類橢球體放礦理論實際散體速度方程和密度方程的構建

李榮福 郭進平 劉少青

（西安建筑科技大學材料與礦資學院，陜西西安710055）

類橢球體放礦理論是李榮福教授在實驗觀察、回歸分析和理論研究的基礎上創立的［1］。類橢球體放礦理論創立時，實際散體速度方程和密度方程都是各自獨立給出的，雖然方程都通過了理論檢驗，但論證欠充分。本研究主要討論實際散體速度方程和密度方程的構建過程，進一步證明類橢球體放礦理論創立時給出的實際散體速度方程和密度方程有堅實的實驗基礎和充分的理論依據，說明類橢球體放礦理論體系是嚴密的，自身閉合的。

1 密度方程的構建

1.1 密度經驗公式

密度經驗公式是根據實驗結果建立的符合實驗規律的經驗公式，大量的放礦實驗可以得到以下結果［3］：①理論放出口（Q=0）放出體的密度為放出密度 ρo，松動體Qs表面（Q=Qs）的密度為初始密度ρa；②移動體表面各質點介質密度相等，為等密度面，其密度為 ρ，且有0≤Q≤Qs，ρo≤ρ≤ρa；③松動體體積Qs是放出體體積Qf的C倍，即Qs=CQf，C是一個與放出條件和散體性質相關的實驗常數，稱為松動范圍系數；④理想散體的松動范圍與Qf值無關，且Qs→∞，并有松動范圍內各處密度均為初始密度 ρa，也是放出密度 ρo，即 ρ=ρo=ρa。

由以上實驗結果可知，經驗公式應滿足以下條件：Q=0時，ρ=ρo；Q=Qs時，ρ=ρa；0＜Q＜Qs時，ρo＜ρ＜ρa；Qs→∞ 時，ρ=ρo，Q 表面各處密度都相等。經驗公式還應具有良好的可調性。

類橢球體放礦理論創建過程中，提出的符合實驗結果的密度經驗公式如下：

式中，α，ω均為與密度及其變化相關的實驗常數。

1.2 類橢球體放礦理論的密度方程

類橢球體放礦理論的密度方程應滿足質量守恒定律的理論要求。根據質量守恒定律得到松動體質量平衡方程式：

式中，Qs、Qf分別為松動體體積和放出體體積；ρa為散體初始密度；ρc為松動體Qs中散體的平均密度。

根據密度經驗式（1），得到松動體Qs中散體的平均密度 ρc值為：

當Q=Qs時，ρ=ρa，由密度經驗公式可知，初始密度 ρa值為：

由松動體質量平衡方程式（2）得：

代入 Qs=CQf和 ρa、ρc值得：

由于上式不存在變量，成立的必要條件是C=(1 +α )ω+1=α(ω +1)(1 +α)ω，故存在 ω=。也就是說密度經驗公式只有ω=時才能滿足質量守恒定律的理論要求。因此，符合實驗結果又滿足理論要求的密度方程為：

式（3）表達的密度方程正是類橢球體放礦理論創立時給出的密度方程。它是一個由經驗公式上升為理論公式的密度方程。由密度方程式（3）的構建過程可知，該密度方程具有堅實的實驗基礎和充分的理論依據。

2 實際散體速度方程的理論表達式

類橢球體放礦理論創立時，在實際散體速度方程的構建中，認為實際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數之積，現論證其理論依據。

2.1 理論表達式的基礎方程［2，4-5］

類橢球體放礦理論根據理想散體的移動過渡方程建立了理想散體速度方程式（4）和式（5）。

式中，VX、VR分別為理想散體垂直下移速度和徑向速度；X、R分別為圓柱面坐標系的垂直坐標和徑向坐標；qo為單位時間放出體積；n、m、k均為與放出條件和散體性質相關的實驗常數。

由類橢球體放礦理論可知，移動體體積方程為式（6），放出體體積方程為式（7），移動跡線方程為式（8）：

式中，Q、Qf分別為移動體和放出體體積；Xo、Ro分別為顆粒點移動前的初始垂直坐標和徑向坐標；ρa、ρo分別為散體初始密度和放出密度；t為放出時間。

2.2 實際散體速度方程的理論表達式建立

已知Q是X和R的函數，根據微分運算法則有：

根據式（4）可進一步得到：

式（9）為實際散體速度方程的理論表達式，它表明實際散體速度是理想散體速度與

設

其中，β稱為速度阻滯系數，式（10）是速度阻滯系數的理論表達式。

實際散體速度方程的理論表達式（9）則可轉換成速度阻滯系數β的表達形式：

由式（10）可知，速度阻滯系數 β與散體場密度及其變化相關，它表明由于實際散體密度場的不均勻性和不定常性的性質，使得散體移動場中的散體顆粒存在投入運動滯后和速度減慢的阻滯現象。實驗研究表明，實際散體放出時產生二次松散現象，造成散體移動場中各處密度都發生變化，使得散體顆粒運動滯后和受阻而減速。實際散體在放出口處（Q=0），不再產生二次松散，也無速度阻滯現象（β=1）。松動體表面各處（Q=Qs），受速度阻滯最大，速度變為零（β=0）。在移動場中隨移動體Q增大則 β值減小，且有0＜Q＜Qs，1＞ β＞0。理想散體由于不產生二次松散，沒有速度阻滯現象（β=1）。

式（11）表明實際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數之積。式（11）正是類橢球體放礦理論創立時給出的實際散體速度的表達式。

由以上論證可知，類橢球體放礦理論創立時提出的速度阻滯系數概念，并認為實際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數之積的觀點是正確的且有理論基礎的。

3 類橢球體放礦理論實際散體速度方程

類橢球體放礦理論創立時，其實際散體速度方程中給出的速度阻滯系數理論依據，且與速度阻滯系數 β的理論表達式（10）不同，下面對此進一步論證。

3.1 類橢球體放礦理論的速度阻滯系數

由上節得到式（10）所示的速度阻滯系數的理論表達式，現根據類橢球體放礦理論的密度方程和移動體質量平衡方程來求算速度阻滯系數。

當放出量為放出體Qf時，放出前位于Qo處的移動體Qo移動到Q，根據質量守恒定律可建立移動體質量平衡方程式：

式（13）為類橢球體放礦理論的移動過渡方程，對式（13）兩端進行微分運算得：

式（14）是根據速度阻滯系理論表達式和密度方程、移動過渡方程求得的速度阻滯系數。式（14）也正是類橢球體放礦理論創立時給出的速度阻滯系數，可見速度阻滯系數有充分的理論根據。

由式（14）可知，當 Q=0時，β=1；Q=Qs時β=0；0＜Q＜Qs時，1＞β＞0；Qs→∞ 時，β=1。該理論公式給出的結果與實驗完全相符。

3.2 類橢球體放礦理論實際散體的速度方程

將式（4）、式（14）代入式（11）得到類橢球體放礦理論垂直下移速度方程：

由實際散體速度的理論表達式（5）和速度阻滯系數式（14）得到類橢球體放礦理論實際散體徑向速度V′R方程式。

式（15）、式（16）表達的速度方程正是類橢球體放礦理論創立時給出的類橢球體放礦理論的實際散體速度方程。實際散體速度方程和密度方程都通過了理論和實驗檢驗，成為類橢球體放礦理論體系重要的理論方程。

4 結論

通過上述的理論推導和分析，可到以下結論：

（3）根據速度阻滯系數理論表達式和密度方程、移動體質量平衡方程得到的速度阻滯系數為，它正是類橢球體放礦理論創立時給出的速度阻滯系數，論證為此提供了充分的理論依據。

（4）本研究構建的密度方程和實際散體速度方程與類橢球體放礦理論創立時給出的密度方程和實際散體速度方程完全相同，從理論上進一步證明了密度方程和實際散體速度方程都是正確的，能通過理論和實驗檢驗。