近世代數中群論教學的一點思考

潘紅飛

（淮陰師范學院 數學科學學院, 江蘇 淮安 223300）

1 引言

近世代數[1,2,3]是數學高年級本科生和研究生的基礎課,由于其課程的抽象性,學生剛接觸時很難有一個比較直觀的或生動的理解.在教學過程中,我們也很容易忽視相關理論的來源,而是從定義出發來推理相關的命題和定理,這就少了課程學習的趣味性,對學生的學習主動性的提高不利.本文我們圍繞群論這一教學內容中一些不太復雜的例子來加深同學們對群的理解.

2 群的定義

群的等價定義有很多,本文我們給出如下的定義.

定義1稱非空集合G為一個群,若在G中定義了一個二元代數運算（稱為乘法）：

且滿足如下三條

（1）結合律：

（2）單位元存在律：

（3）逆元存在律：

教材里可以找到一些簡單的例子用此定義來驗證一個集合是否是群.如整數關于加法成群,非零有理數關于乘法成群,同階可逆矩陣關于乘法成群.接下來我們再給出幾個例子來認識一下這個抽象群的內涵.

3 對稱與群

對稱在我們生活中普遍存在,如中國京劇凈角臉譜,陰陽太極圖,故宮俯視圖.下面用群來描述平面圖形中的對稱,先給出如下兩個定義.

定義2對稱變換：平面圖形經過平面剛體變換（保持平面任意兩點距離不變的變換）后與原來的圖形重合.

定義3反射變換：平面圖形圍繞對稱軸旋轉180度后與原來的圖形重合.

由上面兩個定義我們可以非常直觀的描述平面圖形的對稱變換只有如下四種：

（1）恒等變換.

（2）1個反射變換.

可以發現,用群來描述對稱變換,是簡潔明了的.

例1正四邊形的對稱變換描述.

解：正四邊形的四種對稱變換個數分別為：恒等變換1個,反射變換4個,旋轉變換3個.從而正四面體的對稱變換對應于8階二面體群這是4次對稱群的一個真子群.

4 整系數分式線性變換

復變函數[4]的第七章或復分析[5]的第14章中,分式線性變換（也稱Mobius變換）為：

在邊界為圓弧或直線的區域變換中很有作用.因為有

所以有理數域上的分式線性變換可以化為整系數分式線性變換.而整系數分式線性變換關于函數復合成群,其復合運算是繁瑣的,可用群PGL（2,Q）與其乘法來代替,這樣顯得簡潔明了.

例2考慮所有的整系數分式線性變換集合

其中，Z是整數集.

這里分式復合運算的計算比較繁瑣,考慮對應

注2、群PGL（2,Q）中的元素有無窮多個,但是PGL（2,Q）的有限階子群只有9個：

1，C1，C2，C3，C4，D4，D6，D8，D12.

5 有限域上的低維線性群PSL（2,3）

低維線性群之間有很多生動的群同構的例子,我們以PSL（2,3）為例來說明.

例3、考察PSL（2,3）.

其中

從而可以寫出群PSL（2,3）的12個元為

6 結語

由于抽象性,近世代數這門課程不像高等數學中用數形結合思想來幫助學生理解知識內容的特點,需要我們圍繞知識結構采取多形式的授課方式.針對課程特點,不同的知識結構需要不同的理解方式,鼓勵學生用自己的思維去接受知識,理解知識,改造知識,從而達到思維邏輯的訓練和適應更高的知識挑戰.