回歸教材的新視角

福建 宋建輝

高考命題高度關注教材在命題中的作用，充分發揮教材作為試題根本來源的功能，而在高考考場上，我們的考生到底靠的是什么？靠的是對教材的熟悉，對教材中知識的理解，對教材中數學思想的領會，對教材中數學方法的掌握，因此高考復習應該，也必須回歸教材.以下從4個視角談談如何回歸教材，共同探討回歸教材的做法.

視角1：源于教材的定理公式

源于教材的定理或公式證明曾在高考中多次出現，如2010年四川卷第19題證明兩角和的余弦公式與正弦公式；2011年陜西卷第18題敘述并證明余弦定理；2012年陜西卷理科第18題三垂線定理及逆定理的證明與表達；2013年陜西卷理科第17題推導等比數列的前n項和公式；2013年陜西卷文科第17題推導等差數列的前n項和公式等.

源于教材的定理或公式證明是數學知識最重要的內容，其中證明的方法所蘊含的數學思想方法是學生解決眾多數學問題可以借鑒的，這應引起教師的重視.

案例1：已知點P(x0,y0)，直線l：Ax+By+C=0，且點P不在直線l上.

簡解：(1)略.

點評：點到直線的距離公式是解析幾何中最重要的公式之一，它的推導證明蘊含了豐富的數學思想和方法.通過對公式推導證明的復習，不僅讓學生“知其然”，還能“知其所以然”，更重要的是能進一步強化解析法對處理解析幾何問題的重要性，培養學生運用等價轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力.而問題2，問題3的提出，對公式的理解、應用是一種提升，能充分激活學生的思維，提升數學核心素養，從而達到復習效果.

視角2：基于教材的整合改造

通過對歷年高考試題的研究發現，高考試題的命制素材或直接源于教材，或間接源于教材，或由教材中的一道題微調而來，或由教材幾道題串并組合而成，或由教材一道題引申拓展而得.因此我們在復習中要最大限度利用教材，發揮教材無法替代的優勢，以教材中的例、習題為藍本，進行類比加工，改編成思維含量較高又符合學生當前認知規律的題目，這樣才能有效避免“題海戰術”，減輕學生的復習負擔，從而達到有效復習.

案例2：(人教A版必修2第144頁復習參考題B組第2題阿波羅尼斯圓)

題組1.與面積有關的問題

簡解：由阿氏圓定義知M的軌跡是一個圓，求出圓的軌跡方程，進而求得圓的半徑，于是就會得到函數S=f(λ)，可判斷其在(0,1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增.

題組2.與軌跡有關的問題

1.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )

A.π B.4π C.8π D.9π

簡解：易求得點P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4,故選B.

簡解：以O1O2所在直線為x軸，以O1O2的中垂線為y軸，易求得點P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.

4.已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C∶x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數λ(λ>0).求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.

題組3.與阿氏圓有關的探索性問題

1.如圖，圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標準方程為________；

(2)過點A任作一條直線與圓O∶x2+y2=1相交于M,N兩點，下列三個結論：

其中正確結論的序號是________.(寫出所有正確結論的序號)

2.已知圓O∶x2+y2=1和點M(4,2).

(1)過點M向圓O引切線l，求直線l的方程；

(2)求以點M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的圓M的方程；

(2)圓M的方程為(x-4)2+(y-2)2=9.

又點P在圓(x-4)2+(y-2)2=9上，所以x2+y2=8x+4y-11，

3.如圖，圓C與y軸相切于點T(0,2)，與x軸正半軸交于兩點M,N(點M在點N的左側)，且|MN|=3.

(1)求圓C的方程；

(2)過點M任作一條直線與圓O：x2+y2=4相交于點A,B，連接AN,BN.求證：∠ANM=∠BNM.

又點A在圓O：x2+y2=4上，

點評：以上題組均以阿氏圓為載體，題組涉及了解三角形、軌跡問題以及探究性問題，多角度、全方位復習了基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，學生完全可以利用自己在平時學習中所掌握的方法來完成對試題的解讀.整合策略的運用，避免了教材的局限，熟悉的文本又有利于喚醒學生對課堂教學過程的記憶，進而達成“得法于課內，得益于課外”的目的.

視角3：基于教材的延伸拓展

近年的高考試題，十分重視數學思想方法的考查，而教材中的例、習題一般都具有典型性、示范性和遷移性，它們或是滲透了某些數學方法，或體現了某些數學思想，或提供了某些重要結論，因此應充分認識例、習題本身所蘊含的價值，掌握其中的通性通法以及(二級)結論的應用.

案例3：圓錐曲線相關知識的專題復習方案

問題1：已知平面內動點與兩定點A1(-a,0)，A2(a,0)(a>0)連線的斜率之積等于非零常數m的軌跡，加上A1,A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.請根據上述結論，探求曲線C的方程，并討論曲線C的形狀與m值的關系.

問題2：已知平面內動點與兩定點A1(-a,0)，A2(a,0)(a>0)連線的斜率之和、差、商等于非零常數m的軌跡，探求動點的軌跡方程，并討論動點的軌跡的形狀與m值的關系.

題組訓練：

解法一：利用橢圓的幾何性質(二級結論)“橢圓短軸頂點對橢圓長軸的兩個頂點的張角最大”，從這個角度出發，會得到優美簡捷的解法.

A.sinαcosβ

C.sinα=cosβD.sinα與cosβ的大小不能確定

4.已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( )

點評：該案例取材于人教A版教材，通過問題1及問題2，構建了一個圓錐曲線相關知識的微專題復習方案，而題組訓練則強化了對知識的應用及理解，特別是“結論”的應用，對問題的解決起到了重要的作用.

因此在高考復習中，我們要注重對一些經典的、具有代表性知識的拓展延伸，尤其是教材中出現的，在弄清這些知識的發生、發展后，要及時加以整理歸納，形成結論，并通過一定的訓練達到理解掌握，從而在具體問題的情景中靈活應用，助推問題的解決.

視角4：基于教材的數學文化

近幾年高考加強了數學文化的考查要求，而教材中涉及數學文化的內容無疑是高考命題的最佳素材，這些試題的共同特點是：均取材于數學名著，都符合數學文化的要求，讓考生直接感受到了數學文化的沖擊，且這些試題難度不大.那么教師在復習中應對教材中出現的數學文化，特別是全國卷高考中未考查的內容予以關注并創造性地“教學”.

背景分析：該案例是基于人教A版必修2“探究與發現—祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積”的內容而設計的，當然橢圓的面積公式是不要求掌握的，它的推導還可以有其他方法，例如利用定積分或隨機模擬實驗方法等，但這樣的設計無疑是對數學文化的深層次的理解與應用.

引理：若夾在兩條平行直線間的兩個平面圖形，被平行于兩條平行直線的任一直線所截，如果截得的兩條線段長的比例總相等，那么這兩個平面圖形的面積比等于截得線段長的比.(注：此定理相當于祖暅原理的推論，證明從略)

點評：此法適用于類似夾在兩條平行直線間的平面圖形，若被平行于兩平行直線的任一條直線所截得的線段長成相等比例，當已知線段長的比值時，則可利用引理由一已知平面圖形面積求另一平面圖形面積，還可以提供以下解法，達到融會貫通，提升學生的核心素養的效果.

點評：將古代數學名著中的幾道數學試題簡單地拿來考學生，顯然不代表數學文化.一道好的數學文化試題，一道有價值的數學文化試題，一定是將數學知識、思想、方法、文化融為一體，一定是蘊含了數學文化的“過程性”.數學文化為數學命題提供了更廣闊的空間和載體，因此對數學文化的復習，應關注提煉數學文化中所蘊含的數學思想方法.