅值分別從17 μm減少到13 μm，4.04 μm減少到3.12 μm，0.017 6 rad(1.01℃)減少到0.014 5 rad(1.01℃)，減振率分別為30.24%、29.66%，17.6%。然而，傳統阻尼環在相同摩擦力的情況下減振率只有5%左右。由此可看出，新型阻尼環與傳統阻尼環相比，對系統在第9、10階固有頻率附近發生的共振有比較明顯的減振作用。

綜上所述，新型阻尼環對轉子-齒輪傳動系統在實際工作頻率范圍內的影響主要集中在系統固有頻率附近，而且減振效果比較明顯。因此，可知新型阻尼環的作用不僅可以體現在減少齒輪扭轉振動方面，還能在高頻范圍內對復雜的彎扭耦合振動系統進行減振，并且效果較顯著，這與文獻[9]的結論是相吻合的。

3 阻尼環結構參數對系統共振特性的影響

由上一節可知，阻尼環的加入對系統在工作頻率內的彎扭耦合振動影響比較明顯。因此，本節將重點分析系統在工作頻率內由齒輪扭振所主導的兩階共振。由于阻尼環結構參數的改變會導致與阻尼環扭振相關的模態發生遷躍，從而與表2中的第9、10階模態發生替換。為了保持對應關系，在此，設表1中第9階頻率對應的一階為S階，第10階頻率對應的一階為L階。

3.1 阻尼環安裝剛度的影響

由于本文的阻尼環的安裝方式參考了動力減振器，因此需要研究該安裝方式對系統減振的貢獻程度。

圖6 三種工況下x1、x3、θ2、θ4在工作頻率范圍內的幅頻響應曲線Fig.6 Frequency-amplitude characteristic curves for three conditions in the working frequency range (x1, x3, θ2 and θ4)

圖7 x1, x3, θ2, θ4在S階和L階的共振幅值隨安裝剛度的變化規律Fig.7 The change rate of resonance amplitudes (x1, x3, θ2, θ4) in order S and order L with the increase of

3.2 阻尼環安裝阻尼的影響

由圖8可知，這三階的共振幅值都隨著安裝阻尼的增加呈現減小的趨勢，這說明安裝阻尼的增大在一定范圍內是有利于系統減振的。值得指出的是，安裝阻尼的增大對S階共振幅值的影響比L階的大，即在S 階時，通過增加安裝阻尼的方式可以很有效地減弱系統的振動。但是，這個優勢僅僅在安裝阻尼相對較大的時候才明顯。

圖8 x1, x3, θ2, θ4在S階和L階的共振幅值隨安裝阻尼的變化規律Fig.8 The change rate of resonance amplitudes (x1, x3, θ2, θ4) in order S and order L with the increase of

3.3 阻尼環與齒輪之間摩擦力的影響

在對阻尼環的摩擦力對系統減振效果的研究中，大部分學者都是針對簡化過的單個齒輪或齒輪副進行研究的，并沒有考慮到復雜系統的彎扭耦合振動。由前兩節的內容可知，阻尼環的減振作用可以間接地通過減少齒輪的扭轉振動來對系統其他自由度的振動帶來減振效果。因此，本節將圍繞阻尼環與齒輪間的摩擦力對系統各自由度的減振效果進行研究，研究的重點仍然是x1,x3,θ2,θ4這四個自由度的共振。為了方便討論，設Ff5=Ff6，并分別取Ff5=Ff6=50, 100，150，200, 250, 300時進行計算，同樣以無阻尼環時的共振幅值為參考，得到的x1,x3,θ2,θ4隨摩擦力變化的共振振幅變化曲線，如圖10示。

圖9 θ4在S階的共振振幅-嚙合頻率-安裝阻尼關系曲面Fig.9 The surface plot of the relationship among θ4, Ω, in order S

由圖10知，盡管隨著摩擦力的增加，x1,x3,θ2,θ4在S階和L階的減振率變化速度逐漸減小，但從整體來看減振效果較明顯，尤其是x1,x3在S階的減振率，已經達到了30%。這說明，阻尼環的摩擦力對系統的彎扭耦合振動的減振有很明顯的貢獻。圍繞阻尼環與齒輪之間的摩擦力，有很多學者都得出了此間存在最佳摩擦力的結論[8-9]。所以，對于此系統來說，很有可能也存在一系列的最佳摩擦力使得系統各自由度的減振效果最佳，使各自由度的減振效果更好。但是，對于不同的自由度，這個最佳摩擦力一般都不盡相同。在此，考慮到文章篇幅，不再對這些最佳摩擦力進行討論。

圖10 x1, x3, θ2, θ4在S階和L階的共振幅值隨摩擦力的變化規律Fig.10 The change rate of resonance amplitudes (x1, x3, θ2, θ4) in order S and order L with the increase of Ff5, Ff6

4 結 論

基于動力減振器與干摩擦減振器的工作原理，本文提出了一種新型阻尼環。以某實際的航空發動機轉子實驗臺為研究對象，建立了含新型阻尼環的轉子-齒輪傳動系統動力學模型。通過數值方法，研究了傳動系統的彎扭耦合振動特性，并對比分析有、無阻尼環和安裝傳統阻尼環情況下的幅頻響應特性。在此基礎上，進一步討論新型阻尼環的安裝剛度、安裝阻尼和摩擦力等參數對工作頻率范圍內系統共振幅值的影響規律，并得到以下主要結論：

(1)針對轉子-齒輪傳動系統的高頻扭轉振動問題，新型阻尼環相比傳統阻尼環的減振效果更佳，可有效抑制高頻范圍內出現的扭轉振動，甚至是復雜的彎扭耦合振動。

(2)盡管調整阻尼環的安裝剛度可以使其減振效果顯著，但是考慮到安裝剛度對系統的動力學特性影響較大，在設計阻尼環的安裝剛度時，仍需綜合考慮轉子-齒輪傳動系統的具體結構及其工作環境，以獲得工作頻率范圍內的最佳阻尼環參數。

(3)在一定范圍內，隨著安裝阻尼的增加，新型阻尼環對系統各自由度在高頻范圍的共振起到比較明顯的減振作用。并且，對于不同的自由度，各自都存在一個最佳的安裝阻尼使得阻尼環的減振效果最佳。

(4)特別強調的是，在高頻范圍內調整新型阻尼環的摩擦力可有效降低齒輪的扭轉振動及其引發的彎扭耦合振動。