新建盾構隧道下穿既有隧道剪切錯臺變形計算

魏綱　俞國驊　楊波

摘要：采用剪切錯臺模型，研究新建盾構隧道正交下穿對上方既有地鐵盾構隧道的影響.考慮新建隧道下穿時刀盤附加推力、盾殼摩擦力以及注漿附加壓力在既有隧道軸線處產生的附加應力，將既有地鐵盾構隧道簡化為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，運用最小勢能原理并采用合理的位移試函數，建立計算方程來求解既有隧道的豎向位移值、盾構環之間的錯臺量、環間剪切力值以及這三者隨著新建隧道掘進的三維變化過程.研究結果表明：用剪切錯臺模型和最小勢能原理計算得到的既有盾構隧道豎向位移值與實測值較為吻合；既有盾構隧道豎向位移最大值處的隧道錯臺量接近0，在豎向位移曲線的反彎點處隧道錯臺量和環間剪切力值最大；隨著新建隧道的掘進，既有隧道的豎向位移、錯臺量和環間剪力值不斷增大，最后趨于穩定.

關鍵詞：新建盾構隧道；既有隧道；下穿；剪切錯臺；隧道縱向位移

中圖分類號：TU43 文獻標志碼：A

Calculation of Existing Shield Tunnel Shearing Dislocation Platform

Deformation Due to Undercrossing New Shield Tunnel Undercrossing

WEI Gang1， YU Guohua2， YANG Bo1

（1. Department of Civil Engineering，Zhejiang University City College，Hangzhou310015， China；

2. Department of Civil Engineering and Architecture， Anhui University of Science and Technology， Huainan232001， China）

Abstract：Model of shield tunnel considering the shearing dislocation was used to investigate the effect of the new shield tunnel undercrossing on existing tunnels. In light of the fact that the additional stress along the central axis of the existing tunnel was caused by the bulkhead additive thrust， the friction force between shield and soil， and grouting pressure in the process of undercrossing shield tunnel construction， the lining ring of shield tunnel was regarded as a series of short elastic foundation beams connected by shear spring. An equation was developed by the principle of minimum potential energy， and threedimensional change process of the vertical deformation， shear force and dislocation between rings with the excavation of the new tunnel were worked out. The research shows that the vertical displacement value calculated by the proposed method combined with the shearing dislocation model and the principle of the minimum potential energy agreed well with field test data. The dislocation of the segments where the vertical displacement is the maximum is close to 0. The maximum value of segment ring's dislocation and shearing force appears at the inflection point of vertical displacement curve. With the excavation of the new tunnel， the vertical deformation， shear force and dislocation between rings of existing tunnel increased and finally stabilized.

Key words：new shield tunnel； existing shield tunnel； undercrossing； shearing dislocation platform； longitudinal displacement

隨著城市軌道交通的發展，新建盾構隧道下穿既有盾構隧道的工程越來越多.盾構隧道穿越會不可避免地引起周圍土體的擾動[1-2]，導致周圍土體產生位移，對既有隧道造成危害.因此研究新建盾構隧道穿越對既有隧道的影響具有重要意義.

目前，國內外關于新建隧道下穿既有隧道的研究大致可分為：理論分析法[3-7]、現場實測法[8-9]、數值模擬法[10-12]和模型試驗法[13-14]等.其中在理論分析法中，文獻[3]考慮了新建盾構施工產生的刀盤附加推力q、盾殼摩擦力f、同步注漿附加壓力p及土體損失作用下所引起的既有隧道軸線處的附加應力，但其將既有隧道視為Winkler地基長梁，沒有考慮管片之間的“接頭效應”；文獻[4]基于雙面彈性地基梁理論與盾構隧道縱向等效連續化模型，計算了管片張開量，但沒有考慮q、f、p的影響；文獻[5]考慮了新建盾構施工產生的q、f和土體損失的作用，基于Pasternak地基模型得到既有隧道的位移計算公式，但沒有考慮p的影響，且將隧道視為連續化；文獻[6]基于Kerr地基模型，將已建隧道簡化為連續的歐拉伯努利梁和鐵木辛柯梁，將新建隧道對已建隧道的作用（即土體損失）簡化為二維高斯分布荷載來求解既有隧道的變形，但沒有考慮q、f、p的影響，無法計算既有隧道的三維變形；文獻[7]基于Pasternak地基模型，將已建隧道簡化為連續的歐拉伯努利梁，僅考慮土體損失來求解既有隧道的變形，沒有考慮q、f、p的影響，無法計算既有隧道的三維變形.綜上所述，現有方法均將盾構隧道視為連續體，沒有考慮管片的接頭效應，無法計算新建隧道下穿引起的既有隧道剪切錯臺變形.因此需研究能考慮管片接頭效應的新建隧道下穿引起的既有盾構隧道變形計算方法.

本文考慮盾構切口附加推力q、盾殼摩擦力f、注漿附加壓力p以及土體損失因素，計算新建隧道下穿時在既有隧道軸線處產生的附加應力；利用 “剪切錯臺模型” [15]，將隧道等效為一個一個由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，運用最小勢能原理計算新建隧道下穿施工引起既有盾構隧道的三維縱向變形、環間錯臺量以及環間剪切力.可評估新建隧道下穿時既有隧道的結構安全性和抗滲性.

1新建隧道下穿引起的既有盾構隧道附加

應力計算

1.1建立力學模型

盾構隧道下穿的力學計算模型如圖1所示.圖中既有隧道軸線埋深為z，新建盾構隧道軸線埋深為z0，隧道半徑為Rs，刀盤附加推力q作用于開挖面，盾殼摩擦力f沿盾殼分布，注漿附加壓力p在盾構尾部沿徑向分布，令作用寬度為m0，盾構切口在xoz平面上.

1.2各個分力產生的豎向附加應力

設既有盾構隧道軸線處一點坐標為（x，y，z），求該點處的附加應力.根據Mindlin公式進行積分求解，可推導得到荷載q、f、p在既有隧道軸線處引起的豎向附加應力，具體推導見文獻[16].

1.2.1刀盤附加推力q產生的豎向附加應力σz-q

在盾構刀盤處取任一微元體dA=rdrdθ，積分示意圖見圖2.運用Mindlin公式積分得到刀盤附加推力q在該點處產生的豎向附加應力σz-q為：

dσz-q=-qrdrdθy8π（1-v）{（1-2v）R31-（1-2v）R32-

3（z-z0+rsin θ）2R51-3（3-4v）（z+z0-rsin θ）2R52+

6（z0-rsin θ）R52[z0-rsin θ+（1-2v）×

（z+z0-rsin θ）+5z（z+z0-rsin θ）2R22]}（1）

R1=x-rcos θ2+y2+z-z0+rsin θ2R2=x-rcos θ2+y2+z+z0-rsin θ2

σz-q=∫Rs0∫2π0dσz-q（2）

式中：v為土的泊松比.

1.2.2盾殼摩擦力f產生的豎向附加應力σz-f

在盾殼壁上取任一微元體dA=Rsdsdθ，積分示意圖見圖3.運用Mindlin公式積分得到盾殼摩擦力f在該點處產生的豎向附加應力σz-f為：

dσz-f=-fRsdsdθy-s8π1-v{1-2vR33-

1-2vR34-3z-z0+Rssin θ2R53-

33-4vz+z0-Rssin θ2R54+

6z0-Rssin θR54[z0-Rssin θ+1-2v×

z+z0-Rssin θ+5zz+z0-Rssin θ2R24]}（3）

R3=x-Rscos θ2+y-s2+z-z0+Rssin θ2

R4=x-Rscos θ2+y-s2+z+z0-Rssin θ2

σz-f=∫L0∫2π0dσz-f （4）

式中：L為新建盾構機機長.

在盾尾注漿處取任一微元體dA=Rsdsdθ，積分示意圖見圖4.運用Mindlin公式積分得到注漿附加壓力豎向分力p1：

dσz-p1=

-pRssin θdsdθ8π1-v[-1-2vz-z0+Rssin θR35+

1-2vz-z0+Rssin θR36-3z-z0+Rssin θ3R55-

33-4vzz+z0-Rssin θ2R56+

3z0-Rssin θz+z0-Rssin θ5z-z0+Rssin θR56-

30z0-Rssin θzz+z0-Rssin θ3R76]（5）

R5=x-Rscos θ2+y-L-s2+z-z0+Rssin θ2

R6=x-Rscos θ2+y-L-s2+z+z0-Rssin θ2

σz-p1=∫m00∫2π0dσz-p1（6）

注漿附加壓力水平向分力p2：

dσz-p2=pRscos θdsdθ（x-Rscos θ）8π（1-v）×

{（1-2v）R35-（1-2v）R36-3（z-z0+Rssin θ）2R55-

3（3-4v）（z+z0-Rssin θ）2R56+

6（z0-Rssin θ）R56[z0-Rssin θ+（1-2v）×

（z+z0-Rssin θ）+5z（z+z0-Rssin θ）2R26]}

（7）

σz-p2=∫m00∫2π0dσz-p2（8）

1.2.4土體損失產生的豎向附加應力

采用魏綱[17]基于文獻[18]二維解建立的盾構法隧道統一土體移動模型三維解，得到單線盾構施工由于土體損失引起的管線平面處任一點的土體豎向位移為Uz，進而得到土體損失在既有隧道軸線處產生的豎向附加應力σs為：

σs=k′Uz（9）

Uz=BηR2s4{z0-zx2+z0-z2+z0+zx2+z0+z2-

2z[x2-z0+z2][x2+z0+z2]2}（1+yy2+z0）×

exp {x2ln λz0+Rs2+z2ln λ-ln δz0+d2}（10）

其中：B=4z0[z0+d-（z0+d）2-η（y）（Rs+d）2]RsηyRs+d

δ=12-1πarcsin 2dRs（1+1-η（y））

λ=14-2（（1-1-η（y））πη（y）×

[arcsin （dRs1-η（y））+

1-（dRs1-η（y））2-1]

η（y）=η21+yy2+z20

式中：k為地基基床系數；d為土體移動焦點到新建隧道中心點的距離；η為最大土體損失百分率（%）.

最終得到隧道下穿引起既有隧道軸線處產生的豎向總附加應力值σz為：

σz=σz-q+σz-f+σz-p1+σz-p2+σs（11）

2基于最小勢能原理計算隧道豎向變形

2.1盾構隧道與土體相互作用分析

在分析盾構隧道與土體相互作用時，假定：將盾構隧道襯砌環視為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，新建隧道下穿導致隧道以環間剪切錯臺的方式進行變形，見圖5.圖中D為既有盾構隧道直徑.相關學者[19-20]已經驗證了該模型的合理性.

2.2運用能量變分法計算隧道縱向位移量

2.2.1盾構隧道的總勢能

任取盾構隧道一環進行分析，編號為m，其所受到的豎向荷載Fz為：

Fz=Pz（x）-kDSz（x）-kt（ΔWz（m+1）+ΔWz（m））（12）

式中：Pz（x）為附加水平荷載，Pz（x）=Dσz；kDSz（x）為地基抗力，k為地基基床系數，采用Vesic[21]公式計算，k=0.65Es1-μ212EsD4EtIt，Sz（x）為地基彈簧的位移，根據位移協調條件則Sz（x）=Wz（x），這里Wz（x）為隧道的水平位移，Es為地基土的彈性模量，EtIt為隧道的等效抗彎剛度；kt為隧道的環間剪切剛度；kt（ΔWz（m+1）+ΔWz（m））為水平環間剪切力.

根據盾構隧道每片襯砌環的受荷狀況，分析計算得到盾構隧道的總勢能，具體分為以下3部分：①新建隧道下穿引起臨近既有盾構隧道軸線處附加荷載做功Wp；②盾構隧道襯砌環克服地層抗力做功Wk；③襯砌環克服盾構環間剪切力做功Ws.具體表達式可參考文獻[22].可得到新建隧道下穿引起的臨近既有地鐵盾構隧道的總勢能為：

Ep=Wp+Wk+Ws（13）

2.2.2假設隧道襯砌環的位移函數

能量變分解法原理是假定合適的位移函數來表示盾構隧道受新建隧道影響的基本變形形狀.本文假設隧道位移函數[23]如下，并按傅里葉級數展開，隧道的豎向位移函數為：

Wz（x）=∑

SymboleB@ n=0ancos nπxNδ={Tn（x）}{A}（14）

式中：Tn（x）={1， cosπxNδ， cos2πxNδ， …， cosnπxNδ}，δ為既有盾構隧道環寬；A為位移函數中的待定系數矩陣，A={a1，a1，…，an}T；n為傅里葉級數的展開階數.

2.2.3變分控制方程

基于能量變分法，將總勢能Ep對各待定系數取極值，即：

Epξi=0，ξi=a0…an（15）

式中：ξi為矩陣A中的各個元素.

對式（15）求解，可得隧道豎向位移控制方程為：

{∑N-1m=-Nkt[Wz{（m+1）δ}-Wz（mδ）]ξi[Tn（（m+1）δ）-

Tn（mδ）+∫Nδ-Nδ-kDWz（x）ξi{Tn（x）}dx·{A}=

∫Nδ-NδPz（x）{Tn（x）}Tdx （16）

式中：2N為新建隧道施工既有隧道受影響的隧道襯砌環數.

將式（16）表達為矩陣形式：

（[Kt]+[Ks]）{A}=PzT（17）

式中：[Kt]為隧道環間剛度矩陣，且

Kt=∑n-1m=-Nkt[Tn（（m+1）δ）T-Tn（mδ）T]×

[Tn（（m+1）δ）-Tn（mδ）]；

[Ks]為土體剛度矩陣，且

Ks=kDL211；

{Pz}T表示自由土體位移和隧道襯砌環的相互作用效應，具體表示為：

PzT=∫Nδ-NδPz（x）{Tn（x）}Tdx（18）

由式（16）計算可得到待定系數矩陣A，再代入假設的隧道位移函數W（x）即式（14），可以得到在新建隧道開挖時引起的既有盾構隧道縱向位移值.

相鄰盾構管片之間位移差值即錯臺量ΔW，其中隧道的豎向錯臺量為：

ΔWz=Wz[（m+1）δ]-Wz（m）（19）

相鄰盾構管片環之間的豎向剪切力為：

Qz={Wz[（m+1）δ]-Wz（mδ）}·kt（20）

取10階的剛度矩陣[Kp]和[Kt]即可滿足計算精度，以上算法通過Matlab編程進行數值計算.

3工程實例驗證

選取文獻[6]和文獻[4]中新建隧道正交下穿既有隧道案例，計算得到既有盾構隧道豎向位移值，并且與實測隧道位移值對比，來驗證本文方法的合理性和適用性.文中盾構隧道位移均指管片軸線中心的位移值.兩案例基本參數見表1.

3.1案例1

圖6為該案例采用2種方法計算得到的隧道豎向位移曲線，圖中豎向位移負值代表沉降，正值代表隆起，以下同.如圖6所示，本文方法與文獻[6]計算得到的隧道沉降量在數值和趨勢上都較為吻合，本文方法計算結果略偏大；最大沉降量分別為5.95 mm和6.17 mm，沒有超過《上海市地鐵沿線建筑施工保護地鐵技術管理暫行規定》中規定的地鐵結構最終絕對位移限值20 mm.

通過三維計算，可以得到既有隧道（0，0，0）坐標處的隧道豎向位移隨著新建隧道開挖的變化過程，見圖7.如圖7所示：1） 隨著新建隧道的掘進，（0，0，0）點處的隧道沉降量最初緩慢增加；當兩者水平距離小于10 m時，（0，0，0）點處沉降量快速增加；當開挖面經過該點，掘進至y=-20 m處時，該點沉降量達到最大，而后略微上升，趨于平穩.2）土體損失所引起的該點沉降量最為明顯.

圖8為既有隧道豎向位移隨新建隧道開挖變化曲線.如圖8所示：隨著新建隧道的掘進，既有隧道的豎向位移不斷增加，開挖至y=-20 m以后，既有隧道沉降量趨于平穩.

本文方法相對于文獻[6]方法，還能夠計算得到相鄰盾構環之間的錯臺量和環間剪切力.圖9為本文方法計算得到的管片豎向錯臺量隨新建隧道掘進的變化曲線.如圖9所示：隨著新建隧道的掘進，既有隧道的錯臺量也在不斷加大，當新建隧道掘進至y=-20 m以后，既有隧道的錯臺量就趨于一個穩定值；當y=-20 m時，在隧道沉降曲線反彎點處的管片錯臺量處于最大值，達到0.36 mm.參考上海盾構隧道錯臺等級劃分標準[24]，該錯臺量的評價等級為Ⅱ級，沒有超過4 mm的控制標準，但隧道整體結構的安全性和抗滲性均有所降低，應該加強監測；在隧道沉降量最大點處的管片錯臺量接近0，表明隧道沉降量最大點附近相鄰盾構環之間幾乎不發生錯臺變形，該位置附近的管片整體發生了位移.

圖10為本文方法計算得到的豎向環間剪力值隨新建隧道掘進的變化曲線.如圖10所示：盾構隧道環間剪力值的變化規律與管片錯臺量的變化規律相一致，隧道豎向位移最大值處的環間剪力值接近0，說明該位置處的盾構隧道管片沒有發生錯動，管片之間的連接螺栓沒有受力；y=-20 m時，在隧道沉降曲線反彎點處的剪力值最大，最大值為88 kN.本工程中相鄰隧道環之間用17顆M30螺栓連接，其剪切強度極限為665.36 kN，計算得到的最大剪力值沒有超過該極限值，該盾構隧道處于安全狀態.

3.2案例2

圖11為該案例采用2種方法計算得到的隧道豎向位移曲線.如圖11所示，本文方法與文獻[4]計算得到的隧道最大沉降量分別為2.30 mm和2.09 mm，沒有超過《上海市地鐵沿線建筑施工保護地鐵技術管理暫行規定》中規定的地鐵結構最終絕對位移限值20 mm.文獻[4]計算得到的曲線在（-6 m，-4 m）和（4 m，6 m）這兩個階段下降較快，相比于實測值明顯偏??；本文方法計算得到的曲線與實測曲線擬合效果較好.

本文方法相對于文獻[4]方法，還能計算得到相鄰盾構環之間的錯臺量和環間剪切力隨新建隧道掘進的變化曲線，規律與案例1類似，本文不再贅述.

4隧道豎向位移的單因素影響分析

以文獻[6]中的案例作為算例，采用其案例中的各項參數作為標準工況，探究新建隧道正交下穿時，影響既有隧道豎向位移的影響因素.該工況下y=-20 m.

4.1z0改變對既有隧道豎向位移的影響

在標準工況下以新建隧道軸線埋深z0作為控制變量，改變z0的大小，分別取z0=20.1 m、25 m、30 m和35 m這4種工況，來研究z0改變對既有隧道豎向變形的影響規律.

圖12為不同z0值時計算得到的盾構隧道豎向位移變化曲線.如圖12所示：1） 在新建盾構隧道作用下既有盾構隧道豎向變形曲線呈中間沉降，沉降段大致呈正態分布規律，影響范圍沿既有隧道軸線方向（-40 m，40 m）；2） 隨著z0逐漸變大，隧道的沉降值逐漸變小，即新建隧道與既有隧道之間的垂直距離越大，既有隧道的沉降量就越小，該結論與房明等[11]文中“隨著隧道間相對距離的增大位移峰值減小”相一致，所以在類似工況下施工時，如果兩條隧道間距較近的情況下，需要對既有隧道做好監測與加固工作；3） 隧道影響范圍中部沉降量變化大，兩端變化小.隧道變形影響范圍則基本不變.

4.2z改變對既有隧道豎向位移的影響

在標準工況下以既有隧道軸線埋深z作為控制變量，改變z的大小，分別取z=7 m、9.1 m、12 m和14 m這4種工況，來研究z改變對既有隧道豎向變形的影響規律.

圖13為不同z值時計算得到的既有隧道豎向位移曲線.如圖13所示：1）新建盾構隧道施工引起的既有盾構隧道豎向變形曲線呈中間沉降，沉降段大致呈正態分布規律，規律與圖12基本一致；2）隨著z逐漸變大，隧道沉降值也逐漸變大，即既有隧道上部覆土厚度越大、既有隧道的沉降量就越大，該結論與房明等[11]文中“既有隧道襯砌的位移隨著隧道覆土厚度的增大而增大”相一致.主要原因是覆土厚度越大、既有隧道與新建隧道越接近，新建隧道開挖引起的土體位移也就越大；3）隧道影響范圍中部沉降量變化大，兩端變化小.隧道變形的影響范圍則基本不變，該規律與圖12相一致.

4.3Rs改變對既有隧道豎向位移的影響

在標準工況下以新建隧道半徑Rs作為控制變量，改變Rs的大小，分別取Rs=3.1 m、4 m、5 m和6 m這4種工況，來研究Rs改變對既有隧道豎向變形的影響規律.

圖14為不同Rs值時計算得到的盾構隧道豎向位移變化曲線.如圖14所示：隨著新建隧道半徑的增加，既有隧道的豎向沉降量也隨之增加.這是由于新建隧道的半徑越大，相當于挖去的土體越多，土體應力損失越大，從而導致既有隧道變形加劇.

5結語

1） 本文方法能夠計算得到由于新建盾構隧道下穿開挖引起的既有盾構隧道的三維豎向位移，以及盾構隧道環之間的錯臺量和環間剪切力，由此可判斷既有盾構隧道結構的安全性和穩定性.

2） 隨著新建隧道的掘進，既有盾構隧道縱向變形大致呈正態分布，中間大、兩端小，且影響范圍較大；隨著新建隧道開挖，既有盾構隧道的豎向位移量、環間錯臺量以及環間剪力值都在不斷地增大，當新建隧道穿越過既有隧道，掘進至一定距離時，這些值又趨于穩定；土體損失引起的既有隧道沉降量最為明顯.

3） 新建隧道下穿既有隧道時，兩隧道間距離越大時，既有盾構隧道的沉降量越小，所以當新建盾構隧道近距離下穿既有隧道時，需要對既有隧道加強監測，變形過大時應及時加固；新建盾構隧道的半徑越大時，既有盾構隧道的沉降量越大.

本文僅研究了新建隧道和既有隧道正交的工況，沒有探究兩者斜交或平行的工況；限于篇幅，僅研究了既有隧道的豎向位移，沒有研究水平位移；另外對既有盾構隧道縱向變形的安全性評估偏簡單，可在本文基礎上作進一步研究.

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