2018年高考數學數列試題分析與改編
——以全國卷Ⅰ文科為例

廣東 潘敬貞

高考試題是命題專家的智慧結晶，除了具有測試功能外還具有良好的教學功能，研究高考試題對把握高考考向，提高備考效率有積極意義.改編高考試題可以促進全方位剖析考題，全面理解、把握高考脈搏，促進教師專業發展，也是高三備考的重要素材，對提高高三備考的針對性和有效性具有重要意義.本文對2018年高考全國卷Ⅰ文科第一道解答題——數列題進行分析研究，本題是以特殊數列(等比數列)為基礎，通過運算推理、代數變形得到，并對高中數列的基本問題進行提問.筆者對該題研究分析后深受啟發，欲根據本道試題的命題思路與過程嘗試對其進行改編得到改編題1～10，可做備考教學例題或學生訓練使用，筆者說明改編過程與同行分享交流，旨在提高備考的針對性與有效性.

一、試題與解答

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式.

將n=1代入得a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

將n=2代入得a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4.

(Ⅱ){bn}為等比數列.證明如下：

(Ⅲ)由(Ⅱ)知{bn}為等比數列，所以bn=1×2n-1=2n-1，所以an=nbn=n·2n-1.

二、試題分析

本道試題在特殊數列(等比數列)的基礎上進行代數變形，以遞推的形式呈現，在設問方面，首先求新數列{bn}的某幾項再判斷數列{bn}是否為等比數列，最后回到原數列{an}的通項公式這一數列的本質問題.設問由淺入深，層層遞進，問題間的關系緊密，使解答問題的過程可以展現思維過程，加入了討論判斷問題，使問題具有一定的開放性與探究味道，更好地考查學生數學閱讀能力和數學轉化能力，體現了新課程標準研究型學習的理念.

這道試題具有一定的典型性，其內在的價值豐富，為知識方法的遷移與試題變形的遷移提供了強大的背景.欲考查特殊數列(等比數列)，但不直接提問，有一定的隱蔽性，欲求數列的本質問題(數列的通項公式)，但在中間鋪設了橋梁，加入了求數列的某幾項和討論判斷數列是否為特殊數列(等比數列)，使得問題內容豐富，有利于學生對問題的解答.

三、試題改編

選取一個特殊數列，將其轉化為遞推關系式，通過對其進行運算推理、變形，圍繞數列通項公式，研究高中數列的基本問題是編制高中數列簡答題的常用方法.2018年高考全國卷Ⅰ文科的第一道簡答題為數列題，可將其大致命題思路與過程分解為如下：

第一步：選取一個首項為1、公比為2的等比數列；

第二步：將選取的數列轉化為遞推關系式，得{an}滿足a1=1，an+1=2an；

第五步：設問.

根據以上的大致命題過程與思路，將其改編得以下試題：

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式；

(Ⅳ)求{an}的前n項和；

【最終答案】(Ⅰ)b1=1，b2=2，b3=4；(Ⅱ)數列{bn}是等比數列，理由略；(Ⅲ)an=n·2n-1；(Ⅳ)(n-1)·2n+1；(Ⅴ)略.

改編題1保持原題不變，提出新問題，增加裂項求和與錯位求和(差分思想).

改編題2.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，設bn=an+1.

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式；

(Ⅳ)求{an}的前n項和.

【最終答案】(Ⅰ)b1=2，b2=4，b3=8；(Ⅱ)數列{bn}是等比數列，理由略；(Ⅲ)an=2n-1；(Ⅳ)2n+1-n-2.

改編題2的過程如下：第一步與第二步不變；第三步在遞推關系式an+1=2an等號左邊加1，等號右邊加2得{an}滿足a1=1，an+1+1=2an+2，整理得{an}滿足a1=1，an+1=2an+1；第四步設bn=an+1；第五步設問與改編題1基本一致.

改編題3.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n．

(Ⅰ)求證{an+1}為等比數列；

(Ⅱ)求{Sn}的前n項和Tn．

改編題3的過程如下：本題是在改編題2的基礎上進行重構，第一步與第二步不變；第三步是結合an與Sn的基本關系進行推理變形得{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n，若利用an與Sn的基本關系去掉Sn即可得到與改編題2不同的問題；第四步設問如題所示.

改編題4.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1，設bn=an+n.

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式；

(Ⅳ)求{an}的前n項和.

改編題4的過程如下：第一步與第二步不變；第三步在遞推關系式an+1=2an等號左邊加n+1，等號右邊加2n得{an}滿足a1=1，an+1+(n+1)=2an+2n，整理得{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1；第四步設bn=an+n；第五步設問與改編題2相同.

改編題5.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=1，Sn+1=4an，設bn=an+1-2an．

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式．

【最終答案】(Ⅰ)b1=1，b2=2，b3=4；(Ⅱ)數列{bn}是等比數列，理由略；(Ⅲ)an=(n+1)2n-2.

改編題5的過程如下：第一步與第二步不變；第三步在遞推關系式an+1=2an的右邊加2n-1得an+1=2an+2n-1，結合an與Sn的基本關系再對an+1=2an+2n-1進行運算推理和變形得Sn+1=4an；第四步設bn=an+1-2an；第五步設問與高考原題相似.

(Ⅰ)求{cn}的通項公式；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式；

(Ⅳ)求{an}的前n項和.

【最終答案】(Ⅰ)cn=n；(Ⅱ)數列{bn}是等比數列；(Ⅲ)an=n·2n；(Ⅳ)(n-1)·2n+1+2.

(Ⅰ)求a2,a3；

(Ⅱ)求{an}的前n項和Sn.

【最終答案】(Ⅰ)a2=2，a3=4；(Ⅱ)Sn=2n-1.

改編題8.已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=Sn+1.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

改編題8的過程如下：第一步與第二步不變；第三步結合an與Sn的基本關系對遞推關系式an+1=2an進行推理變形得an+1=Sn+1；第四步設問如題所示.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)求a2+a5+a8+…+a89的值.

【最終答案】(Ⅰ)an=2n；(Ⅱ)2 730.

改編題10.已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且滿足(an+1)2=4Sn.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；