基于混合插值與多項(xiàng)式修正的局部特征尺度分解端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法

張 征， 崔偉成

(1. 魯東大學(xué) 山東 煙臺(tái) 264025； 2. 海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院 山東 煙臺(tái) 264001)

在基于振動(dòng)信號(hào)分析的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷領(lǐng)域，時(shí)頻分析技術(shù)的研究是一個(gè)熱點(diǎn)[1]。其中，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)是一種有效的自適應(yīng)方法，但使用過程中存在過/欠包絡(luò)、頻率混淆、端點(diǎn)效應(yīng)等問題[2-4]。程軍圣、楊宇等在本征時(shí)間尺度分解 (Intrinsic Time-scale Decomposition, ITD)[5]的基礎(chǔ)上創(chuàng)造性地提出了局部特征尺度分解(Local Characteristic-scale Decomposition，LCD)[6-7]。該方法開拓了自適應(yīng)時(shí)頻分析方法的新思路，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[8-10]。

在應(yīng)用過程中，LCD仍存在端點(diǎn)效應(yīng)：兩側(cè)端點(diǎn)附近的均值曲線出現(xiàn)幅值發(fā)散。雖然LCD的端點(diǎn)效應(yīng)不如EMD嚴(yán)重，但對(duì)于低頻、短數(shù)據(jù)序列來說，LCD的端點(diǎn)效應(yīng)往往不能忍受。

為了完善LCD方法，提高分解質(zhì)量，進(jìn)而準(zhǔn)確地進(jìn)行故障診斷，給出了混合插值與多項(xiàng)式修正相結(jié)合的LCD端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法。以仿真信號(hào)和軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的分析，驗(yàn)證了方法的有效性。

1 局部特征尺度分解

LCD方法將一個(gè)信號(hào)分解成若干個(gè)內(nèi)稟尺度分量(Intrinsic Mode Components，ISC)之和。每個(gè)ISC分量必須滿足2個(gè)條件：

(1)任意2個(gè)相鄰的極值點(diǎn)符號(hào)互異。

(2)考慮所有的極值點(diǎn)Xk及對(duì)應(yīng)的時(shí)刻τk(k= 1，2，…，M，其中M為極值點(diǎn)的個(gè)數(shù))。取兩個(gè)相距最近且符號(hào)相同的極值點(diǎn)(τk,Xk)和(τk+2,Xk+2)，按照式(1)定義一個(gè)τk+1時(shí)刻的函數(shù)值

(1)

則Ak+1與極值點(diǎn)Xk+1的比值關(guān)系不變，即

aAk+1+(1-a)Xk+1=0

(2)

式中：a∈(0,1)為一常量，典型地a=0.5。

為了篩選出ISC，LCD方法構(gòu)造了信號(hào)的均值曲線(基線)，將均值曲線不斷從原信號(hào)中分離，其迭代過程與EMD方法類似，不同之處在于均值曲線的構(gòu)造方法。

LCD方法用均值點(diǎn)構(gòu)造均值曲線，均值點(diǎn)的定義為

Lk+1=aAk+1+(1-a)Xk+1

(3)

式中：Lk+1為均值點(diǎn)，在迭代結(jié)束時(shí)數(shù)值為0。

LCD方法采用分段線性方法或三次樣條方法由均值點(diǎn)插值均值曲線。經(jīng)仿真發(fā)現(xiàn)，三次樣條插值可得到更好的分解結(jié)果，本文采用三次樣條LCD作為標(biāo)準(zhǔn)LCD。

2 LCD的端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法

端點(diǎn)效應(yīng)(End-effect)是Huang等在研究EMD的篩分過程時(shí)發(fā)現(xiàn)的，指的是：在EMD的運(yùn)算過程中，反復(fù)運(yùn)用三次樣條方法根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)上、下包絡(luò)進(jìn)行插值，得到的包絡(luò)曲線在兩側(cè)的端點(diǎn)附近出現(xiàn)幅值發(fā)散的現(xiàn)象。LCD方法由極值點(diǎn)直接估計(jì)均值點(diǎn)，然后插值得到均值曲線，在插值的過程中同樣也存在端點(diǎn)效應(yīng)。端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生的根本原因是端點(diǎn)處的取值不是均值點(diǎn)，使插值得到的均值曲線在端點(diǎn)附近出現(xiàn)誤差。為了抑制LCD的端點(diǎn)效應(yīng)，可預(yù)測(cè)(或延拓)端點(diǎn)處的均值點(diǎn)取值，也可以將端點(diǎn)處的插值誤差控制在一定范圍內(nèi)。本文給出的端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法采用簡(jiǎn)單的極值點(diǎn)延拓方法，大致估計(jì)出端點(diǎn)處的均值點(diǎn)，采用混合插值與多項(xiàng)式修正相結(jié)合的插值方法，通過將插值誤差控制在端點(diǎn)附近的方法抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

本文方法中，對(duì)端點(diǎn)處均值點(diǎn)的估計(jì)精度要求不高，而極值點(diǎn)延拓法簡(jiǎn)單、實(shí)用，更為貼近工程，因此采用極值點(diǎn)延拓方法。

LCD方法在篩分的過程中要反復(fù)調(diào)用插值函數(shù)求取均值曲線，要求插值曲線滿足：①足夠光滑；②在均值點(diǎn)處的值盡量逼近理論值。從實(shí)際的效果來看，線性插值的端點(diǎn)效應(yīng)最小，均值曲線在均值點(diǎn)的值等于局部均值，但線性插值不能逼近真實(shí)均值曲線，導(dǎo)致分量失真較大；三次樣條插值的端點(diǎn)效應(yīng)較為明顯，但中間段分量失真小；格林樣條插值[11]、B樣條插值[12]則是在光滑性與均值點(diǎn)誤差之間做了取舍，效果介于線性插值與三次樣條插值之間，從分解的最終結(jié)果來看，較三次樣條插值并無明顯優(yōu)勢(shì)。

基于上述考慮，給出了混合插值的方法：在插值過程中，對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)明顯的左區(qū)間(第一個(gè)均值點(diǎn)與第二個(gè)均值點(diǎn)之間)、右區(qū)間(倒數(shù)第二個(gè)均值點(diǎn)與最后一個(gè)均值點(diǎn)之間)的采用線性方法插值均值曲線；將插值結(jié)果與剩余的均值點(diǎn)序列合并，形成新的均值點(diǎn)序列；對(duì)新的均值點(diǎn)序列按照三次樣條方法插值形成均值曲線。

經(jīng)混合插值后，均值曲線在中間區(qū)間(第二個(gè)均值點(diǎn)與倒數(shù)第二個(gè)均值點(diǎn)之間)的插值曲線保持了足夠的光滑性；左區(qū)間、右區(qū)間的插值曲線無端點(diǎn)效應(yīng)，但與實(shí)際的均值曲線相比，波形失真較大。采用多項(xiàng)式修正的方法解決線性插值帶來的失真問題：①對(duì)左區(qū)間，在第二個(gè)均值點(diǎn)向右沿均值曲線取若干數(shù)據(jù)，以第一個(gè)極值點(diǎn)為約束，采用三次多項(xiàng)式修正均值曲線；②對(duì)右區(qū)間，在倒數(shù)第二個(gè)均值點(diǎn)向左沿均值曲線取若干數(shù)據(jù)，以倒數(shù)第一個(gè)均值點(diǎn)為約束，采用三次多項(xiàng)式獲得修正曲線。

基于混合插值及多項(xiàng)式修正的LCD方法步驟為：

(1)將極值點(diǎn)Xk及對(duì)應(yīng)時(shí)刻τk序列進(jìn)行延拓：

(4)

(5)

得到：Xk、τk(k=0，1，…，M+1)。

(2)計(jì)算局部均值點(diǎn)序列L(τk)，(k=1，2，…，M)。

(3)用線性方法插值均值點(diǎn)序列L(τk)，(k=1，2，M-1，M)得到左、右區(qū)間的均值曲線l1(t),t∈[τ1,τ2]∪t∈[τM-1,τM]。

(4)將l1(t)作為序列，與中間區(qū)間的均值點(diǎn)序列L(τk)，(k=2，,3，…，M-2，M-1)合并，用三次樣條方法計(jì)算均值曲線，截取中間段的均值曲線l2(t),t∈[τ3,τM-2]。

(5)采用三次多項(xiàng)式插值的方法獲得左、右區(qū)間的均值曲線l3(t),t∈[τ1,τ2]∪t∈[τM-1,τm]。

(6)將l2(t)、l3(t)合并得到的均值曲線，按照標(biāo)準(zhǔn)方法的迭代過程進(jìn)行LCD分解。

3 改進(jìn)算法仿真分析

為了考察混合插值及多項(xiàng)式修正方法對(duì)LCD端點(diǎn)效應(yīng)的抑制能力，考察如下信號(hào)：

(6)

式中：x(t)為仿真信號(hào)，由調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)x1(t)、正弦信號(hào)x2(t)合成；采樣頻率為fs=1 024 Hz，仿真時(shí)間t∈[0,1]。仿真信號(hào)的時(shí)域波形見圖1。

圖1 仿真信號(hào)時(shí)域波形Fig. 1 Simulated signal in time domain waveform

對(duì)仿真信號(hào)按照標(biāo)準(zhǔn)LCD方法進(jìn)行分解，得到兩個(gè)ISC分量和一個(gè)余量，將其時(shí)域波形列于圖2。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)LCD分解結(jié)果時(shí)域波形Fig.2 Results of standard LCD in time domain waveform

從分解結(jié)果來看：分量1對(duì)應(yīng)調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)x1(t)，分量2對(duì)應(yīng)正弦信號(hào)x2(t)，分解結(jié)果與實(shí)際曲線總體趨勢(shì)一致，但是兩個(gè)分量的端點(diǎn)處均存在失真。其中，分量2的失真最為嚴(yán)重，第一個(gè)極點(diǎn)的幅值只有理論值的一半。殘余信號(hào)的左、右端點(diǎn)處數(shù)值接近1.5，大于信號(hào)的幅值。

對(duì)仿真信號(hào)應(yīng)用改進(jìn)LCD進(jìn)行分解，將結(jié)果的時(shí)域波形列于圖3。

圖3 改進(jìn)LCD分解結(jié)果時(shí)域波形Fig.3 Results of improved LCD in time domain waveform

從改進(jìn)LCD的分解結(jié)果可以看出：

(1)中間區(qū)間的分量保持了原始信號(hào)的光滑性，與原始信號(hào)非常接近。

(2)左區(qū)間、右區(qū)間的分量與原始信號(hào)在波形上的差異已非常小；

(3)改進(jìn)LCD方法產(chǎn)生的剩余信號(hào)的幅值遠(yuǎn)小于標(biāo)準(zhǔn)LCD。

為了進(jìn)一步分析效果，借鑒鏡像延拓法[14]、支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)法[13]處理LCD的端點(diǎn)效應(yīng)，并與B樣條LCD[12]及本文方法其進(jìn)行對(duì)比。采用正交指數(shù)(Index of Orthogonality，IO)、能量相對(duì)誤差(Energy Relative Error，ERE)和計(jì)算時(shí)間(Calculate time，CT)評(píng)價(jià)各種方法的性能。

IO定義[15]為：

(7)

IO作為各ISC分量正交性的判定標(biāo)準(zhǔn)，其值越小，說明分量間的正交性越好，反之亦然。

ERE的定義為：

(8)

ERE指標(biāo)越接近于0，說明分解能量損失越低。

運(yùn)用四種方法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行分解，將三種指標(biāo)列于表1。可以看出：BLCD及鏡像延拓LCD的IO及ERE指標(biāo)均較本文方法差，計(jì)算時(shí)間基本相當(dāng)；SVM-LCD方法可得到很好的分解效果，本文方法的效果稍差。但SVM結(jié)構(gòu)復(fù)雜、參數(shù)不易調(diào)整，且運(yùn)行時(shí)間過長，不便于工程應(yīng)用。本文方法在分解質(zhì)量及運(yùn)行時(shí)間上的綜合優(yōu)勢(shì)比較明顯。

表1 不同方法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行LCD分解的指標(biāo)比較

混合插值方法能避免兩個(gè)端點(diǎn)鄰域的插值“過沖”現(xiàn)象，經(jīng)過多項(xiàng)式方法對(duì)線性插值進(jìn)行修正，整體上保證了插值曲線與原始信號(hào)的相似程度。因此，混合插值及多項(xiàng)式修正方法能有效抑制插值帶來的端點(diǎn)效應(yīng)，是一種有效的方法。

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

采用美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程實(shí)驗(yàn)室的軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行算法驗(yàn)證[16]。其試驗(yàn)裝置構(gòu)造見圖4。

圖4 試驗(yàn)裝置構(gòu)造圖Fig.4 The basic layout of the test rig

一臺(tái)功率為1.47 kW(2馬力)的感應(yīng)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)軸，驅(qū)動(dòng)軸上安裝一個(gè)扭矩傳感器和編碼器，扭矩通過測(cè)功機(jī)和電子控制系統(tǒng)作用于驅(qū)動(dòng)軸，軸的驅(qū)動(dòng)端和風(fēng)扇端均安裝了軸承。論文選用驅(qū)動(dòng)端故障軸承數(shù)據(jù)集IR007_0.mat中的X105_FE_time作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)集的故障軸承為SKF公司的6205-2RS JEM深溝球軸承，其尺寸參數(shù)如表2如示。

表2 滾動(dòng)軸承6205-2RS的尺寸參數(shù)

使用電火花加工技術(shù)在該軸承內(nèi)圈上布置了單點(diǎn)故障，故障直徑為0.177 8 mm、深度為0.279 4 mm，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 797 r/min。則轉(zhuǎn)頻fr為29.95 Hz，滾動(dòng)軸承內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障特征頻率為：

(9)

式中：α為接觸角。采用加速度傳感器采集振動(dòng)信號(hào)，傳感器固定在風(fēng)扇端垂直方向，采用數(shù)據(jù)采集卡拾取振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為12 kHz，本文計(jì)算時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)取1 024，時(shí)間起點(diǎn)為t=0。

原始信號(hào)的時(shí)域波形見圖5。

圖5 原始信號(hào)的時(shí)域波形Fig.5 The original signal in time domain waveform

對(duì)原始信號(hào)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)LCD進(jìn)行分解，得到5個(gè)ISC分量和1個(gè)剩余信號(hào)。將峭度值較高的前3個(gè)分量的時(shí)域波形列于圖6。可以看出：①3個(gè)分量的時(shí)間尺度依次增大，體現(xiàn)了LCD的自適應(yīng)濾波特性；②3個(gè)分量的幅值依次減小；③3個(gè)分量均能清晰體現(xiàn)調(diào)制現(xiàn)象；④3個(gè)分量的右端點(diǎn)處均存在較大的幅值發(fā)散現(xiàn)象，端點(diǎn)效應(yīng)明顯。前三點(diǎn)說明LCD的方法是有效的，第四點(diǎn)說明，LCD在短數(shù)據(jù)集的應(yīng)用中仍存在端點(diǎn)效應(yīng)，分解質(zhì)量有待提高。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)LCD的ISC分量時(shí)域波形Fig.6 The ISCs of standard LCD in time domain waveform

對(duì)原始信號(hào)應(yīng)用改進(jìn)LCD進(jìn)行分解，得到4個(gè)ISC分量和1個(gè)剩余信號(hào)。將峭度值較高的前3個(gè)分量的時(shí)域波形列于圖7。可以看出：①3個(gè)分量的頻段、幅值依次減小，且均能清晰體現(xiàn)調(diào)制現(xiàn)象；②改進(jìn)LCD的分解結(jié)果中已沒有明顯的端點(diǎn)效應(yīng)，而中間段的信號(hào)趨勢(shì)與標(biāo)準(zhǔn)LCD結(jié)果一致。說明改進(jìn)方法避免了端點(diǎn)鄰域的插值“過沖”，且能保證了插值曲線與原始信號(hào)的相似程度。

圖7 改進(jìn)LCD的ISC分量時(shí)域波形Fig.7 The ISCs of improved LCD in time domain waveform

為了進(jìn)一步對(duì)比分解質(zhì)量，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)LCD和改進(jìn)LCD的分量分別求峭度，選取峭度最大的分量作為敏感分量，并分別求取Hilbert包絡(luò)譜，將低頻段(0～1 000 Hz)列于圖8。

圖8 敏感分量的包絡(luò)譜Fig.8 Envelope spectrum of sensitive component

可以看出：①在圖8(a)所示的標(biāo)準(zhǔn)LCD分解結(jié)果中，內(nèi)圈故障特征頻率fi處存在全譜幅值最大的譜線，內(nèi)圈故障特征頻率2倍頻與轉(zhuǎn)頻的調(diào)制邊頻帶(2fi-fr)處、內(nèi)圈故障特征頻率3倍頻與轉(zhuǎn)頻的調(diào)制邊頻帶(3fi-fr)處均存在較為清晰的譜線，說明LCD是有效的；②在圖8(b)所示的改進(jìn)LCD分解結(jié)果中，fi處的譜線仍為全譜幅值最大，但相對(duì)幅值較標(biāo)準(zhǔn)LCD分解結(jié)果突出，2fi-fr處、3fi-fr處的譜線更為清晰，說明了改進(jìn)LCD的分解質(zhì)量更高。

為了進(jìn)一步分析效果，采用BLCD、鏡像延拓LCD及SVM-LCD分別對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行分解。同樣求取敏感分量的包絡(luò)譜，并將結(jié)果列于圖9。

可以看出：①BLCD與標(biāo)準(zhǔn)LCD的結(jié)果差別不大；②鏡像延拓LCD分解結(jié)果中，fi、3fi-fr處的譜線比較清晰，但2fi-fr處譜線不如圖8(b)清晰；③SVM-LCD的結(jié)果中，fi、2fi-fr處譜線與圖8(b)的清晰程度相當(dāng)，但3fi-fr處譜線更明顯。因此，在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析中，本文方法較BLCD及鏡像延拓LCD的效果好，較SVM-LCD的效果稍差。考慮到算法復(fù)雜性及運(yùn)行時(shí)間，本文方法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

圖9 各改進(jìn)方法敏感分量的包絡(luò)譜Fig.8 Envelope spectrum of sensitive component of each improved approach

混合插值方法能避免兩個(gè)端點(diǎn)鄰域的插值“過沖”現(xiàn)象，經(jīng)過多項(xiàng)式方法對(duì)線性插值進(jìn)行修正，整體上保證了插值曲線與原始信號(hào)的相似程度。因此，混合插值及多項(xiàng)式修正方法能有效抑制插值帶來的端點(diǎn)效應(yīng)，是一種有效的方法。

5 結(jié) 論

本文為了提高LCD的分解質(zhì)量，給出了一種端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法：對(duì)端點(diǎn)鄰域的數(shù)據(jù)段，采用線性方法插值均值曲線；將端點(diǎn)鄰域的均值曲線與中間數(shù)據(jù)段合并，按照三次樣條方法插值形成均值曲線；采用三次多項(xiàng)式修正端點(diǎn)鄰域的均值曲線。混合插值方法避免兩個(gè)端點(diǎn)鄰域的插值“過沖”現(xiàn)象，多項(xiàng)式修正方法保證插值曲線的光滑程度。因此，混合插值及多項(xiàng)式修正方法能有效抑制插值帶來的端點(diǎn)效應(yīng)，是一種有效的方法。