試論分類討論思想在高中數學教學中的應用

內蒙古通遼市扎魯特一中 王學全

分類討論思想既是一種教學思想，也是學習思想和解題思想。一般來說，教師將分類討論思想作為教學思想時，應用于將大型的知識體系分割成多個小知識點，分層教學，類似于從部分到整體教學；學生將分類討論思想作為學習思想與教師將其作為教學思想相同，將分類討論思想作為解題思想是學生在考試中運用最廣泛的思想，學生通過分塊求解將大題分為小題，再以小題解大題，可以有效降低解題難度，加快解題速度，十分考驗學生的數學解題能力。

一、分類討論思想的對象與原則

分類討論的第一步就是要確定分類討論的對象，在高中數學中大致有：（1）數與代數中的概念、定義、定理公式以及含參方程和不等式；（2）解析幾何中的圖形位置以及圖形形狀；（3）一般題設的分類。高中數學題目多而雜，可是許多題目萬變不離其宗，考查目標相同，因此教師與學生應該舍棄題海戰術，將分類討論思想運用于對題目類型的歸納，形成以一題破萬題的做題手段。

分類討論思想有三大原則：（1）每級分類按同一標準進行；（2）分類應逐級進行；（3）同級互斥、不得越級。在實際教學或者學習中應用分類討論思想時，要統一分類標準，只有統一分類標準，才能發揮其最大作用，否則只會越分越亂，就像是教師將學生按成績作為等級標準分組，按討論對象作為標準進行分組討論，討論對象的難度與小組學習水平的高低要一一對應，如果將難度低的討論對象分配給學習水平高的小組，那么分組學習就毫無意義，反之亦然。

二、把握定理，重視數學理論

把握定理是學生在數學考試中運用分類討論思想的前提。其實經過了長期的數學學習，學生自然而然就能發覺高中數學中的眾多知識、理論、定理或者公式等等都有一定的相似性，高中生基本都能有意識地分類記憶，這也是運用了分類討論思想。除此以外，數學公式與定理的使用都有其限制條件，不能任意使用，這是因為這些定理與公式本身就存在限制，因此在根據公式或者定理進行解題時就需要考慮這些限制條件，以避免答案出現不嚴謹的情況。大多不能夠在考題中靈活使用定理、公式的高中生，都有一個共同點：對定理以及公式的內涵以及限制條件理解不透徹。導致這種現象出現的原因在于高中數學教師對定理與公式的講解不重視，使得許多學生難以把握定理。因此，在實際教學中，高中數學教師應該重視數學理論知識的講解，加強學生對定理以及公式的理解。

以人教A版《等比數列》的教學為例，在教學等比數列時，等比數列的定理本身就具有分類討論思想。如，等比數列的求和分為q等于1或者不等于1兩種情況，q是否等于1往往是學生忽略的限制條件。以相關考題為例，如：等比數列{an}的前n項和

分析：這道題主要考查學生對等比數列通項公式與求和公式的運用，屬于基礎題，但是許多同學經常會忘記討論定義中q是否等于1。首先討論q的情況，再分別應用等比數列中的通項公式與求和公式，最后解方程即可。過程如下：解：

因此，在數學考試中，學生若要使用分類討論思想，就必須要把握定理。這種類型的題目注重考查學生對數學定理的理解與運用，在運用定理時，一定要注意分類討論。在高中數學教學中，數學教師一定要重視數學定理與公式的講解，讓學生在考試中熟練運用分類討論思想。

三、不重不漏，明確討論對象

高中數學題目考查全面，很多題目都需要學生進行不同情況的討論，如何討論全面并且做到不重不漏就成為學生做題的難點，也是數學教學的一大難點。首先，數學教師一定要有意識地引導學生努力去全面討論，提高運用分類討論思想的解題能力，高中數學應用分類討論思想最主要的就是根據條件以及問題來確定討論對象，并以此進行分類討論。其次，分類過程中想要做到不重不漏，在分類討論時就要層次清晰，切忌越級討論，如此分類討論才比較全面，才能減少做題失誤。

以人教A版必修一第一章《集合》的教學為例，本章涉及很多分類討論的思想。如：a＞0，a≠1，p=loga（a3+1），q=loga（a2+1），比較p、q的大小。學生在做這道題往往受到題目中a＞0、a≠1的影響，在討論a的范圍時卻忘記討論a＞0與a＜0的情況。看似簡單的題目，學生們只有應用分類討論思想討論不同情況，并且要做到不重不漏，明確分類討論的對象，才能拿到全分。因此，為了防止學生在做題時出現討論不全面的情況，數學教師要教導學生在討論前首先要明確討論對象，切忌盲目討論，否則做題時就會容易失去方向，容易混亂。

分類討論思想在高中數學教學中的應用十分廣泛，在教學上將大型知識體系分割成小的知識點，可以有效減輕教師的教學壓力，在學習上減輕學生的知識接受強度。分類考論思想在考試中能夠有效幫助學生快速、全面地解題，并且能夠培養學生的分步解題思維，形成一種高效的解題規范。因此，高中數學教師在數學教學上要有意識地滲透分類討論思想，培養學生的分類討論意識，以不斷提高教學質量。