豐富量化比較建構“厘米”表象

丁國成

【摘要】米是一個重要的長度單位，是學習長度單位的起始課。在一般的厘米教學中，教師常常重“測量”輕“意義”、重“1厘米”輕“幾厘米”、重“活動”輕“思考”，導致學生在實際運用中錯誤較多。筆者認為要牢固建構厘米的表象，在課堂中可以從以下幾方面入手：1.關注厘米是度量長度的基本單位，明晰測量的本質；2.通過玩1厘米的小棒，借助無尺想象，精確1厘米表象，落實感估的基礎；3.通過估、量一些恒定物體（數學書等）和身體部位的長度，積累幾厘米的表象，填補估測的缺陷；4.通過選取熟悉的物品參照、借物排物等完善估測方法，提高感估的合理程度。通過豐富的估、量等學習體驗，量化比較，幫助學生建構“厘米”的表象。

【關鍵詞】厘米 建構 表象

在小學階段，“長度單位”的教學主要是認識厘米、米、分米、毫米、千米，它們是小學數學計量單位教學的重要組成部分。為了幫助學生建立1厘米、1米、1分米、1毫米、1千米的表象，教材用了很大的篇幅來引導學生進行探究活動，讓學生聯系生活實際學習這幾個長度單位，體會這些一個長度單位的實際大小。厘米是學習長度單位的起始課，在學習長度單位的知識、發展學生空間觀念中起著舉足輕重的作用。

一、學習錯誤透視見問題

盡管在課堂上學生能比畫出1米、1毫米、1厘米、1分米的長短，但在實際運用時，學生的錯誤較多，比如在比畫2厘米的長短時，竟有人伸出了手臂長的一段，或者會碰到這樣讓人哭笑不得的作業：一棵大樹高10厘米。學生出現這樣的錯誤，可能是我們的教學存在以下問題：

1.概念掌握：重“測量”輕“意義”

生活中長度單位是多樣的，應用也非常廣泛，只不過利用這些單位在交流過程中有些不便，需要統一。而經歷從生活多樣化到數學一般化的認識是研究的切入點。因此教師們很重視統一長度單位的必要性與物體長度的估計與測量，但忽視了厘米概念的實質性內涵：厘米是一個國際統一的度量長度單位。學生對厘米的理解，關于“國際統一”和“度量長度單位”的感悟非常弱。

2.表象建立：重“1厘米”輕“幾厘米”

幫助學生建立1厘米長度的正確表象，能較好地使其建立估測標準，但對學生來說，并不能清晰描述和準確估計物體的長度，需要對5厘米、10厘米等有清晰的表象。而教學中教師往往重視1厘米表象的活動體驗，忽視“幾厘米”表象的支撐，使學生空間長度感知的基礎表象過于單薄。1厘米與幾厘米之間缺乏過渡，需要精準疊加的單位個數太多，最終導致表象不夠清晰穩定，甚至會受其他因素干擾。

3.長度感估：重“活動”輕“思考”

教師重視開展估測的學習活動，也重視讓學生先估再量，將答案進行比對，但往往忽視對感估方法的指導和多種感估通道的開發，使活動缺乏思維方法的交流和思維深度的提升，最終導致部分學生的空間感知能力不夠準確。

二、豐富量化比較建構表象

怎樣才能讓學生理解并建立牢固的長度單位厘米的表象呢？長度單位表象的建立需要怎樣的深層次的教學過程？學生要經過哪些學習體驗呢？我們都知道：表象是事物不在面前時，人們在頭腦中出現的關于事物的形象。對于抽象的數學知識，生動的直觀形象畢竟只能為學生提供理解的起點，而表象的建立則有助于他們更快地擺脫具體事物的束縛，向抽象思維過渡。對于抽象的長度單位的教學和解決長度單位的一些實際問題，正需要學生能通過建立深刻的、合理的表象，才能形成長度單位大小的意識，促進他們思維的發展和解決問題的能力。

1.關注厘米是度量長度的基本單位

對于度量，二年級的學生更關注量尺上直觀的數字，對于一個抽象的度量單位和數據單位名稱并不關注。因此，在練習與后續學習中，學生經常會出現錯誤，如在測量好物體的長度時經常會只寫一個數字，沒有單位名稱。因此，在學習厘米時就要強調“厘米是度量長度的基本單位”。

（1）借助結論比較，厘清測量的實質

在體會統一度量單位后，讓學生在厘米尺上找到1厘米，明確不止有0～1是1厘米，2～3、5～6都是1厘米。在進行測量時，將同樣長度的物體擺放在厘米尺的不同位置，如測量3厘米的橡皮，可以放在0～3之間，這是最一般的測量方法。教師可以問：“還有不同的測量方法嗎？”就會出現不同的方法，如可以放在3～6、7～10之間等，借助測量結果的比較引發學生的思考：橡皮的長度是多少？通過操作活動，觀察與討論，幫助他們厘清測量的實質：有幾個1厘米就是幾厘米。

（2）借助材料比較，明晰量物的本質

將實際長度并不相等的三個長方形放在直尺上，起點不同但終點都對著5厘米，來引發學生思考：“為什么三個長方形都對著5厘米，卻只有第二個長方形的長度才是真正的5厘米呢？”通過觀察比較、師生間的交流，明晰量物體的本質是“數出物體所占長度單位的個數”，而不是比終點刻度的大小。

2.精確1厘米表象，落實感估的基礎

正確建立1個長度單位表象是提高長度量感的基礎。由于二年級（7～8歲）學生的觀察力在精確性方面還處于水平較低的階段，他們還不能全面細致地感知客體的細節。因此，教師要特別關注使用策略，奠定一個精確而穩定的1厘米表象。

（1）借小棒之力，提高表象準確性

學生在量尺上能找到1厘米，但那個1厘米對學生來說是屬于看得見摸不著的，根據學生的特點，具體的實物更符合學生的認知規律。借助學具（1厘米長的小棒），把量尺上的1厘米拿出來，把1厘米拿在手上看一看、玩一玩，把小棒拿在大拇指和食指之間，抽走小棒，觀察兩個手指間的距離，同桌之間比一比，經歷形象感知到逐步抽象的過程，提高表象的準確性。

（2）借無尺想象，提高表象的穩定性

讓學生脫離量尺，想象并在本子上刻畫出1厘米長的線段，然后再與計量工具作比對，提高1厘米量感的穩定性。例如當學生能正確指認尺子上的1厘米后，要求他們不用量尺直接在空中比畫或者在紙上徒手描出1厘米的長度，同桌之間量一量、比一比誰畫的線段更接近1厘米。這種“沒有尺子比誰想得準”的小游戲競賽，既能激發學生的學習興趣，又能提高1厘米表象的穩定性。

（3）借認知沖突，提高表象的深刻性

如果僅僅設計“找找身邊長度大約是1厘米物體”的活動來提高1厘米表象的準確性是不夠的。因為這樣建立起來的長度單位表象不夠精準，不利于后續幾個單位疊加時量感的培養。

我們可以設計如下活動，提供下列學習材料：直徑為2厘米的硬幣，棱長1厘米的小正方體，長5厘米的小包餐巾紙，高10厘米的水彩筆。活動要求：“老師在你們的學具袋里準備了一些東西。有些東西上就是1厘米的長度。你能不用尺子就把它們找出來嗎”“誰的眼力最準？拿出尺子量一量，有剛好是1厘米的嗎？”“5角硬幣最寬處是1厘米長嗎？量量看。”

由于在前面的概念學習中學生已經知道了1厘米是一個比較小的長度單位，因此他們在此任務型活動中，很容易將小小的硬幣也列入1厘米長度的物體。借助反饋學生會發現熟悉的5角硬幣最寬處竟有2個1厘米。這不僅精確了學生頭腦中的1厘米表象，而且提供了很好的實物參照。學生會由衷地感嘆：“1厘米這個長度單位可真小呀！”

3.積累幾厘米表象，填補估測的缺陷

前面已經提到，僅強化1厘米表象并不能有效提高學生對長度的感估水平。物體的長度越長，也就是1厘米的個數越多，感估難度就越大。因此，教師要幫助學生積累一些幾厘米的表象，在實踐操作中知道一些常見的身邊物體的長度。

（1）選取長度恒定物體，積累幾厘米的通用性表象

教師可選取一些學生身邊經常出現，并且長度、高度或厚度恒定不變的熟悉物品作為活動材料，幫助學生積累一些幾厘米的通用性表象。

例如，讓學生估一估、量一量、比一比，在活動中積累這些隨處可見的參照物：小包裝餐巾紙寬度是5厘米、水彩筆長度是10厘米、數學書的寬大約是18厘米，等等。

（2）選記身體固定部位，充實幾厘米的個性化表象

雖然每個學生身體部位的長度不一定相同，但是借用自己熟知的身體某部位長度，可以充實一些幾厘米的個性化表象，把自己的身體變成一把個性化的、隨身攜帶的量尺，從而比較方便地度量和換算物體長度。

例如，開展小組活動，先估一估，再量一量，最后大家比比結果。積累自己身上隨時可以調用的個性化身體尺：“我的一拃大約是14厘米”“我的腳長是23厘米”“我走一步大約35厘米”等，重點要找到手上的5厘米、10厘米和20厘米，這些厘米數一方面便于學生記憶，同時考慮到手的靈活性，手上的量尺拿用是最方便的。

4.完善估測方法，提高感估的合理程度

在日常生活中，估測是經常用到的，感估能力的培養非常重要。提高物體長度感估能力不僅需要準確的單位表象，還需要有合適的估測方法，兩者缺一不可。在準確測量之前，可以讓學生先估一估，給學生多次嘗試、修正的機會。教師需要在豐富和完善學生的估測方法上下功夫，提高學生長度感估的合理程度。

（1）選物參照，減少測量值的誤差

對較長的物體，直接使用幾厘米的參照物作為單位去比量，可以減少單位個數，減少估測值的誤差。

例如，教師可出示任務型活動：“我們已經知道小方塊每條邊都是1厘米，5角面值硬幣的最寬處是2厘米。學具袋里還剩下餐巾紙和水彩筆。你能估出它們的長度嗎？”然后讓學生交流“你是怎么估的呢”，充分鼓勵那些選物參照的估測方法，如“剛才硬幣最寬處2厘米，我覺得餐巾紙包大概有2個硬幣寬，所以4厘米差不多”。

（2）借物排除，框定測量值的區間

如直接估計物體長度有困難，可以借助已有量感的實物做比對，排除明顯錯誤答案，可以框定測量值的合理區間。

例如在選擇題中：①學生課桌的長度是（ ）。A.60厘米，B.6厘米，②新華字典的厚度是（ ）。A.150厘米；B.5厘米。可讓學生交流“你是怎么找到正確答案的”。學生反饋如①“我的手掌寬度大約是10厘米，課桌的長度比我的手掌長多了，所以B肯定是錯的”；②“我的身高都只有130厘米，字典怎么可能比我的身高還高呢”。教師要充分肯定學生的想法，體會不同問題可以選擇不同的解決方法，開闊學生的思路。