具慣容離心擺的軸系結構軸向振動減振分析

秦美娟， 金肖玲， 陳志強， 黃志龍

(1.浙江大學 航空航天學院工程力學系，杭州 310027； 2.南京理工大學 自動化學院，南京 210094)

機械裝置的振動很大程度影響著其使用壽命和工作效率，甚至引起破壞，如軸系結構的斷軸事故。因此,結構的減振分析受到了很多研究者的關注，提出了各種振動抑制方法。離心擺減振器是被動減振器中的一種，早在1929年已發明應用于抑制內燃機的扭振[1]，之后還廣泛用于抑制輕型飛機發動機[2]、直升機旋翼[3]、船舶推進軸系[4]等的振動。一些軸系結構除了扭轉振動還有其它形式的振動如軸向振動[5]，在軸向振動的共振條件下軸向振幅顯著增大[6]，且現有資料表明：在軸系扭振得到較為完善的解決之后，斷軸事故中60%～80%是軸向振動引起的[7]。1949年，Reed[8]利用離心擺減振器對軸系結構的軸向減振進行了理論分析并討論了減振器的參數。Yoshida[9]通過振動平臺和實際應用研究了離心擺減振器在船舶上層建筑減振方面的應用。Longoria 等[10]通過理論分析和設計離心擺減振器的擺參數及旋轉速度來控制主結構的軸向振動，并通過實驗驗證。Hollkamp等[11]研究了質量集中的無阻尼速度跟蹤離心擺減振器在發動機葉片振動中的應用。

近年來，“慣容”[12]作為一種新型的機械結構，得到了較多研究并在振動抑制領域取得了好的效果[13-15]。它是劍橋大學的Smith教授于2003年提出的，經過特別設計具有雙端口，從而徹底實現了機械系統和電學系統的完全類比。Smith教授等分別針對平移運動和轉動運動，設計了慣容的可實現機構形式[16]。將慣容器引入傳統調諧質量阻尼器構成調諧質量慣容阻尼器，能顯著提高系統的減振性能[17-18]。在隨機激勵的情形下，調諧質量慣容阻尼器比傳統調諧質量阻尼器更有效[19]。

本文研究具慣容離心擺的軸系結構軸向振動的減振分析。將慣容引入離心擺減振器，分析主結構的軸向振動，討論減振器參數對軸向振動的影響，并以主結構軸向振動的共振振幅最小為目標及結合離心擺做小幅扭轉振動的限制條件，對離心擺減振器進行優化設計，得到最優的具慣容離心擺減振器參數。

1 系統動力學方程及其振動分析

圖1為具慣容離心擺減振器的軸系結構示意圖。主結構為軸系結構，中心軸以角速度ω1=nω旋轉，轉動式慣容安裝在離心擺與主結構之間構成具慣容離心擺減振器。當軸系結構在軸向的外激勵P0sin(ωt)作用下，x1方向(即軸向)振動是關注的核心。在軸上安裝圖示具慣容的離心擺減振器可抑制主結構的軸向振動，通過離心擺繞樞軸的微振θ來減小軸向振動x1。

圖1 安裝具慣容離心擺減振器的軸系結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the shaft structure using centrifugal pendulum absorber with inerters

(1)

(2)

(3)

式中：m表示離心擺的質量;r表示離心擺質心到樞軸的水平距離;R表示樞軸到中心軸的水平距離;I1,I2,I3分別表示離心擺關于三個主軸的轉動慣量。

(a) 俯視圖

(b) 主視圖

(c) 慣容俯視圖圖2 具慣容離心擺減振器的受力分析圖Fig.2 Force diagram of the centrifugal pendulum absorber with inerters

利用集中參數法建立系統的動力學模型，圖1主結構軸向振動可模型化為等效彈簧K和等效質量塊M。本文研究主結構的軸向振動x1，主結構在軸向受到簡諧力P0sin(ωt)外，還受到減振器的軸向力Fx。假設離心擺的振動是小幅振動，最終可得離心擺減振器和軸系耦合的動力學方程：

(4)

主結構的軸向振動可以表示為x1=x0sin(ωt+φ0)，離心擺的轉角θ=θ0sin(ωt+φ1)。為了便于分析，同時引入如下無量綱量：

(5)

(6)

(7)

(8)

x0=xstH(T,C,β,S)

(9)

(10)

其中：

2 減振器參數對減振的影響及其優化設計

安裝具慣容離心擺減振器的目的是降低主結構的線性振動，即減小x0。它由函數H確定。H隨β的變化即為幅頻響應曲線，是線性振動關注的重點，從H的表達式中可以看出H的值除了與β有關外，還與離心擺減振器的設計參數T,C,S相關。下面分析減振器各設計參數對主結構的軸向振動的影響，基于減振器的小幅振動，并以主結構的最大振幅最小作為目標給出離心擺減振器的最優參數。

2.1 無量綱阻尼對幅頻響應的影響及其優化

根據文獻[8]中無量綱參數的取值范圍，這里選取T=0.01,S=0.05, 不同無量綱阻尼下主結構的幅頻響應曲線, 如圖3所示。

圖3中H隨β的變化曲線的峰值即為主結構在外激勵的作用下共振時的振幅。由圖3可知：在C從0.001增加到0.1的過程中, 隨著無量綱阻尼的增大, 幅頻響應函數的峰值先減小后增大，且峰值點保持向右側偏，因此，至少存在一個最優無量綱阻尼使得幅頻函數的峰值達到可能的最小值[21-22]。且從圖3觀察到每一條曲線除了都經過(0,1)點，還都經過點Q, 即在點Q處幅頻響應H的值與C無關。分析可知當幅頻曲線的峰值在Q點時，隨無量綱阻尼變化的幅頻曲線的峰值達到最小值，此時的無量綱阻尼即為最優無量綱阻尼。為了解析得到最優無量綱阻尼，采用固定點法[23]。將幅頻響應函數H寫成如下形式：

(11)

圖3 不同C值時主結構軸向振動的幅頻曲線(T=0.01, S=0.05)Fig.3 The frequency response function of axial vibration of the shaft with different values of the non-dimensional damping, C and other parameter values: T=0.01, S=0.05

式中:A=1,B=β2T2,E=β4S2+2β4S+β4-2β2S-2β2+1,F=β2(β2ST+β2S+β2T-T)2。

固定點Q的橫坐標值可通過A/E=B/F計算得到，記為β0，其值為：

(12)

由式(11)可計算出最優無量綱阻尼為

(13)

把式(12)和式(13)代入式(11)得到最佳無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值：

(14)

調諧函數T和質量比S分別取0.01和0.05，最優無量綱阻尼下主結構的軸向振動幅頻曲線和擺的轉角幅頻曲線如圖4所示。從圖中可以看出當T=0.01,S=0.05，主結構軸向振動的幅頻響應曲線幅值的最小值為1.42。

通過上述分析說明，當主結構的參數及離心擺質量及尺寸確定的情況下，要使離心擺減振器達到最佳的減振效果，就須有最佳的無量綱阻尼，其值由式(13)給出。

2.2 質量比對減振效果的影響

由式(14)可知，在最優無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0與質量比S有關，質量比S對最優無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0及最優無量綱阻尼的影響如圖5所示。

圖4 主結構和擺的幅頻曲線(T=0.01, S=0.05, C=Copt=0.012 7)Fig.4 The frequency response functions of shaft axial vibration and pendulum rotational vibration with optimal non-dimensional damping, Copt=0.012 7 and other parameter values: T=0.01, S=0.05

圖5 H0和Copt關于S的變化曲線Fig.5 The variations of the resonant amplitude and optimal non-dimensional damping with mass ratio

從圖5中可以看出：當調諧函數T給定時，最優無量綱阻尼Copt隨著質量比S逐漸增大再趨于穩定，當質量比較小的時候，H0隨質量比快速減小，而當質量比增加到一定時，進一步增大質量比并不能有效地增加離心擺減振器的減振效果。

根據式(14)，H0關于S求一階偏導為-2T/S2?？梢钥闯?，調諧函數T的正負號不同，峰值H0隨質量比S的變化也不同，當調諧函數T>0時，最優無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0隨著質量比S增大逐漸減小，如圖5所示；當調諧函數T<0時，最優無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0隨著質量比S增大逐漸增大；當調諧函數T=0時，最優無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0與質量比S無關。

2.3 調諧函數對減振效果的影響

從上文分析可以看出，當調諧函數T取不同范圍時，H0隨質量比S的變化關系完全不同，當然T還影響峰值H0。為了研究調諧函數對離心擺減振器減振效果的具體影響，下面將調諧函數T分為T>0，T=0和T<0三種情形分別討論。

情形一：調諧函數大于零T>0

圖6 不同調諧函數下的最優無量綱阻尼的主結構幅頻曲線(S=0.05, T>0)Fig.6 The frequency response functions of axial vibration of the shaft structure with different tuning functions T>0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

圖7 不同調諧函數下的最優無量綱阻尼的擺的轉角幅頻曲線(S=0.05, T>0)Fig.7 The frequency response functions of the vibration of the pendulum with different tuning functionsT>0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

情形二：調諧函數等于零T=0

當T=0時，主結構的幅頻響應函數為：

(15)

離心擺減振器的轉角振幅如下：

(16)

為求幅頻曲線的峰值點，令H關于β的一階偏導為零，可解得曲線峰值點的橫坐標β1為：

(17)

式中：A=-CS2-2CS+

當β=β1時，H取到最大值Hmax為：

圖8 不同無量綱阻尼下的主結構幅頻曲線(S=0.05, T=0)Fig.8 The frequency response functions of axial vibration of the shaft with different values of the non-dimensional damping, and other parameter values: S=0.05, T=0

情形三：調諧函數小于零T<0

當T<0時，最優無量綱阻尼下的H0關于調諧函數求一階偏導為：

(19)

為使所取設計參數有物理意義，需滿足Copt>0且β0>0，即T<-S(S+1)。以下討論T<-S/(S+1)這一區間。且由式(19)可以得到當T<-S/(S+1)時，H0隨T的增大而減小。

圖9 不同無量綱阻尼下的減振器轉角幅頻曲線(S=0.05, T=0)Fig.9 The frequency response functions of the vibration of the pendulum with different values of the non-dimensional damping, and other parameter values: S=0.05, T=0

當取S=0.05，此時-S/(S+1)=-0.048，T取不同值,最優無量綱阻尼下的主結構幅頻曲線及減振器擺角的幅頻曲線分別如圖10和11所示。從圖10中可觀察到H0確實隨著T增大而減小，且當T=-S/(S+1)時，H=1。當T趨于-S(S+1)，減振器擺角相關量的共振幅值很大，可通過調整參數r來達到擺的小幅擺動要求。

綜合考慮以上關于調諧函數的三種情況，最優設計是T=-S/(S+1)，C=Copt=0，但是這種情況要根據具體工程問題的參數范圍來確認離心擺是否作小幅振動，從而確定是否可取。如果以上情況不可取，再考慮T>0的情況。

需要說明的是調諧函數T由表達式(5)給出，除了擺的參數外，還包含了慣容量bθ。一般情況下僅僅通過調整離心擺的結構參數能控制的調諧函數的參數范圍較小[8]，而且比較困難。本文結合慣容器與離心擺減振器能改善這一不足，通過調整慣容量bθ使得調諧函數的變化范圍變得更廣，且這樣的調整方式能更容易選取合適的調諧函數的值，提升離心擺減振器的減振性能。

圖10 不同調諧函數下的最優無量綱阻尼的主結構幅頻曲線(S=0.05, T<0)Fig.10 The frequency response functions of axial vibration of the shaft with different tuning functions T<0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

圖11 不同調諧函數下的最佳無量綱阻尼的擺的轉角幅頻曲線(S=0.05, T<0)Fig.11 The frequency response functions of the vibration of the pendulum with different tuning functions T<0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

圖12 安裝不同類型減振器的減振效果Fig.12 The comparison of the absorption effect of DVA and centrifugal pendulum absorber with inerters

3 結 論

本文基于離心擺小幅振動假設，建立了具慣容的離心擺減振器的軸系結構的軸向振動方程，討論了離心擺減振器的設計參數對主結構軸向振動的幅頻響應的影響及以主結構共振幅值最小為目標的參數優化設計。研究發現隨著離心擺減振器的阻尼的增大，主結構軸向振動的共振振幅先降低而后增大，即存在一個最優阻尼，并以固定點法給出了離心擺減振器的最優阻尼。調諧函數對主結構軸向振動有很大的影響，對減振器的減振性能也有影響，合適的調諧函數能實現最大的減振效果。慣容的引入可以更方便更容易選取合適的調諧函數的值，只要通過改變慣容量即可實現。最后驗證了優化設計后的離心擺減振器用于主結構的軸向振動減振比相同質量比的優化動力吸振器的效果更佳。