中學數學的反證法

施一諾

摘要：反證法是數學中間接論證的方法之一，從否定命題的結論出發，經過推理后產生矛盾，從而證明假設的不正確，以證明結論的正確性。正是因為解題思路的簡單和實用性，反證法在中學數學中占據著不可忽視的地位。本文在概述了反證法涵義、理論依據和解題步驟的基礎上，通過具體的例子分析了反證法在中學數學中的應用，以期加強高中生對反證法的認知，提升做題技巧。

關鍵詞：中學數學；反證法；應用

一、反證法

（一）反證法的涵義

反證法，也稱為逆證，屬于間接論證的一種方法。法國數學家阿達瑪對反證法的實質做了個概括：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾。具體來說，反證法就是從原命題的否定命題出發，通過邏輯推理和論證后，判斷出否定命題的虛假性。最后根據排中律，既然否定命題是假的，那么原命題便是真的。

（二）反證法的理論依據

反證法的理論依據主要是形式邏輯中的兩個基本規律，矛盾律和排中律。

矛盾律指的是在同一個論證中，兩個相互矛盾的判斷不能同時是真的，至少有一個是假的。排中律指的是兩個相互矛盾的判斷不能同時都是假的，其中的任意一個判斷必然是真的，也就是“A真”和“非A真”有且只有一個是正確的。

（三）反證法的解題步驟

反證法的解題步驟主要是否定結論-推出矛盾-結論成立。具體講就是：

第一步：反設。我們需要做的是找出原命題中的結論，做出與之相矛盾的假設。這是反證法的關鍵。如果與原命題相矛盾的假設很多，我們必須一一否定，不能遺漏。

第二步：歸謬。對假設進行邏輯推理，導致矛盾的出現。

第三步：結論。由于矛盾的出現，證明假設是錯誤的，那么原命題成立。

二、反證法在中學數學中的應用

牛頓曾經說過：反證法是數學家最精當的武器之一。足以看出，反證法在數學中的地位是不容置疑的。因為解題思路的明確性和簡潔性，反證法在中學數學中的應用也是非常廣泛的。

（一）反證法在代數中的應用

代數，是數學的一個分支。代數中有很多理論、定理等都可以用解析法、歸納法等來證明，但過程是復雜的。而利用反證法就可以直接否定以“至多”、“至少”、“不可能”、“唯一”等形式的問題，從反面來論證大大簡化了解題的過程。

例1：設0

證明：根據題意，設（1-a）b>，（1-b）c>，（1-c）a>，

那么三式相乘得到（1-a）b·（1-b）c·（1-c）a>。又∵0

（1-c）c≤，這三式相乘得到（1-a）a·（1-b）b·（1-c）c≤，與（1-a）b·（1-b）c·（1-c）a>是相矛盾的。所以（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不可能同時大于。

（二）反證法在數列中的應用

數列屬于函數的范疇，指的是以正整數集或它的有限子集為定義域的函數。數列問題在高考中經常出現，比如證明某數列是等差數列、等比數列等。利用反證法，有時讓我們的思維變得簡單直接，這樣更有利于解題。

例2：已知{an}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值是Pn，第n項之后各項an+1、an+2…的最小值是Qn，mn=Pn-Qn，求：

（1）若m是非負整數，證明：mn=-m（n=1、2、3…）的充分必要條件是{an}是公差為m的等差數列。

（2）證明：若a1=2，mn=1（n=1、2、3…），{an}的項只能是1或者2，且有無窮多項為1。

關于（1）的證明：首先，證明充分性。若{an}是公差為m的

等差數列，那么an=a1+（n-1）m，Pn=an=a1+（n-1）m，Qn=an+1 =a1+nm，

所以mn=Pn-Qn=-m（n=1、2、3…）。其次，證明必要性。∵mn =-m

≤ 0，Pn=Qn+mn ≤ Qn。又∵an ≤ Pn，an+1 ≥ Qn， ∴an≤an+1， 那么Pn=an， Qn=an+1， an+1-an=Qn-Pn=-mn=m，最后知道{an}是公差為m的等差數列。

關于（2）的證明：首先，{an}的項不可能是0，否則m1=a1-0=2，矛盾。其次，利用反證法證明{an}的項不能超過2。若{an}中有超過2的項，設ak是第一個大于2的項，{an}中一定存在項為1，否則與m1=1矛盾。當n≥k時，an≥2，否則與mk=1矛盾。因此存在最大的r在2和k-1之間，使得ar=1，那么mr=Pr-Qr=2-Qr≤2-2=0，矛盾。綜上{an}中沒有超過2的項，所以{an}的項只能是1或者2。∵對任意n≥1，an≤2=a，∴Pn=2，Qn=1，即{an}有無窮多項為1。

（三）反證法在幾何中的應用

反證法幾何中的應用也是極為廣泛的，不論是平面幾何、立體幾何還是解析幾何都有體現。接下來我們以平面幾何為例，分析下反證法的應用。

例3：過平面α上的點A的直線a⊥α，求證：a是唯一的。

證明：假設a不是唯一的，那么過A至少還有一條直線b，b⊥α。∵a和b是相交的直線，∴a、b可以確定一個平面β。設α和β相交過點A的直線c。又∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c。得出在平面β內，過點A就存在兩條直線垂直于c，這與定理是矛盾的。因此，a是唯一的。

例4：四邊形ABCD中，對角線AC=BD=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。

證明：假設四邊形的邊都小于。因為四邊形中至少有一個角不是鈍角，設∠A≤90°。根據余弦定理，得到BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA，所以BD2≤AD2+AB2，即BD≤<=1，這與已知的BD=1矛盾，所以四邊形中至少有一條邊不小于。

三、總結

反證法，是數學中一種非常重要的證明方法，在代數、數列、幾何等方面的應用都是極為廣泛的。因此，作為高中生的我們一定要認真學習反證法的理論，并將理論與實際解題相結合。只有這樣，我們的做題效率與質量才能得到提升。

參考文獻：

[1]張雙紅、李犀子.淺談反證法的原理及應用[J]，數學學習與研究2017 （21）.

[2]徐東良.反證法——解數學題的重要方法[J]，語數外學習（初中版）2018 （1）.