三參數威布爾-幾何分布的統計分析

顧蓓青，徐曉嶺，王蓉華

（1.上海對外經貿大學 統計與信息學院，上海201620；2.上海師范大學 數理學院，上海 200234）

0 引言

在可靠性分析中浴盆形失效率函數對模擬壽命數據非常有用，大多數產品的壽命周期都呈現浴盆形失效率，但隨著壽命數據的越來越復雜，其失效率函數有時也會呈現單調遞增、單調遞減、倒浴盆形、滾輪形等其他類型的失效率函數，此時常用的壽命分布，例如威布爾分布、對數正態分布等就不能很好地刻畫這些壽命數據，于是越來越多的學者提出了一些新的壽命分布，并研究其性質和參數估計問題。Adamidis和Loukas提出了一個失效率遞減的兩參數分布，稱為EG分布（指數－幾何分布），討論其性質和參數的極大似然估計[1]。Coskun提出了一個新的具有遞減失效率的兩參數分布，稱為EP分布（指數－泊松分布），討論了該分布的各種性質，利用EM算法得到參數的極大似然估計以及估計的漸進方差和協方差[2]。Dimitris給出了估計指數－泊松分布參數的一種EM算法[3]。Rasool和Sadegh提出了一種新的失效率遞減的兩參數分布，稱為EL分布（指數－對數分布），討論了該分布的性質以及由EM算法得到的極大似然估計[4]。Xie等提出了一種新的模型，稱為廣義威布爾分布，其有利于模擬具有浴盆形失效率函數的系統壽命，并給出了該分布的參數估計方法[5]。Wu等提出了一個新的具有浴盆或單調遞增失效率函數的兩參數壽命分布，也可看作是威布爾分布的推廣，給出一種簡單精確的方法構造形狀參數的統計檢驗，并得到形狀參數的精確區間估計[6]。高艷紅和周秀輕提出了一種具有單調遞增失效率函數的兩參數分布，稱為RG分布（瑞麗－幾何分布），討論了該分布的各種性質，并利用EM算法得到參數的極大似然估計及估計的漸近方差－協方差陣[7]。

本文將文獻[7]所提出的壽命分布作進一步推廣，提出了一種新的壽命分布——三參數威布爾-幾何分布WG(p，m，β)，研究了該分布的密度函數、失效率函數的圖形特征以及該分布的數字特征等，最后利用分位數估計的方法，給出了當形狀參數已知時另兩個參數的點估計。

1 三參數WG(p,m,β)分布

定義：若非負連續型隨機變量X的分布函數F(x)具有如下形式：

則稱X服從三參數威布爾-幾何分布，簡稱為WG(p，m，β)分布。其中m稱為形狀參數，β稱為刻度參數，p稱為幾何分布參數。

特別地，當 p=0時，即為常用的兩參數威布爾分布，所以WG(p，m，β)分布可以看作兩參數威布爾分布的推廣；當m=2時，即為文獻[7]中的RG（瑞利-幾何）分布。

假設Y1，Y2，…，YZ為一列獨立同服從兩參數威布爾分布W(m，β)的隨機變量，W(m，β)的密度函數為：。而隨機變量Z服從參數為 p的幾何分布，其分布列為：P(Z=k)=(1-p)pk-1，0＜p＜1，k=1，2，… ，且 與 Y1，Y2，…，YZ相互獨立。記 X=min(Y1，Y2，…，YZ)，此時：

則：

值得一提的三參數威布爾—幾何分布WG(p，m，β)是一個混合分布，它是通過將威布爾與幾何分布混合在一起得到的。Z可以理解為某種產品中起初存在的同一類型缺陷的個數，Z是未知的，缺陷的出現將導致產品的失效。由于，關于 p是單調遞增的，也就是說隨著p的增大，該產品中存在多個缺陷的概率在增大，當概率接近于1的時候，該產品中存在的缺陷過多，那么就需要較多的維修費用，可能就沒有維修的必要了。

2 三參數WG(p,m,β)分布密度函數、失效率函數的圖像特征

定理1：若非負連續型隨機變量X服從三參數威布爾—幾何分布WG(p，m，β)，分布函數和密度函數分別記為F(x)，f(x)，則（1）當 0＜m≤1時，f(x)嚴格單調下降；（2）當m＞1時，f(x)先嚴格單調增加后嚴格單調下降，即f(x)呈“倒浴盆”形。

證明：易見密度函數為：

于是當 0＜m≤1時，g(t)＜0，f′(x)＜0，即 f(x)嚴格單調下降。

當 m＞1時 ，存 在 t0＞0，當 t＜t0時 ，g(t)＞0，f′(x)＞0 ，即 f(x)嚴格單調增加；當 t＞t0時，g(t)＜0 ，f′(x)＜0，即 f(x)嚴格單調下降，也就是 f(x)呈“倒浴盆”形。

給定 p=0.5，β=1，m=0.5，1.5，密度函數 f(x)的圖像見圖1所示。

定理2：若非負連續型隨機變量X服從三參數威布爾-幾何分布WG(p，m，β)，失效率函數記為 λ(x)，則（1）當 0＜m≤1時，λ(x)嚴格單調下降；（2）當 m＞1時，存在m0＞1，當1＜m＜m0時，λ(x)先嚴格單調增加，緊接著嚴格單調下降，再嚴格單調增加，即λ(x)呈“N”形；當m＞m0時，λ(x)嚴格單調增加。

當0＜m≤1時，g(t)＜0，λ′(x)＜0，λ(x)嚴格單調下降

當m＞1時，令m的函數h(m)=m-1-mpe-1/m，m＞1

令函數h2(a)=1-a-pe-a，0＜a＜1

所以，當1＜m＜m0時，h(m)＜0；當m＞m0時，h(m)＞0

由此，當1＜m＜m0時，g(t)的值從(m-1)(1-p)嚴格單調下降到小于0的數值，再嚴格單調增加到m-1，即存在 t1＜t2，當 t＜t1時，g(t)＞0 ，λ′(x)＞0 ，λ(x)嚴格單調增加；當t1＜t＜t2時，g(t)＜0，λ′(x)＜0，λ(x)嚴格單調下降；當 t＞t2時，g(t)＞0，λ′(x)＞0，λ(x)嚴格單調增加。此時λ(x)呈“N”形。

當 m＞m0時，g(t)＞0，λ′(x)＞0，λ(x)嚴格單調增加。

給定參數 p=0.5，β=1，m0=1.3020 ，m=0.5，1.2，1.3，1.4，失效率函數λ(x)的圖像見圖2所示。

圖2 失效率函數λ(x)的圖像

為與文獻[7]作比較，對RG分布，即取m=2，此時

由定理2的證明過程可以看到，對m的函數h(m)=m-1-mpe-1/m，m＞1，由于 h(m0)=0，而 h(2)=1-2pe-1/2，由此，若，則 h(2)＞0，此時有m0＜2，則有 λ(x)嚴格單調增加。若/2＜p＜1，則h(2)＜0，此時有 2＜m0，則有 λ(x)呈“N”形。

3 三參數WG(p,m,β)分布的數字特征

定理3：若非負連續型隨機變量X服從三參數威布爾—幾何分布WG(p，m，β)，分布函數與密度函數分別記為F(x)，f(x)，對 k=1，2，…，則：

（1）對 0＜q＜1 ，WG(p，m，β)分布的q分位數

證明：設 WG(p，m，β)分布的q分位數 Mq，則

又當|x|＜1時，有如下泰勒展開：

則:

4 形狀參數固定時，參數p,β的分位數估計

設 X1，X2，…，Xn為來自總體 X～ WG(p，m0，β)的容量為n的一個簡單隨機樣本，其次序統計量記為X(1)，X(2)，…，X(n)，而形狀參數 m0已知。

由定理3可知 WG(p，m0，β)分布的q分位數，于是利用分位數估計的方法，建立如下兩個方程：

令函數g1(p)=-[n-(n-1)p]ln[n-(n-1)p]+(n-1)(2-p)ln(2-p)，0＜p＜1

令函數 g2(x)=-xlnx+2(x-1)ln2，x≥2

于是有 g3(p)＞1，進而 g1(p)＜0，g(p)嚴格單調下降，由此可知：當在(0，1)上有唯一正實根。

5 結論

本文提出了一種新的具有單調遞減、“N”形、單調遞增失效率函數的壽命分布，稱為三參數威布爾-幾何分布WG(p，m，β)，其密度函數呈單調遞減或“倒浴盆”形。該分布的q分位數為，k階矩為E(Xk)=。此外，當形狀參數m=m0已知時，幾何分布參數p的分位數估計為方程的根，刻度參數β的分位數估計為