重拾經典 領悟內涵 提升效能
——一道數列題的解法規律及其應用

陜西 李 歆

一、從一道經典的高考題談起

1.考題再現

【題目】 各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S4n等于

( )

A.16 B.26

C.30 D.80

這是2007年高考數學陜西卷理科第5題，是一道等比數列的選擇題，該題看似簡單，但得出結果卻不易，通過該題的考查，能有效地檢測考生對等比數列知識中所蘊涵的數學思想和方法的掌握程度.

2.遇到的困惑

看到這道題，由已知條件和待求問題，考生一般都會想到下列三個式子：

但對這三個式子的處理，一部分考生思路比較狹隘，容易把目光定位在③式中的a1，q和n的求解上，但是由①和②兩個式子求不出這三個待求的量，感到條件不足，思維受阻.

3.“秒殺”解法

如果將目標聚焦到題目的四個選項上，那么就會發現問題的答案與n無關，由此“靈機一動”，可以取n=1試一試.

【點評】2005年江蘇高考數學第3題：

在各項都為正數的等比數列{an}中，首項a1=3，前三項和為21，則a3+a4+a5=

( )

A.33 B.72

C.84 D.189

與上文中高考題取n=1的情況是同一類型題，因此，上文中的陜西高考題可以看成是江蘇高考題的“改編”.

4.困惑的處置

5.探尋規律

困惑解除后，學生往往會松一口氣，進行別的問題.如果這樣，就失去了經典考題的存在價值.事實上，在經典考題的“背后”，還隱藏著重要的智力資源，能給解題帶來新的生機，教師要善于引導學生.

5.1尋找不同因式之間的關系

由④式易知，已知Sn和S3n的值，就可以求出qn的值，從而由⑤式就可以求出S4n的值.或者由⑤式易知，已知Sn和S4n的值，就可以求出qn的值，從而由④式就可以求出S3n的值.

5.2揭示未知與已知之間的通道

由于1-q4n=1-qn·q3n=(1-qn)+qn(1-q3n)，

1-q4n=1-q3n·qn=(1-q3n)+q3n(1-qn)，

因此，可得

由⑥式和⑦式，易得Sn+S3nqn=S3n+Snq3n，由此，已知Sn和S3n的值，就可以求出qn的值，從而由⑥式或者⑦式就可以求出S4n的值.

【點評】有了④式和⑤式或者⑥式和⑦式，前面的困惑便煙消云散，考題也由難變易，這說明解題僅僅停留在解法1和解法2的層面是不夠的，必須進一步探尋規律，抓住本質，這樣才能把題解“熟練”、解“透徹”，由此解題能力方可得到歷練與提升.

二、激活思想，領悟內涵，提升解題效能

通過對前面一道經典考題的求解以及內在規律的探究，我們隱約地預感到，在等比數列前n項和的公式中，存在著對解題具有一定價值作用的知識，需要我們再認識、再思考、再發現，從而在教學中傳授學生.

1.改變等比數列的前n項和Sn的下標，探一探有什么發現？

在⑥式和⑦式中，不難看到Sn，S3n，S4n的下標之間存在著等量關系：n+3n=4n，由此可聯想到一般情況下，是否也有這樣的公式呢？經過探究，得到下面結果.

1.1性質

已知{an}為等比數列,Sn，Sm分別為前n項、前m項的和，若m>n，則有

Sm=Sn+Sm-nqn.⑧

【證明】(1)當q=1時，易知⑧式成立；

(2)當q≠1時，由等比數列前n項和公式，得

整理得⑧式成立，

綜合(1)(2)可知，⑧式成立.

1.2一個推論

已知{an}為等比數列,Sn,Sm,Sk,St分別為前n項、前m項、前k項和前t項的和,若n-k=m-t>0,則有Sn-Sk=(Sm-St)qk-t.⑨

【點評】可以看到，公式⑧和公式⑨分別反映了等比數列前n項和Sn的下標在變化過程中，滿足“和相等”與“差相等”關系時，所具有的等量關系式.這兩個公式，在常規教學中是見不到的，它們是等比數列前n項和公式的深化，對解決等比數列前n項和的有關問題具有重要的指導作用.

2.應用舉例，優化解題

在等比數列前n項和公式的應用教學中，教師如果只滿足于讓學生記住基本公式的結構特征，那么一般學生就會拘泥于按部就班的羅列求和公式解題，思維容易形成定式，但是，有了上面的性質與推論以及產生的過程與背景，那么學生的解題思路就能完全放開，從而既縮短了運算過程，又提高了解題效率.

2.1公式⑧的應用

2.1.1已知Sn，Sm，Sk中某兩項的值，求另一項值的問題.

【例1】設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3=3,S6=9,則S9=________.

【變式1】各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3=2,S9=14，則S12等于

( )

A.16 B.26

C.30 D.80

【提示】由公式⑧可得S12=S3+S9q3=S9+S3q9，則得2+14q3=14+2q9，整理得q9-7q3+6=0，解得q3=2(q3=1即q=1不符，舍去)，所以S12=2+14×2=30.

【變式2】 設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2=2,S4=10,則S10=________.

【點評】此類題型，在求等比數列前n項和的問題中比較常見，如果k=n+m，那么就可以直接由公式⑧求解；如果k>n+m，那么可以先利用公式⑧求出Sn+m，然后看2n+m或者n+2m是否與k相等，如果相等，即可再一次利用公式⑧求解，直到得到結果.

2.1.2Sn和Sm的倍數或者商的關系與公比q的求值問題

【變式1】一個各項均為正數的等比數列，它的前4項之和為前2項之和的5倍，則此數列的公比為________.

【提示】由已知條件可知S4=5S2，則由公式⑧可得S4=S2+S2q2=5S2,解得q=2.

( )

A.2 B.4

2.2公式⑨的應用

( )

A.2 B.3

C.4 D.5

2.2.2分子與分母都是若干項的和的分式的求值問題

( )

________.

【點評】此類題型，用一般方法去解，思路比較僵化，過程也很復雜，但用⑨式，卻思路清晰，過程簡捷，既能提高解題速度，又能避免復雜運算中可能出現的錯誤.

三、思考與感悟

常言道：刷百題不如解透一題.前者“刷百題”追求的是解題的“量”，后者“解透一題”講究的是解題的“質”，顯然，“質”比“量”更為重要.教學實踐證明，題不是刷得越多越好，如果缺乏解題反思，不但浪費時間，甚至會誤導學習.因為反思的過程是對基礎知識和解題方法理解與強化的過程，也是知識內化為能力的過程.所以，解題的本質，不在于運用了哪些知識，而在于是否觸發了思考，激活了思維拓展.