在觀察與辨析中掌握間隔排列的規律

吳志花

[摘 要]“植樹問題”是小學數學中的經典問題，也是數學“盈虧持平”思想的雛形。但是，“植樹問題”中有一個教學難點就是間隔數，學生很難理解其中的排列規律，于是“間隔排列”作為一個單獨的學科章節應運而生。

[關鍵詞]觀察；辨析；間隔排列；規律

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2018）33-0033-01

“間隔排列”的教學旨在使學生能夠聯系實際生活，借助生活經驗，掌握不同物體間隔排列的規律，并能運用規律解決問題，提升和發展學生的觀察能力、對比能力、歸納能力。那么，數學課堂中，教師應如何引導學生發現和掌握間隔排列的規律呢？

一、理解本質，描述特征

首先，讓學生畫圖體驗間隔。課上，教師通過課件出示△○△○△○，讓學生猜測下一個出現的圖標，學生很容易猜出下一個圖標是三角形。隨即，課件動畫呈現△，教師接著讓學生猜測，學生回答“下一個圖標是圓”……學生不斷地猜測下去，教師啟發學生思考“為什么都能猜對？依據是什么”，于是學生開始總結規律。在學生說出規律后，教師揭示這節課學習的課題。練習環節，教師讓學生按照自己的思路獨立畫圖，然后展示部分學生的作業，全班評議。最后，教師讓學生闡述自己的思路。有的說，三角形和圓依次輪流交替出現，以此類推；有的說，將一個三角形和一個圓視為一個整體，不斷復制粘貼下去；還有的說……教師肯定學生的思路，正式提出間隔排列的概念。這里，教師以學生熟悉的圖形切入教學，引導學生在猜想中感知排列規律，使學生深入理解并應用規律。

其次，出示圖示（如右），引導學生在分類比較中感知間隔。教師讓學生先將六幅作品分為兩類，再在小組中研討分類標準。有的小組把圖（3）（5）（6）分為一類，將圖（1）（2）（4）分為一類，分類理由如下：圖（3）（5）（6）是將一個三角形和一個圓視為一個組合體；圖（1）（2）（4）為一個一個間隔排列，最后還多出一個三角形。也有的小組提出按組合體復制法考慮，即將六幅作品分為有零件和沒零件兩類。還有的小組提出不同的分類標準：將圖（1）（2）（4）分為一類，這一類以三角形收尾，與起頭圖案相同；將圖（3）（5）（6）分為一類，這一類以圓收尾，與起頭圖案不同。教師趁機提出首尾對應的方法，即按照這種方法間隔排列，首尾可以相同，也可以相異。

二、理清關系，提煉規律

教師出示情境圖（略），讓學生在兔子樂園里找出一一間隔排列的物體，然后通過小組合作探究它們的類型。學生發現兔子和蘑菇、木樁和籬笆是首尾相同的一一間隔排列，于是先研究間隔排列中兩種物體數量的多少，很明顯，首尾同時出現的物體要比夾在中間的物體多1個。然后教師提出進行實踐驗證，讓學生比較兔子與蘑菇、木樁與籬笆的數目。通過清點，學生發現木樁有13根，籬笆有12塊，兔子有8只，蘑菇有7朵。這時有學生提出可以運用組合法進行組合清數，即先將一根木樁和一塊籬笆連在一起進行數數，數到最后只剩下一根單獨的木樁；再將一只兔子和一朵蘑菇進行組合數數，數到最后只剩下一只兔子。舉例驗證時，教師引導學生采用不同的方法，使學生明晰不同的方法和不同的思路之間可以彼此驗證、互相啟迪。接下來，教師通過大量的實例來驗證猜想的正確性，然后讓學生按照相同的方法驗證間隔排列中首尾不同的情況。在探究規律、建模驗證的過程中，學生對“一對一交替間隔，首尾相同”的情況進行猜想、舉例、驗證，發現這種研究方法還可以運用到“一對一交替間隔，首尾不同”的情況，使學生體會到數學的嚴密性。

三、實踐體會，學以致用

課堂上，教師先讓學生尋找生活中一一間隔排列的物體，并比較兩種排列物的數量，如課桌椅是一一間隔排列的，即首尾相異，數量相等。然后教師讓若干名學生站成一排，即排成一一間隔的隊形，并邀請四名男生和三名女生排成一列，即每兩名男生中間站一名女生。通過親身實踐，使學生明白這樣的隊形就是一一間隔排列，即男女生間隔。此時，學生發現男生比女生多一名，也就是隊頭和隊尾都是男生，男生人數比女生人數多1名。接下來轉換類型，研究間隔排列中首尾相異的情況。教師要求學生站成的隊列要保證首尾有一名男生和一名女生，并請旁邊觀摩的學生提出方案。學生提出以下方案：（1）♂♀♂♀♂♀♂♀……（2）♀♂♀♂♀♂♀♂……然后教師進行變式拓展（如右圖），只限定男女生一一間隔排列，讓學生提出新方案。這種隱藏首尾的圓周一一間隔排列，其數目對比情況與首尾不同的一一間隔排列相同。這樣教學，使學生在輕松活潑的游戲活動中討論、驗證首尾相同與首尾不同的兩種類型，經歷了“直線排列”到“圓周排列”的演化過程，在形式的區別中尋找到規律的統一性。

綜上所述，教學“植樹問題”時，教師還可以引導學生學會從不同角度分析和探究排列的規律，以及通過排列的變式——圓周排列，使學生深入理解和掌握間隔排列的本質。

（責編 杜 華）