準零剛度隔振系統吸引子遷移控制研究

趙建學， 俞 翔， 柴 凱， 楊慶超

(1. 海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033； 2. 海軍工程大學 科研部，武漢 430033)

準零剛度隔振系統因具有良好的低頻隔振效果[1-6]，在艦船動力設備振動噪聲控制領域有著廣闊的應用前景。然而，非線性系統的多值性本質使得準零剛度隔振系統可能存在多個吸引子，當初始條件不同時，系統會穩定運行在不同振幅的吸引子上，如果沒有受到擾動，因為共存吸引子都是穩定的，所以系統不會自動遷移到另一個吸引子；當受到擾動時，系統則可能通過躍遷從振幅較大的狀態變為振幅較小的狀態，但也有可能從振幅較小的狀態變為振幅較大的狀態，這個過程取決于受到的擾動。系統運行在不同振幅的吸引子時具有不同的隔振效果，若系統運行在大振幅吸引子上，會影響艦船設備的正常工作，縮短使用壽命，因此有必要對準零剛度隔振系統的吸引子及其吸引域進行詳細分析，并應用吸引子遷移控制方法，使系統遷移至小振幅吸引子上，實現減振降噪。這對基于準零剛度隔振系統的主動控制研究具有重要意義。

關于混沌控制最早提出的是輸運控制[7]和參數輸運控制[8]。這兩種控制方法要求系統必須是耗散的，且不受控時系統的不穩定解不能作為控制目標。因此，Jackson等[9]在輸運控制的基礎上又提出了開閉環控制方法，證明了自治Duffing振子、Lorenz系統及Rossler系統開閉環控制傳輸域的全局性，并實現了Van der Pol系統的開閉環控制。目前，開閉環控制方法已成功應用于很多復雜的非線性系統。如Chen等[10-12]研究了該方法在logistic、Henon映射、Gaussian映射以及超混沌映射的輸運控制中的應用，且提出了參數開閉環控制方法。沈建和等[13]基于開閉環控制思想，設計了一類由外激勵力和線性誤差反饋組成的開閉環控制器，研究了Mathieu-Duffing振子混沌軌道至任意目標周期軌道的控制問題，同時利用Liapunov穩定性理論與二階常微分方程初值問題的比較定理證明了夾帶盆的全局性。針對一類多項式混沌，王杰等[14]提出了開環加非線性閉環控制方法，將系統的解傳遞到任意給定目標，并證明其傳遞域是全局穩定的。Chen等[15]應用開環加非線性閉環方法對強迫Duffing系統和強迫van der Pol系統等二階非自治常微分方程進行了研究，證明了輸運域的全局性。

本文建立了準零剛度隔振系統動力學模型，運用點映射方法得到了典型參數下系統的全局性態，并應用開環加閉環控制方法仿真實現了吸引子的遷移控制，使系統由振幅大吸引子遷移至振幅小的吸引子上，從而達到了減振降噪的目的。

1 準零剛度隔振系統全局性態分析

準零剛度系統的一般理論模型如圖1所示。準零剛度系統由1個具有正剛度的豎直彈簧和2個具有負剛度的傾斜彈簧構成[16]。圖1中，F表示外界激勵力，k0，k1分別表示傾斜彈簧和豎直彈簧的剛度；L0表示傾斜彈簧的長度；h表示系統處于平衡位置時豎直彈簧的壓縮量；a表示傾斜彈簧安裝位置到系統中心的距離；z表示O點的的位移。

圖1 準零剛度系統理論模型Fig.1 The theoretical model of quasi zero stiffness system

然后建立準零剛度隔振系統模型，如圖2所示，c表示系統阻尼，F表示外界激勵力，y表示系統的位移，m為被隔振設備質量。以向下為正方向，當F=PcosΩT的激勵力作用于系統時，系統的無量綱動力學方程[17]為

(1)

其中，

圖2 準零剛度隔振系統示意圖Fig.2 The diagram of quasi zero stiffness

對系統隨激勵力幅值變化的分岔特性進行研究，即固定系統(3)的激勵力頻率ω=1.5，而以激勵力幅值f為分岔分析的控制參數。采用延拓算法，即將在fn求得的解直接作為fn+1=fn+Δf時的初始條件，并將f在0～5范圍內向前延拓和向后延拓得到所有的解枝在分岔圖上表示出來。

當f=0.8時，系統存在兩個周期1吸引子，相軌跡和Poincare映射如圖4所示。

圖3 系統隨激勵力幅值變化的分岔圖(0≤f≤5)Fig.3 The bifurcation diagram of system varying with exciting force amplitude(0≤f≤5)

圖4 共存吸引子的相圖以及Poincare映射Fig.4 The phase diagram of coexisting attractors and Poincare maps

圖5 吸引子及其吸引域圖Fig.5 The diagram of attractors and domain of attraction

2 單自由度非線性隔振系統遷移控制律

對于單自由度非線性隔振系統

(2)

設目標軌道函數為gx(t)，gy(t)。目標軌道函數需在相圖上連接共存吸引子的吸引域。開關函數為S(t)，即當滿足某一條件時，S(t)=1，否則S(t)=0。

引入開環控制律得

(3)

第二種是閉環控制方法，引入閉環控制律

(4)

其中A為適當選定的2×2矩陣。閉環控制律為

第三種方法是開環加閉環控制(OPCL)方法，引入開環加閉環控制律得

(5)

開環加閉環控制律為

(6)

式中：C(g,t)=DgF-B,DgF是F(gx,gy,t)關于gx，gy的雅克比式；B=bij為任意具有負特征值的2×2對角矩陣。

3 吸引子遷移控制

由圖4可看出，當系統運行于f=0.8的條件下時，第一個周期1吸引子較第二個周期1吸引子振幅小。但由于初始條件不確定，系統有可能運行在振幅大的第二個周期1吸引子上。這時，可以在兩個周期1吸引子的吸引域之間建立一條通道，即目標軌道，通過吸引子遷移控制使得系統沿著目標軌道從較大振幅的第二個周期1吸引子的吸引域遷移至較小振幅的第一個周期1吸引子的吸引域內，這樣系統會運行在較小振幅的第一個周期1吸引子上，從而達到減振降噪的目的。

系統(2)可變化為

(7)

采用開環加閉環控制(OPCL)方法對系統進行吸引子遷移控制。選取目標軌道函數gx=10-0.05t，gy=-0.05，可知該目標軌道函數在相圖上連接了共存吸引子的吸引域。矩陣取b11=-100，b12=0，b21=0，b22=-100。代入上節所取參數可得

開關函數S(t)設置為時間大于200 s后(系統已穩定運行)，若系統運行于第二個周期1吸引子的吸引域內，則啟動控制，即令S(t)=1，當系統被遷移至第一個周期1吸引子的吸引域時關閉控制，即令S(t)=0。

圖6 開環加閉環控制下的系統相軌跡圖Fig.6 The phase trajectory of the system under open loop plus closed loop control

系統相軌跡如圖6所示。黑色實線表示未施加控制前系統的運行軌跡；灰色虛線表示施加控制后關閉控制前系統的運行軌跡；灰色實線表示關閉控制后系統的運行軌跡，下同。可以看出，系統一開始運行在較大振幅的第二個周期1吸引子上，施加控制后，系統沿著目標軌道被遷移至第一個周期1吸引子的吸引域內，關閉控制后，系統經過短暫瞬態過程，開始運行在較小振幅的第一個周期1吸引子上，振幅較施加控制前明顯減小，從而實現減振降噪。

圖7 開環控制下的系統相軌跡圖Fig.7 The phase trajectory of the system under open loop control

若對系統施加開環控制，系統相軌跡如圖7所示。可以看出，系統一開始運行在較大振幅的第二個周期1吸引子上，施加開環控制后，系統運行軌跡混亂無序，且并未被遷移至目標軌道，關閉控制后，系統仍運行在第二個周期1吸引子上，無法實現吸引子遷移。

圖8 閉環控制下的系統相軌跡圖Fig.8 The phase trajectory of the system under closed loop control

若對系統施加閉環控制，系統相軌跡如圖8所示。可以看出，系統一開始運行在較大振幅的第二個周期1吸引子上，施加閉環控制后，系統不能精確被遷移至目標軌道，致使無法準確到達第一個周期1吸引子的吸引域，關閉控制后，系統仍運行在第二個周期1吸引子上，無法實現吸引子遷移，也就無法實現減振降噪。

4 穩定性與可行性分析

令x(t)=g(t)+u(t)，代入式(6)且當S(t)=1時可得

在F(g+u,t)處進行展開

(8)

代入式(7)可得

(9)

解得ux=exp(b11t)，因為b11<0，所以當時間t趨于無窮時，ux趨于零；對于上節所取的目標軌道函數gx，可知存在0<(M,β)<∞，使得2b11+β<0和|gx(t)|

由上述可知，只要恰當選取具有負特征值的對角矩陣B，以及連接兩個吸引子的吸引域且滿足有界條件|gx(t)|

對系統進行吸引子遷移控制的前提是存在共存吸引子。工程實際中，隔振系統工況較為復雜，極大可能存在吸引子共存現象。開環加閉環控制率可嘗試采用作動器實現。控制開關可采用繼電器和位移傳感器等構成。

5 結 論

本文建立了準零剛度隔振系統模型，畫出分岔圖研究了吸引子共存現象，并利用點映射方法分析共存吸引子的吸引域。在共存吸引子的吸引域之間建立了一條目標軌道，分別采用開環、閉環和開環加閉環控制方法對系統進行了吸引子遷移控制。同時，對開環加閉環控制方法的穩定性和可行性進行了分析。可以得到如下結論：

(1)準零剛度隔振系統隨激勵力幅值的變化呈現出較為復雜的動力學特性，存在吸引子共存現象。

(2)對于單自由度準零剛度隔振系統，開環或閉環控制難以實現系統吸引子的遷移控制；開環加閉環控制可使系統沿著目標軌道在不同振幅吸引子的吸引域之間遷移，使系統由大振幅吸引子遷移至小振幅吸引子上，實現減振降噪。該方法為提高非線性隔振系統的隔振效果提供了新的思路。

(3)通過適當選取目標軌道函數和控制律，可保證吸引子遷移控制的穩定性。開環加閉環控制率可嘗試采用作動器實現。控制開關可采用繼電器和位移傳感器等構成。