施肥量和施肥比例對(duì)小麥生長(zhǎng)的影響研究
——基于多元方差分析算法和最小二乘法

張政謙

（河南大學(xué)軟件學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004）

1 問(wèn)題分析

施肥量和施肥比例的變化都會(huì)不同程度地影響小麥所含各種糖分的變化，因分析發(fā)現(xiàn)糖分種類之間關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，用因子分析降維減少?gòu)?fù)雜度，再對(duì)降維后的數(shù)據(jù)進(jìn)行兩因素（施肥量和施肥比例）、三水平（低氮，中氮，高氮；0∶4，1∶3，2∶2）的方差分析得到因素的顯著性影響，得到小麥含糖量最高時(shí)對(duì)應(yīng)的施肥量和施肥比例。

2 模型的建立與求解

糖的種類較多，希望用較少的新變量代替原來(lái)較多的變量，同時(shí)要求這些新變量盡可能反映原變量的信息，因子分析正是解決這類問(wèn)題的有效方法，簡(jiǎn)化降維，從而使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀。

因子分析是通過(guò)對(duì)變量之間關(guān)系的研究，找出能綜合原始變量的少數(shù)幾個(gè)因子，使得少數(shù)因子能夠反映原始變量的絕大部分信息，然后根據(jù)相關(guān)性的大小將原始變量分組，使得組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，而不同組的變量之間相關(guān)性較低。因此，因子分析屬于多元統(tǒng)計(jì)中處理降維的一種統(tǒng)計(jì)方法，其目的就是減少變量的個(gè)數(shù)，用少數(shù)因子代表多個(gè)原始變量。

2.1 建立模型

原始的p個(gè)變量表達(dá)為k個(gè)因子的線性組合變量，設(shè)p個(gè)原始變量為x1，x2，……，x6，尋找的k個(gè)因子（k＜p）為f1，f2，……，fk，成分和原始變量之間的關(guān)系表示為：

2.2 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

計(jì)算各變量之間的相關(guān)矩陣，觀察各相關(guān)系數(shù)，如表1所示。各變量之間相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大都接近于1，故適合因子分析。

表1 各變量的相關(guān)系數(shù)

2.2.1 因子提取。從圖1碎石圖可以得到，纖維素在所有在所有糖成分中特征值占比最大，可作為主成分因子。然后利用主成分分析（抽取了一個(gè)成分）提取因子，如表2所示。

2.2.2 因子命名。定義因變量為含糖量，用以表示各種成分，利用SPSS得出系數(shù)矩陣見(jiàn)表3。

降維后得到的含糖量表達(dá)式：

式（2）中，x1，x2，……，x6分別代表纖維素、淀粉、蔗糖、果糖、還原糖和總糖。

2.2.3 方差檢驗(yàn)。方差分析的基本原理是認(rèn)為不同處理組的均數(shù)間的差別基本來(lái)源有2個(gè)。一是實(shí)驗(yàn)條件，即不同的處理造成的差異，稱為組間差異。用變量在各組的均值與總均值之偏差平方和的總和表示，記作SSB，組間自由度DFB。二是隨機(jī)誤差，如測(cè)量誤差造成的差異或個(gè)體間的差異，稱為組內(nèi)差異，用變量在各組的均值與該組內(nèi)變量值之偏差平方和的總和表示，記作SSW，組內(nèi)自由度DFW。總偏差平方和SST=SSB+SSW。

之后構(gòu)建F分布：

將F值與其臨界值進(jìn)行比較，在調(diào)用做方差分析之前，應(yīng)先檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否滿足方差分析的基本假定，即檢驗(yàn)正態(tài)性和方差齊次性。首先，正態(tài)性。調(diào)用jbtest函數(shù)檢驗(yàn)含糖量是否服從正態(tài)分布，原假設(shè)是含糖量服從正態(tài)分布，備擇假設(shè)是不服從正態(tài)分布，由結(jié)果h=0可知服從正態(tài)分布。其次，方差齊次性。由假設(shè)可知：經(jīng)過(guò)正態(tài)性檢驗(yàn)和方差齊次性檢驗(yàn)之后，利用析因設(shè)計(jì)方差分析去檢驗(yàn)每個(gè)因素的水平效應(yīng)均值的統(tǒng)計(jì)差異，也能檢驗(yàn)因素間的交互影響。基本原理仍為離差平方和的分解。

圖1 因子碎石圖

表2 各個(gè)糖的因子成分

表3 糖的系數(shù)矩陣

表4 方差分析結(jié)果

總變異=施肥量的各個(gè)水平間的差異+施肥比例因素各水平間的差異+施肥量與施肥比例的各種不同水平組合之間的差異+觀察數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差及組內(nèi)差異。

建立數(shù)學(xué)模型為：

式（4）中，μ為平均數(shù)；ai為Ai的效應(yīng)；bj為Bj的效應(yīng)；（ab）ij為Ai與Bj的互作效應(yīng)，（ab）ij=（μij-μ）-（μi-μ）-（μj-μ）=μij-μi-μj+μ，μi、μj、μij分別為Ai、Bj、AiBj觀測(cè)值總體平均數(shù)。

離差平方和與自由度分解：SST=SSA+SSB+SSAB+SSe；dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe。其中，SSAB、dfAB為因素A與因素B交互作用平方和與自由度。

總平方和與自由度：

因素水平組合平方和自由度：

A因素平方和與自由度

B因素平方和與自由度

所以，相應(yīng)均方為：MSA=SSA/dfA，因素A的方差；MSB=SSB/dfB，因素B的方差；MSAXB=SSAXB/dfAXB，A、B互作的方；MSe=SSe/dfe，誤差方差。

通過(guò)上述表達(dá)式計(jì)算得到方差分析表，見(jiàn)表4。當(dāng)P值小于0.05時(shí)，接受原假設(shè)，反之，拒絕原假設(shè)。

根據(jù)SPSS的數(shù)據(jù)分析可知：①施肥量對(duì)小麥含糖量影響顯著；②施肥比例對(duì)小麥含糖量有一定影響，但影響不顯著；③施肥量和施肥比例的相互作用對(duì)小麥含糖量無(wú)顯著影響。

3 模型檢驗(yàn)

畫(huà)出估算邊際均值圖見(jiàn)圖2。從圖2含糖量的估算邊際均值可以看出低氮情況下含糖量最大，影響最為顯著，施肥比例雖有影響，但沒(méi)有那么明顯，與所得到的結(jié)果一致，要想得到更多的含糖量，應(yīng)選用低氮0∶4的施肥方式。

圖2 含糖量的估算邊際均值

但對(duì)于各種不同的糖分來(lái)說(shuō)，由于淀粉是負(fù)相關(guān)的，低氮情況下，淀粉含量反而越低。這與淀粉自身聚合物屬性也保持一致，淀粉是植物體內(nèi)的儲(chǔ)能物質(zhì)，淀粉水解會(huì)產(chǎn)生還原性二糖麥芽糖、單糖葡萄糖，進(jìn)而增加植物的糖含量。