巖石材料動載下泛形裂紋擴展數值模擬

李竟艷， 高文學， 宋肖龍

(北京工業大學 建筑工程學院，北京 100124)

自分形幾何建立以來[1-3]，分形理論及其應用的研究已經深入到自然科學的各個領域內并取得了矚目的成就[4-6]。1984年，Manderlbrot等[7]首次實驗發現了鋼的斷裂面具有分形特征，此后其它一些材料斷面的分形特性也相繼被證實[8-9]。由此分形斷裂力學為呈現不規則性、復雜性的巖石類材料斷裂研究提供了很好的方法。Xie[10]應用分形幾何系統地研究了巖石微觀斷裂機制、裂紋分形擴展、巖石分形節理力學、巖石分形統計強度理論、分形損傷與分形破碎等一系列巖石力學關鍵問題。然而，分形應用中面臨的無法建立分形裂紋擴展的邊值問題及分形裂紋的整數維測度是奇異或者發散的本質困難，嚴重阻礙了分形斷裂力學研究的發展，為避免分形應用中的這一本質困難，Ou等[11]提出了泛形的概念，并在理論上證明了用分形逼近泛形的不合理性。泛形是具有有限層次的自相似(或自仿射)結構，通?？捎赡撤N給定生成規則下的有限次迭代產生。此外，對于給定的泛形，一般存在一個與其迭代過程相對應的分形，稱其為該泛形的伴隨分形，并稱伴隨分形的維數為該泛形的復雜度，以強調泛形的整數維特征。基于泛形概念，認為自然界的幾何是泛形幾何而非分形幾何，對于自然界中的幾何或物理對象用泛形而非分形來描述更加合理，這從根本上避免了上述分形應用的本質困難。由此實現了準靜態拉伸載荷下混凝土類脆性材料中泛形裂紋構形的描述，并證實了材料的非均勻性導致泛形斷裂面的基本思想[12]。同時，基于泛形有限整數維測度，提出的材料泛形斷裂能可作為混凝土斷裂性質的表征參數，并為長期以來存在的傳統斷裂能與臨界應變能釋放率的計算結果不一致的困惑提供了一個合理的解釋[13]。

此外，巖石作為一種天然材料，在采礦作業、地鐵隧道、大壩建設等工程領域中，常處在爆炸、沖擊等動態載荷環境下。尤其是在動態拉伸載荷作用下，由于巖石材料的拉伸強度遠小于壓縮強度，常表現為拉伸破壞。因此，對于動態拉伸載荷作用下的巖石動態力學性能以及其動態斷裂問題的研究顯得尤為重要。借助霍普金森桿試驗，學者們對巖石材料在高應變率下的動態拉伸性能進行了一些試驗研究[14-16]。但是，由于試驗結果很難提供在動載荷作用下巖石材料內部裂紋的萌生、擴展，以及不同加載率下裂紋的匯聚過程，所以很難給出描述巖石動態斷裂的定量信息。數值模擬技術則可以作為試驗的一個有利補充。但截至目前，動態載荷作用下泛形裂紋擴展數值計算問題還沒有相關的研究。本文采用基于擴展有限元的黏聚裂紋模型，對動態拉伸載荷作用下巖石材料的泛形裂紋擴展進行了數值模擬研究，由計盒維數計算給出斷面的泛形復雜度。并基于泛形斷裂能的計算，從斷裂能量釋放率的角度探索應變率對泛形裂紋擴展路徑及泛形復雜度的影響。研究結果對理解巖石材料動態斷裂問題有一定的補充意義。

1 計算模型

巖石類材料內部存在大量缺陷，導致材料性質呈隨機分布。為了更好地研究這類材料特性，引入概率統計的方法，即假定組成材料細觀各相組成的力學性質滿足某種概率統計分布，其中，Weibull分布密度函數較適宜于巖石材料的細觀材料特性描述[17]。根據Weibull分布的定義，其分布密度函數為

(1)

式中：w為該分布的分布變量；w0是尺度參數，是一個與平均值E(w)相關的參數，w0與E(w)存在關系E(w)=w0Γ(1+1/m)；Γ函數的數值可以通過數學手冊查得；m為材料均質度，表征材料的均勻程度。在數值上，首先將計算區域離散為有限單元，所有單元的材料強度滿足給定的Weibull分布，不同材料強度的單元數目也應滿足該Weibull分布(圖1)。進而通過賦值給所有離散單元不同的材料性質來實現Weibull分布。

圖1 不同強度單元數目的分布直方圖Fig.1 Histogram of elements in numerical model with different strength

計算中，應用基于擴展有限元的黏性片段方法(XFEM-based cohesive segments method)。黏性片段擴展特性類似于黏聚裂紋模型。線性損傷起始及演化規律如圖2所示。圖中，Δn為裂面張開位移矢量，Δnmax為最大張開位移的法向分量，σmax表示最大拉伸強度。裂紋起裂采用最大主應力準則。然而，巖石作為非均勻材料，由于材料屬性在空間上分布不均勻，裂紋起裂由應力場及非均勻材料屬性的空間分布共同決定，裂紋擴展采用冪指數準則。開裂準則通過用戶自定義損傷起始準則(UDMGINI)實現。

圖2 線性損傷演化規律Fig.2 Typical linear traction-separation response

計算模型如圖3所示。模型寬L=20 mm，長W=12 mm，初始裂紋長度a=1 mm。計算模型的有限元網格為富集單元。在初始裂紋附近選取邊長為50 μm的單元，為了節省計算時間，在遠離初始裂紋的區域采用邊長為100 μm的單元。以材料拉伸強度ft及斷裂韌性Gc作為Weibull分布的非均勻隨機空間分布參數，如圖4所示，不同的灰度代表了不同的材料屬性。模型上下面施加如下速度邊界條件

(2)

式中：v為質點速度；tr為載荷上升時間。通過調整選取不同tr值可以方便控制加載率。計算中，在模型左右邊界通過無限元技術引入無反射邊界條件，防止應力在自由邊界處的反射對計算結果的影響。Weibull分布參數為：分布變量拉伸強度的均值E(ft)=3.5 MPa，斷裂韌性的均值E(Gc)=0.03 N/mm，均質度m=6。其他的材料參數如表1。

表1 材料參數

圖3 計算模型Fig.3 The simulation model

圖4 分布變量的空間隨機分布Fig.4 Spatial random distribution of parameter in simulation model

2 結果與討論

當邊界速度V=1 m/s 時，根據模型中材料力學參數計算可知，初始時刻一對拉伸應力波以應力約為10 MPa的幅值從模型上下兩邊向中間傳播，如圖5(a)所示。根據材料參數可知，大約2.5 μs 后應力到達裂紋尖端并在裂紋尖端處形成應力集中(圖5(b))。隨著時間增加當該應力幅值達到黏聚模型所設定最大黏聚應力時，裂紋將開始起裂，當裂紋尖端能量釋放率達到模型設定材料斷裂韌性時，黏聚裂紋面形成，裂紋擴展(圖5(c))。裂紋不斷擴展，最終達到試件的拉伸失效，得到計算模型的泛形斷裂面(圖5(d))。某一時刻的裂紋尖端局部放大如圖5(e)。

采用計盒維數方法，對模型的泛形裂紋(圖5(d))復雜度進行計算。如圖6所示，N(δ)為用尺寸為δ的盒子覆蓋裂紋構形的最少盒子數目，然后在雙對數坐標中用最小二乘法擬合直線，所得直線的斜率即所求復雜度。由此計算得到計算模型泛形裂紋的復雜度C=1.228。從圖6可以看出，線性擬合的相關系數R接近1，表明復雜度的計算結果可信度較好。同時巖石類材料分形維數的已有實驗結果[9]表明，這類材料的復雜度在1.117～1.523之間。本模型的數值結果落在實驗結果區間內，這表明本模型可以用來計算巖石材料中泛形裂紋擴展問題。

圖5 泛形裂紋擴展Fig.5 Extension of ubiquitiformal crack

圖6 泛形裂紋構形的計盒維數Fig.6 Box counting method applied toubiquitiformalcrack

表2 不同應變率下裂紋的復雜度

圖7 不同加載率泛形裂紋擴展路徑比較Fig.7 Extension of crack for the different strain rate

從圖8分析可知，隨著加載率的提高，裂紋擴展的能量釋放率增大。從裂紋擴展路徑發現，在低加載率下，由于材料性能的非均勻性，能耗較小的單元的能量釋放率首先達到斷裂韌性，因此裂紋首先發生在斷裂韌性較小的單元。但隨著外部加載率的逐漸提高，裂紋自相似方向的能量釋放率的增加速度遠遠大于其他的偏折方向，因此裂紋更多沿自相似方向擴展，使得裂紋路徑趨于平緩。從物理學觀點來看，低應變率或準靜態下巖石材料破壞形式主要為單一裂紋沿著斷裂韌性最低的路徑擴展，但在高應變率下，由于慣性效應的存在，裂紋將沒有足夠的時間選擇斷裂韌性相對較低的路徑擴展，而是瞬間穿過斷裂韌性相對較高的單元，沿自相似方向擴展，從而導致裂紋復雜度降低。以上分析結果表明由于材料性能的非均勻性，導致不同應變率下，裂紋沿不同材料斷裂韌性單元擴展，泛形裂紋擴復雜度隨應變率增大而減小。

圖8 不同應變率下裂紋能量釋放率對比Fig.8 Energy release rate for the different strain rate

3 結 論

應用ABAQUS有限元軟件對動態拉伸載荷下巖石材料中泛形裂紋擴展進行數值模擬。得到以下結論：

(1) 動態拉伸載荷下巖石材料斷裂面為泛形構形，計盒維數計算斷裂面復雜度的數值結果與已有的實驗結果相符。

(2) 隨著加載應變率的提高，裂紋瞬間穿過斷裂韌性相對較高的單元，沿自相似方向擴展，從而導致裂紋擴展的能量釋放率增大，泛形裂紋復雜度減小。

DOI:10.1007/S00707-017-1859-7.

DOI:10.15632/jtam-pl.55.3.xxx.