一種模擬豎直地埋管換熱器的熱響應因子

陳友明　潘冰冰　張訓水　杜次元

摘要：為了快速并準確地計算鉆孔群地下土壤和鉆孔內流體的溫度，在現有的模擬豎直埋管長期換熱的模型基礎上，提出了一種新的計算豎直地埋管鉆孔域溫度響應的響應因子——單位矩形脈沖熱負荷作用下熱響應函數（δ函數）.通過將δ函數與快速傅里葉變換相結合來提高δ函數的模擬速度，將該響應因子及算法與g函數進行了精度和計算速度的對比.結果表明：該響應因子及算法不僅與g函數有相同的計算精度，而且計算速度有顯著的提高，當模擬5×8的鉆孔群30 a的溫度響應時計算時間不到90 s.

關鍵詞：豎直埋管換熱器；單位矩形熱脈沖；δ函數；快速傅里葉變換；逐時模擬

中圖分類號：TK521.2文獻標志碼：A

A Thermal Response Factor Simulating

Vertical Ground Heat Exchanger of GCHP Systems

CHEN Youming， PAN Bingbing， ZHANG Xunshui， DU Ciyuan

（College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha410082， China ）

Abstract：To quickly and accurately compute the borehole fluid and ground temperature， a new thermal response factors （referred as δfunction） was proposed to calculate the ground temperature response of bore field to a unit rectangular heat pulse. The proposed model is based on the existing models for the long δterm simulation of vertical heat exchanger. In this paper， the δfunction was combined with the fast Fourier transform to improve the computation speed of the δfunction. Then， the response factor and algorithm were compared with the δ function in terms of accuracy and computation time. The results show that when combined with the fast Fourier transform， the gfunction not only has the same precision with that of the gfunction， but also has significantly faster computation speed than that of the gfunction. It only spends shorter than 90 seconds to complete the 30 year hourly simulation of a 5×8 bore field.

Key words：vertical ground heat exchanger； rectangular heat pulse； δfunction； fast Fourier transform； hourly simulation

土壤源熱泵系統作為一種高效、節能、清潔的空調系統，被廣泛應用在住宅和商業建筑中，地埋管換熱器與周圍土壤間傳熱研究是土壤源熱泵技術研究與應用的關鍵.豎直埋管換熱器傳熱性能研究也是土壤源熱泵系統研究與應用的基礎，地埋管土壤源熱泵設計的最主要任務是保證土壤源熱泵在整個生命周期內U型管內循環介質的溫度都在設計要求范圍內，這要求對地埋管長期換熱性能進行模擬分析.但是，現有的計算U型管內溫度響應的方法普遍存在計算速度過慢的問題，不適用于進行長達數十年的傳熱模擬分析.因此對于地埋管技術的應用和經濟優化而言，開發更加有效實用的地埋管傳熱分析工具顯得尤為重要.

對豎直埋管換熱性能的分析，通常以鉆孔壁為邊界將傳熱分為兩個計算區域：鉆孔內區域按照穩態傳熱過程計算，鉆孔外區域看作非穩態傳熱計算.兩個區域分別求得鉆孔內熱阻和鉆孔壁溫度響應，從而得到鉆孔內流體的溫度響應.

現有的模型主要以數值方法和解析方法為主，基于g函數法分析土壤源熱泵地埋管的換熱性能的算法是目前使用最多的方法.早期的豎直埋管換熱傳熱模型主要以“線熱源”[1-2]模型或者“柱熱源”[3-4]為主，這類模型基于無限長熱源的假定且忽略了軸向的熱流，因此不能分析長期傳熱的模擬.Eskilson[5]考慮軸向熱流和地面定溫條件的影響，提出有限長熱源模型，并得出了單鉆孔地埋管換熱器在階躍熱流作用下的溫度響應（即g函數）.由于模型中g函數是由數值方法得出，需先得出不同埋管形式的g函數，計算耗時且靈活性差.Zeng等[6]在Eskilson算法基礎上得到了g函數的解析表達式，然而此模型解析式是二重數值積分形式，計算速度慢.Lamarche和Beauchamp等[7]改進了g函數解析式得到了一維積分形式，同時改進了計算精度和速度.杜次元[8]提出了改進g函數的解析式，在滿足計算精度的同時進一步提高了計算效率，但是改進的g函數用于鉆孔群長期的傳熱模擬時耗時較多，仍舊不能滿足工程計算的要求.

本文在改進g函數[8]的基礎上提出了單位矩形脈沖熱流作用下無量綱溫度響應函數（即δ函數），引入了快速傅里葉變換算法（FFT算法）[9]來改造δ函數中的卷積.δ函數與快速傅里葉變換相結合的方法用于計算土壤和鉆孔壁溫度響應時，在滿足土壤源熱泵系統設計模擬精度的同時極大地提高了計算速度.

1基于矩形脈沖熱流的響應因子

1.1改進的g函數

為了導出單位矩形脈沖熱流作用下的熱響應因子，需要對豎直地埋管有限長線源g函數進行改造.在有限長線源模型的基礎上，通過對熱響應因子g函數采用調換積分次序的方法可導出積分范圍為[0，Fo]，任意位置（r，z）的土壤溫度g函數解析式[8]，其表達式如下：

g（β，η，Fo）=∫Fo0g′Fo（β，η，Fo）dFo=

∫Fo0exp （-β2/4Fo）4Fo[2-erfc（1-η2Fo）+

erfc（1+η2Fo）-2erfc（η2Fo）]dFo （1）

式中：Fo=ατ/H2表示τj時刻的傅里葉時間間隔；α為土壤熱擴散系數；τ為時間；β=r/H；η=z/H；r為距鉆孔中心的徑向距離；z為沿鉆孔的深度；H為鉆孔深度.當r=rb時，公式（1）表示鉆孔壁溫度響應的g函數解析式，且式中βb=rb/H.該調換積分次序的方法在文獻[11]中也得到應用.

單鉆孔壁中點（r=rb，η=0.5）溫度的g函數表達式為：

b=g（βb，0.5，Fo）=∫Fo0g′Fo（βb，0.5，Fo）dFo=

∫Fo0exp （-β2b/4Fo）4Fo[2-3erfc（0.52Fo）+

erfc（1.52Fo）]dFo （2）

單鉆孔壁（r=rb）平均溫度g函數表達式為：

b=（βb，Fo）=∫Fo0′Fo（βb，Fo）dFo=

∫Fo0exp （-β2/4Fo）4Fo[2-4erfc（12Fo）+

2erfc（1Fo）-A（Fo）]dFo （3）

式中：A（Fo）=2Fo[exp （-1Fo）-4exp （-14Fo）+3]/π.

1.2單位矩形脈沖熱流作用下熱響應因子——δ函數

土壤源熱泵系統負荷是隨時間變化的，對應的

地埋管換熱器熱流也是隨時間變化的.為了便于分析，用圖1所示的一系列矩形脈沖熱流來近似表示隨時間變化的熱負荷，矩形脈沖寬度為模擬的時間步長Δτ，通常選用一個小時作為時間步長，且τ<0時q=0.

利用g函數方法（即疊加原理[10，12]）得到單個鉆孔在任意變負荷作用下τj時刻的任意位置（r，z）土壤溫度響應為：

T（r，z，τj）-T0=12πk∑ji=1[q（τi）-

q（τi-1）]g（β，η，Foj-Foi-1） （4）

式中：Foi=ατi/H2；k為土壤導熱系數.

如圖2所示，應用矩形脈沖熱流的概念，任一作用時間[τi-1，τi]內的單個矩形脈沖熱流可以表示為兩個階躍熱流的疊加.由此可知，在任一作用時間[τi-1，τi]內的矩形脈沖熱流作用下的τj時刻，任意位置（r，z）土壤溫度響應表示式為：

T（r，z，τj）-T0=

12πkq（τi）[g（β，η，Foj-Foi-1）-

g（β，η，Foj-Foi）]（j≥i） （5）

定義時間間隔為Δτ（Δτ=τi-τi-1）的矩形脈沖熱流作用下無量綱溫度響應函數為響應因子δ函數，其表達式為：

δ（β，η，Fo）=g（β，η，Fo）-g（β，η，Fo-ΔFo）=

∫ΔFo0g′Fo（β，η，Fo-τ）dτ （6）

式中：ΔFo（ΔFo=Foi-Foi-1=Δτ·α/H2）為傅里葉時間間隔，表1中列出了兩種土壤種類對應的ΔFo取值.

3）當模擬鉆孔數目多和模擬時間跨度大時，無論g函數還是δ函數，采用CTD的計算速度都不夠理想.通過δ函數與FFT變換相結合，顯著提升了δ函數的模擬計算速度，完成40孔30 a的地埋管換熱模擬只需要不到90 s的時間.

4結論

1）本文提出了豎直地埋管在單位矩形脈沖熱負荷作用下的熱響應因子——δ函數.δ函數有2個顯著特點：①δ函數的積分區間遠遠小于g函數的積分區間；②用δ函數進行逐時模擬時，逐時熱負荷不分解為兩個階躍熱負荷的疊加，可以直接用于計算土壤、鉆孔壁和流體溫度.因此與g函數相比，δ函數的計算速度得到了很大提升.

2）在相同綜合負荷條件下，比較不同響應因子和算法模擬鉆孔內流體溫度時的計算誤差.結果表明， δ函數和g函數都是有限長線源模型的精確解，有很高計算精度.積分區間也影響著響應因子計算結果的精確性，積分區間越大時數值積分誤差越大.

3）本文將δ函數與快速傅里葉變換（FFT方法）相結合來代替溫度響應計算的卷積，顯著加快了模擬計算速度.在模擬多鉆孔長時間運行的溫度響應時，僅需要幾十秒～幾分鐘的時間，為土壤源熱泵鉆孔外溫度響應逐時模擬提供了快速、準確的計算方法，對于土壤源熱泵系統設計優化、能耗模擬等研究具有重要價值.

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