正則化Bouc-Wen模型的參數研究及其在金屬阻尼器中的應用

李宗京， 舒贛平

(1. 東南大學 混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室, 南京 210096； 2. 東南大學 土木工程學院, 南京 210096)

自從Yao[1]提出結構振動控制的概念以來，結構消能減振技術已經取得了較大的進展和廣泛的工程應用[2]。金屬阻尼器作為結構被動控制技術中的一個重要分支，由于其構造簡單、性能穩定等優勢，開始得到越來越多的重視及工程應用[3]。金屬阻尼器的滯回力學特性是衡量其耗能減振性能的重要標準。用于描述金屬阻尼器的滯回力學行為的常用模型有雙(多)線性模型[4-6]、Ramberg-Osgood模型[7-9]、Bouc-Wen模型[9-11]等。雙(多)線性模型以直線代替曲線，且存在尖銳拐點，因此模擬精度有限。而Ramberg-Osgood模型和Bouc-Wen均為光滑曲線模型，因此具有較高的模擬精度。此外，Bouc-Wen模型已被SAP2000、MIDAS等多種結構分析商業有限元軟件引入[12-13]。因此，Bouc-Wen模型是一種同時具備較高的模擬精度和較好的工程實用性的滯回模型。

本文在經典Bouc-Wen模型的基礎上，介紹了一種正則化Bouc-Wen模型，并對正則化Bouc-Wen模型各參數與其所描述的金屬阻尼器滯回力學特性之間的關系進行理論推導和分析，研究其各項參數的敏感性區別，最后提出參數擬合方法并進行試驗驗證。

1 Bouc-Wen模型的正則化

1.1 經典Bouc-Wen模型

Bouc-Wen模型最先由Bouc[14]提出，并由Wen[15]進一步推廣，其經典表達式為[16]

F=αku+(1-α)kz

(1a)

(1b)

1.2 正則化Bouc-Wen模型

由式(1)所描述的經典Bouc-Wen模型中存在冗余參數，這導致一條滯回曲線并不對應唯一的一組經典Bouc-Wen模型參數，從而導致無法直接使用經典Bouc-Wen模型進行參數識別。為此，Ikhouane等[17-18]提出了一種正則化Bouc-Wen模型，其表達式為

F=kxu+kww

(2a)

(2b)

式中：F為恢復力；u為位移；w為正則化的內部遲滯變量； 并且w的初值為0，即當t=0時，有w(0)=0。參數kx、kw、ρ、σ、n均會對模型所描述的滯回曲線形狀產生相應的影響。其物理模型可簡化為如圖1所示，即系統的恢復力由線性部分kxu和非線性部分kww并聯組成。

圖1 正則化Bouc-Wen模型示意圖Fig.1 Diagram of normalized Bouc-Wen model

正則化Bouc-Wen模型參數與經典Bouc-Wen模型參數之間的關系為

(3a)

(3b)

kx=αk>0

(3c)

kw=(1-α)kzm>0

(3d)

(3e)

(3f)

式中：zm為經典Bouc-Wen模型中內部遲滯變量z的最大值， 即|z|≤zm， 代入式(3a)可知|w|≤1。 此外，為避免模型發散，需滿足n≥1。相比于經典Bouc-Wen模型含有6個參數(k,α,A,β,γ,n)， 正則化Bouc-Wen模型中只含有5個參數(kx,kw,ρ,σ,n)。 根據Ikhouane的研究證明，正則化Bouc-Wen模型與經典Bouc-Wen單元是完全等效的，并且正則化Bouc-Wen模型中不含有冗余參數，從而一條確定的滯回曲線只對應唯一的一組正則化Bouc-Wen模型參數。

2 正則化Bouc-Wen模型參數與金屬阻尼器滯回力學特性的關系

圖2 金屬阻尼器的正則化Bouc-Wen模型及滯回力學特性Fig.2 Normalized Bouc-Wen model and hysteretic characteristics of metallic damper

2.1 初始彈性剛度kd

在t=0處將式(2a)兩邊對t求導可得

(4)

由于w的初值為0，將w(0)=0代入式(2b)可得

(5)

將式(5)代入式(4)，并考慮到當t=0時，位移u=0，可得

(6)

可見，正則化Bouc-Wen模型所描述的金屬阻尼器滯回曲線在原點處的斜率即初始彈性剛度為

kd=kx+ρkw

(7)

當u→∞時，將式(2a)兩邊對u求導可得

(8)

由于正則化內部遲滯變量w的剛度隨位移u的增大而無限趨近于0[17]，即

(9)

將式(9)代入式(8)可得

(10)

可見，正則化Bouc-Wen模型所對應的金屬阻尼器的屈服后剛度為

(11)

2.3 屈服位移udy

由于正則化Bouc-Wen模型的恢復力是由線性部分kxu和非線性滯變部分kww所疊加構成，因此其所對應的金屬阻尼器屈服位移實際是由正則化內部遲滯變量w所決定的。內部遲滯變量w隨位移u在第一象限內的變化關系，如圖3所示。

圖3 w隨u的變化關系Fig.3 Relation between w and u

根據式(5)并考慮到當t=0時，位移u=0，可以得到正則化內部遲滯變量w在原點處的斜率為

(12)

因此w在原點處的切線方程為

w=ρu

(13)

由于正則化內部遲滯變量w隨位移u的增大而無限趨近于1[17]， 可知w的漸近線為

w=1

(14)

綜上所述，正則化Bouc-Wen模型的屈服位移uy也即其所描述的金屬阻尼器的屈服位移udy為w在原點處的切線與w的漸近線的交點所對應的位移，可得

(15)

2.4 屈服力Fdy

由于屈服力Fdy、 屈服位移udy、 初始彈性剛度kd之間滿足關系

Fdy=kd·udy

(16)

將式(7)、(15)代入式(16)可得正則化Bouc-Wen模型所描述的金屬阻尼器的屈服力為

Fdy=kx/ρ+kw

(17)

2.5 轉向剛度ks

(18)

整理后可得發生轉向后正則化內部遲滯變量w的斜率為

(19)

將式(2a)兩邊對u求導可得

(20)

將式(19)代入式(20)可得金屬阻尼器滯回曲線在發生轉向后的斜率即轉向剛度ks為

(21)

另外，根據式(7)，正則化Bouc-Wen模型在原點處的斜率即金屬阻尼器的初始彈性剛度為kd=kx+ρkw， 對比式(7)與式(21)可見， 當σ>0.5時，ks>kd； 當0≤σ<0.5時，ks0.5時，滯回曲線在發生轉向后的斜率大于滯回曲線在原點處的斜率；當0≤σ<0.5時，滯回曲線在發生轉向后的斜率小于滯回曲線在原點處的斜率；當且僅當σ=0.5時，滯回曲線在發生轉向后的斜率等于滯回曲線在原點處的斜率。由以上分析可見，轉向剛度ks與初始彈性剛度kd之間的相對關系是由參數σ決定的。

圖4 參數σ對滯回曲線形狀的影響Fig.4 Influence of σ on the shape of the hysteresis curves

2.6 彈塑性過渡段

彈塑性過渡段是Bouc-Wen模型區別于雙線性模型的一個重要特點。金屬阻尼器采用不同的材料、構造等，均有可能導致其滯回曲線彈塑性過渡段的長短及圓滑程度不同，因此彈塑性過渡段也是體現金屬阻尼器滯回特性的一項指標。

(22)

由于|w|≤1， 因此斜率的衰減過程實質上等效于函數y=1-xn， 0≤x≤1的函數值變化過程。 若n較小，則w的斜率較早即開始發生衰減，且衰減的過程較為均勻，相應的過渡段較長、較圓滑；若n較大，則w的斜率只有在當w接近1時才開始發生較為明顯的衰減，且迅速衰減至0，相應的過渡段較短、較尖銳。通過Matlab繪制參數n在不同取值下的正則化Bouc-Wen模型滯回曲線如圖5所示。當n趨向于無窮大時，過渡段變為一個尖銳拐點，正則化Bouc-Wen模型轉變為雙線性模型。由以上分析可知，滯回曲線彈塑性過渡段的圓滑度是由參數n決定的。

圖5 參數n對滯回曲線形狀的影響Fig.5 Influence of n on the shape of the hysteresis curves

3 參數敏感性分析

為進一步評估正則化Bouc-Wen模型各參數對滯回曲線的影響，對其進行參數敏感性分析。參數敏感性分析方法可以分為局部敏感性分析和全局敏感性分析等多種方法[19]，其中局部敏感性分析是一種最直接且易于實施的方法。其分析過程為：先為參數組指定一組基準值，采用控制變量法，當研究某一個參數的敏感性時，只將該參數在其基準值上下變化取值，其他參數均取為基準值保持不變，并比較該參數在不同取值時敏感性評價指標的變化情況。

在本文的參數敏感性分析中，采用局部敏感性分析方法，取參數組基準值為(kx,kw,ρ,σ,n)=(1 kN/mm, 100 kN, 1 mm-1, 0.5, 2)，各參數取值在其基準值基礎上分別變化±10%、±20%、±30%、±40%、±50%，并取如下兩種敏感性評價指標：

(1) 評價指標1

(23)

(2) 評價指標2

(24)

式中：E為參數組取值改變前一個完整滯回環所包絡的面積；E′為參數組取值改變后一個完整滯回環所包絡的面積； ΔE為E′與E之間差值的絕對值。η為參數組取值改變前后一個完整滯回環所包絡面積的變化量與參數組取值改變前滯回環面積的比值，其代表的是各參數對滯回曲線耗能指標的影響。

基于上述方法，并取加載位移幅值為10倍屈服位移，即[-10 mm , +10 mm]，采樣點總數N=200，得到的參數敏感性分析曲線如圖6所示。可見采用兩種敏感性評價指標均可得到基本一致的分析結果，正則化Bouc-Wen模型對參數kw和ρ較為敏感， 對參數σ、kx和n較不敏感， 并且對參數kw和ρ的敏感度明顯高于參數σ、kx和n。

圖6 參數敏感性曲線Fig.6 Spider diagram of parameter sensitivity

在對加載幅值進行適當增減后，可以發現加載幅值的增減對其他各項參數的敏感性影響較小，而對參數kx的敏感性影響相對更大。當分別取加載位移幅值為±5 mm、±10 mm、±15 mm時，參數kx基于RMSE評價指標的敏感性曲線如圖7所示， 可見kx的敏感性隨著加載幅值的增加而增大。其原因是加載幅值增大后，塑性段長度增加，因此塑性段所占比重增大，控制塑性段剛度的參數kx的敏感性隨之增強。 此外，當加載幅值在合理范圍內變化時，參數kw的敏感性仍然明顯小于kw和ρ。 綜上所述，kw和ρ為敏感性較高的兩個參數，σ、kx和n為敏感性較低的三個參數，各項參數的敏感性排序如表1所示。

圖7 加載幅值對參數kx敏感性的影響Fig.7 Influence of loading amplitude on parameter sensitivity of kx

表1 參數敏感性排序表

4 參數擬合方法及試驗驗證

4.1 擬合方法

設試驗得到的金屬阻尼器滯回曲線數據點橫坐標為ui，縱坐標為Fexp,i，i=1～N， 其中N為數據點總數，由式(2)可以得到相應橫坐標處的恢復力擬合值Fsim,i。采用正則化Bouc-Wen模型對試驗得到的金屬阻尼器滯回曲線擬合，實際可以看作一個優化變量為參數組(kx,kw,ρ,σ,n)，目標函數為均方根誤差(RMSE)并使其最小化的非線性優化問題，其中均方根誤差為

(25)

本文采用模擬退火算法(Simulated Annealing Algorithm)對上述非線性優化問題進行求解。模擬退火算法最早的思想由Metropolis等[20]提出，并由Kirkpatrick等[21]進一步拓展。其原理是模擬物理退火過程，并采用Metropolis接受準則以一定概率接受較差解，從而使其具有全局搜索能力，有效地避免陷入局部極小點。此外，模擬退火算法不需要梯度等其他輔助信息，且對目標函數無額外要求，具有較強的魯棒性、全局收斂性、隱含并行性和廣泛的適應性，因此已被應用于解決各領域的優化問題[22]。

為了進一步提高算法的效率和結果的質量，本文對傳統的模擬退火算法進行了如下改進：

(1) 在算法中設置記憶器，使其成為有記憶功能的模擬退火算法。具體方法為設置一個變量xbest專門用于儲存歷史最優解，并在每一次迭代中比較當前解xj的目標函數值Ej與xbest的目標函數值Ebest。若當前解xj的目標函數值Ej小于歷史最優解xbest的目標函數值Ebest，則采用xj替代xbest，Ej替代Ebest，否則xbest、Ebest保持不變。該措施可以避免在整個搜索過程中錯過曾經達到過的最優解，提高算法所得解的質量。

(2) 由于算法收斂到較好結果所需達到的最低溫度Tmin事先無法準確預知，故不再以溫度達到指定的最低溫度作為算法終止準則，改為采用收斂精度作為終止準則，即經過連續若干次迭代，最優目標函數值的改善幅度小于指定的收斂精度ε，則算法終止。

(3) 當搜索空間較大時，由于模擬退火算法等啟發式隨機搜索優化算法實際上并不能100%保證找到全局最優解，而只能以較大概率接近全局最優解，因此，為了驗證算法的穩定性，并增大找到全局最優解的概率，將算法連續運行三次，取三次優化計算結果的最優解作為最終參數擬合結果。

如圖8所示為本文采用的改進模擬退火算法流程圖，將其中的優化變量x設為正則化Bouc-Wen模型參數組(kx,kw,ρ,σ,n)，并將目標函數E設為均方根誤差RMSE， 在Matlab中編程實現迭代算法用于擬合正則化Bouc-Wen模型的參數，并可最終基于擬合結果，根據第2節中的公式得到金屬阻尼器的各項滯回力學特性指標。

圖8 改進的模擬退火算法流程圖Fig.8 Flowchart of improved simulated annealing algorithm

4.2 試驗驗證

TADAS裝置是一種典型的金屬阻尼器[23-25]，其原理是通過三角形耗能鋼板的彎曲塑性變形實現耗能。為研究TADAS裝置的滯回性能、評定其滯回力學特性指標，并驗證正則化Bouc-Wen模型對其滯回曲線的擬合效果，本文在東南大學結構試驗室對該裝置進行了擬靜力往復加載試驗研究。試驗中采用的TADAS裝置由四片相同的三角形耗能板及連接頂板、連接底板和兩塊插槽板構成，如圖9所示。三角形耗能板使用Q345材質12 mm厚的鋼板制做。試驗裝置如圖10所示，將TADAS裝置試驗件安裝于鉸接框架中進行往復加載。TADAS裝置在加載過程中的變形形態如圖11所示。

圖9 TADAS裝置試驗試件示意圖Fig.9 Diagram of the TADAS device for the test

圖10 試驗裝置Fig.10 Test setup

圖11 TADAS裝置變形形態Fig.11 Deformed shape of TADAS device

通過往復加載試驗得到的滯回曲線及采用本文提出的基于改進模擬退火算法的擬合曲線如圖12所示，可見擬合曲線與試驗曲線能夠較好吻合。三次擬合過程的迭代曲線如圖13所示，由于采用了歷史最優解記憶器，并將迭代曲線的縱坐標軸取為歷史最優解的目標函數值Ebest，因此迭代曲線成單調遞減的階梯狀。相應的參數擬合結果如表2所示。三次擬合結果的目標函數值基本相同，目標函數值的最大相對偏差在5%以內；敏感性較高的參數的擬合結果也基本一致，最大相對偏差均在5%以內；但敏感性較低的參數的擬合結果存在一定偏差，尤其是參數σ和n的最大相對偏差分別達到10%和30%以上。其主要原因是敏感性較低的參數對目標函數RMSE的影響相對較小，因此其在一定范圍內變化時不會對目標函數RMSE造成明顯影響。此外，對于敏感性較低的參數n，由于實際中金屬阻尼器一般不會出現過于尖銳的拐點，且當參數n的取值差別較小時，彈塑性過渡段的變化并不明顯，故建議可將其取值范圍限定在1～10之間的整數，從而進一步提高參數擬合效率。正則化Bouc-Wen模型參數擬合完成后，可以進一步根據第2節中的公式得到金屬阻尼器的各項滯回力學特性指標，此處不再贅述。

圖12 試驗滯回曲線及擬合滯回曲線Fig.12 Hysteresis curves by test and simulation

圖13 擬合過程迭代曲線Fig.13 Iteration curves of identification process

表2 參數擬合結果

5 結 論

本文對正則化Bouc-Wen模型中的各項參數進行了相關理論推導及敏感性分析，提出了相應的參數擬合方法并進行了試驗驗證。主要研究成果如下：

(2) 基于兩種不同的敏感性評價指標，均可得到正則化Bouc-Wen模型敏感性較高的兩個參數為kw、ρ，敏感性較低的三個參數為kx、σ、n。

(3) 改進的模擬退火算法能夠有效實現對正則化Bouc-Wen模型的參數擬合，并且擬合滯回曲線與試驗滯回曲線能夠較好吻合。

本文的相關研究成果能夠為正則化Bouc-Wen模型在金屬阻尼器中的應用提供有效依據，并提供了金屬阻尼器滯回曲線擬合及滯回力學特性指標評定的一種有效方法，對于金屬阻尼器的設計、應用及性能評估具有重要參考意義。