尋源巧變式 下筆如有神
——多角度欣賞2018年全國卷Ⅰ第23題

福建 湯小梅 鄭金木

近年高考對《選修4-5不等式選講》的考查多集中在絕對值不等式的求解、含參的絕對值不等式恒成立、含參的絕對值不等式解集非空、基本不等式的應用，而這些高考題都能在教材或往年高考真題中找到其“原形”，通過背景包裝、更換數(shù)字、變條件、變結(jié)論等多種方式對教材的例題、習題、往年高考真題進行重新加工，看似平常，實則有很多值得品味的東西．現(xiàn)以2018年全國卷Ⅰ第23題為例，從考題點評、解法探究與點評、尋根探源、同源變式等角度來欣賞它，讓學生輕松突破絕對值不等式恒成立與有解問題的思維瓶頸．

【題目】(2018·全國卷Ⅰ理·23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|．

(Ⅰ)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(Ⅱ)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

角度一、考題點評

這道高考題的題干簡明，表述嚴謹，設問精巧，清新自然，主要考查解絕對值不等式、含參的絕對值不等式恒成立等基礎知識、在近三年的全國卷中，含參的絕對值不等式恒成立問題在2018年全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的第23題，2017年全國卷Ⅰ的第23題，2016年全國卷Ⅲ的第23題都出現(xiàn)過；含參的絕對值不等式有解問題在2017年全國卷Ⅲ的第23題考查過，這些試題注重通性通法，淡化特殊技巧，形成入口寬、方法多的設問特點，重視問題解決的自然生成，平穩(wěn)大器，達到了“不給考生出偏題，不給教師誤導向，不給選拔設障礙”的考查目標， 這樣設置高考題規(guī)避特殊技巧，凸現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，能有效地考查考生的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)．

角度二、解法探究

(Ⅱ)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立，等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立.

若a≤0，則當x∈(0,1)時|ax-1|≥1；

綜上，a的取值范圍為(0,2].

【點評】求解此類題需過“三招”：第一招，轉(zhuǎn)化招，即遇到函數(shù)的解析式中含有兩個絕對值，常先考慮去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)；根據(jù)x的取值范圍，把含有兩個絕對值的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為只含有一個絕對值的不等式恒成立問題；第二招，分類討論招，即對參數(shù)進行分類討論；第三招，反客為主招，把參數(shù)當成已知量，求不等式的解，把求出的解與已知的不等式恒成立的范圍對照，即可得到參數(shù)滿足的不等式，解不等式，求出參數(shù)的取值范圍．

【解法二】(Ⅰ)略(同解法一).

(Ⅱ)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立，等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立，

【點評】本解法與解法一不同之處是：利用“分離參數(shù)法”解決含參的絕對值不等式的恒成立問題．此時易混淆含參的絕對值不等式恒成立問題與含參的絕對值不等式有解問題，應當認真梳理，明晰不等式恒成立與不等式有解問題的本質(zhì)區(qū)別，重視不等式轉(zhuǎn)化的等價性，轉(zhuǎn)化前后的不等式的邏輯關系要嚴密，表達要明確規(guī)范．

【解法三】(Ⅰ)當a=1時，f(x)=|x+1|-|x-1|，

因為f(x)>1，所以|x+1|-|x-1|>1，

(Ⅱ)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立，等價于當x∈(0,1)時，|ax-1|<1成立，

等價于當x∈(0,1)時，(ax-1)2<1成立，

等價于當x∈(0,1)時，a2x2-2ax<0成立.

設g(x)=a2x2-2ax，則當x∈(0,1)時，g(x)<0成立，

當a=0時，g(x)=0，不合題意，所以a≠0；

當a≠0時，a2>0，即函數(shù)g(x)的圖象開口向上，且g(0)=0，

綜上，a的取值范圍為(0,2].

【點評】本解法與前兩種解法不同之處是：一是用零點分區(qū)間法解不等式，此時，若不注意各類的端點值，則會導致求解的結(jié)果出錯；二是利用平方法去掉絕對值不等式的絕對值符號，通過構(gòu)造函數(shù)，并對參數(shù)分類討論，以及借用二次函數(shù)的圖象，即可輕松破解含參不等式恒成立問題.

角度三、尋根探源

本題來源于人教A版選修4-5課本第20頁習題1.2中的第8(3)題和第9題：

第9題：如果關于x的不等式|x-3|+|x-4|

只需把教材習題中的“|x-1|+|x-2|<2”變?yōu)椤皘x+1|-|x-1|>1”，再把“含參不等式有解問題”變?yōu)椤昂瑓⒉坏仁胶愠闪栴}”，即為高考題．高考題在外觀上更和諧，但高考題的難度比教材習題難度明顯提高．

角度四、同源變式

變式與思考1：若把高考題的第(Ⅱ)小題條件中的“若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立”變?yōu)椤叭魓∈[1,3]時不等式f(x)>2x-3成立”，其他都不變， 即可得到如下難度略有提升的試題：

【同源變式1】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|．

(Ⅰ)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(Ⅱ)若x∈[1,3]時不等式f(x)>2x-3成立，求a的取值范圍.

【解法一】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)當x∈[1,3]時不等式|x+1|-|ax-1|>2x-3成立，等價于當x∈[1,3]時|ax-1|<4-x成立，

【解法二】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)當x∈[1,3]時不等式|x+1|-|ax-1|>2x-3成立，等價于當x∈[1,3]時|ax-1|<4-x成立，

等價于當x∈[1,3]時(ax-1)2<(4-x)2成立，

等價于當x∈[1,3]時(a2-1)x2+2(4-a)x-15<0成立.

設g(x)=(a2-1)x2+2(4-a)x-15，則當x∈[1,3]時g(x)<0成立，

因為g(1)=a2-1+2(4-a)-15=a2-2a-8，g(3)=9(a2-1)+6(4-a)-15=9a2-6a，

①當a2-1=0，即a=±1時，

當a=1時，g(3)=3>0，不符合題意，所以a≠1,

當a=-1時，g(3)=15>0，不符合題意，所以a≠-1；

②當a2-1>0，即a>1或a<-1時，

又因為a>1或a<-1，所以a無解；

【點評】本變式題的實質(zhì)是把“當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立”變?yōu)椤爱攛∈[1,3]時|ax-1|<4-x成立”，把不等式右邊的常數(shù)變?yōu)楹瑇的代數(shù)式，則提升了此題的難度，思維的能力自然提升．以上兩種解法各有千秋，【解法一】利用分離參數(shù)法，解題過程比較簡捷、流暢，是破解此類含參的絕對值不等式恒成立問題的首選方法；【解法二】相對比較繁瑣，通過構(gòu)造二次函數(shù)，對參數(shù)a分三類進行討論，是一種通法，但在解題過程中易因分類不全而失分，因此，對參數(shù)的分類應當做到不重、不漏，才能避開此類陷阱．

變式與思考2：若把高考題的函數(shù)“f(x)=|x+1|-|ax-1|”變?yōu)椤癴(x)=|x+1|-|a-3x|”，并把第(Ⅱ)小題條件中的“若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立”變?yōu)椤叭魓∈[1,5]時不等式f(x)<2x-3成立”，其他都不變， 即可得到如下思維能力提升的好題：

【同源變式2】已知f(x)=|x+1|-|a-3x|．

(Ⅰ)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(Ⅱ)若x∈[1,5]時不等式f(x)<2x-3成立，求a的取值范圍.

【錯解】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)當x∈[1,5]時不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等價于當x∈[1,5]時|a-3x|>4-x成立，

等價于a-3x>4-x或a-3x4+2x或a<4x-4在x∈[1,5]時恒成立，等價于a>(4+2x)max或a<(4x-4)min，所以a>14或a<0，所以a的取值范圍為(-∞,0)∪(14,+∞).

【糾錯】當x∈[1,5]時，4-x可能小于零，可能等于零，可能大于零，所以當x∈[1,5]時|a-3x|>4-x成立，不能理解為“a>4+2x或a<4x-4在x∈[1,5]時恒成立”，正確理解有如下兩種方法：方法一，理解為“a>4+2x或a<4x-4對x∈[1,5]至少有一個成立”(見【正解一】)；方法二，理解為“當x∈(4,5]時|a-3x|>4-x恒成立，并且當x∈[1,4]時a>4+2x或a<4x-4恒成立”(見【正解二】或【正解三】)．

【正解一】(Ⅰ)略.

【正解二】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)當x∈[1,5]時不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等價于當x∈[1,5]時|a-3x|>4-x成立．

①當x∈(4,5]時，4-x<0，所以|a-3x|>4-x恒成立，所以a∈R；

②當x∈[1,4]時，4-x≥0，若|a-3x|>4-x恒成立，

則當a≥3x時，即a≥3時，a>4+2x在x∈[1,4]恒成立，等價于a>(4+2x)max，所以a>12；

當a<3x時，即a<12時，a<4x-4在x∈[1,4]恒成立，等價于a<(4x-4)min，所以a<0.

所以a>12或a<0．

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,0)∪(12,+∞).

【正解三】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)當x∈[1,5]時不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等價于當x∈[1,5]時|a-3x|>4-x成立．

①當x∈(4,5]時，4-x<0，所以|a-3x|>4-x恒成立，所以a∈R；

②當x∈[1,4]時，4-x≥0，|a-3x|>4-x恒成立，等價于a-3x>4-x或a-3x(4+2x)max或a<(4x-4)min，所以a>12或a<0.

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,0)∪(12,+∞).

【正解四】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)當x∈[1,5]時不等式|x+1|-|a-3x|<2x-3成立，等價于當x∈[1,5]時|a-3x|>4-x成立.

①當x∈(4,5]時，4-x<0，所以|a-3x|>4-x恒成立，所以a∈R；

②當x∈[1,4]時，4-x≥0，|a-3x|>4-x恒成立，

等價于當x∈[1,4]時(a-3x)2>(4-x)2恒成立，

等價于當x∈[1,4]時8x2-2(3a-4)x+a2-16>0恒成立.

設g(x)=8x2-2(3a-4)x+a2-16，則當x∈[1,4]時g(x)>0恒成立，

因為g(1)=a2-6a，g(4)=a2-24a+144，

解得a<0或a>12，

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,0)∪(12,+∞).

【點評】由以上四種解法可窺，破解|a-f(x)|>g(x)在給定的閉區(qū)間[a,b]上恒成立問題，首選“零點分段法”，常需優(yōu)先判斷g(x)的符號，若在給定的閉區(qū)間[a,b]上，g(x)≥0恒成立，則直接利用a>(f(x)+g(x))max或a<(f(x)-g(x))min，求出參數(shù)a的取值范圍；若在給定的閉區(qū)間[a,b]上，g(x)有可能為負值，則此時需對g(x)為負值與非負值進行分類討論，否則，易邁入命題者所設置的陷阱，導致所求的結(jié)果出錯，如本變式題中的【錯解】．

變式與思考3：若把高考題的第(Ⅱ)小題的“不等式恒成立問題”變?yōu)椤安坏仁降拇嬖谛詥栴}”，再變更函數(shù)的解析式，其他都不變，便可得到如下立意新穎、構(gòu)思獨特、考查真功的好題：

【同源變式3】已知函數(shù)f(x)=|x-2|+2|x+3|，

(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集；

(Ⅱ)若存在x0∈[-4,2]，使f(x0)≤2m2-3m成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)因為f(x)=|x-2|+2|x+3|，且f(x)≤6，所以|x-2|+2|x+3|≤6，

(Ⅱ)存在x0∈[-4,2]，使f(x0)≤2m2-3m成立，等價于2m2-3m≥f(x)min(-4≤x≤2)．

【一通百通】求解含參不等式存在性問題的關鍵是過好雙關：第一關是轉(zhuǎn)化關，即通過分離參數(shù)法，先轉(zhuǎn)化為?x∈D，f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))成立，再轉(zhuǎn)化為f(a)≥g(x)min(或f(a)≤g(x)max)；第二關是求最值關，即求函數(shù)g(x)在閉區(qū)間D上的最小值(或最大值)．