化歸思想在初中數學課堂中的應用

☉江蘇省南通市通州區平潮實驗初中劉惠云

化歸是數學的重要思想，其本質就是一種轉化思維，將陌生場景轉化為人們熟悉的場景，進而實現由難到易、刪繁就簡的效果.在初中數學中，化歸思想最常見的用法主要體現在多元方程轉化為一元方程、高次方程轉化為低次方程、代數問題和幾何問題的相互轉化、實際問題向數學問題轉化等.由此可見，化歸思想在初中階段有著非常廣泛的應用.為此，教師在初中數學課堂上要注重化歸思想的教學，并且讓學生能夠運用化歸思想處理問題.

一、結合學科特點及學情特點實施化歸思想教學

新修訂的課程標準將學生數學核心素養的發展納入了培養體系，雖然核心素養并沒有對應某項具體的技能和方法，但是其中數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象等方面的能力都和化歸思想有關聯，因此在初中數學教學中，有針對性地實施化歸思想的教學是課程標準的基本要求.

很多教師在教學中有這樣的認識：化歸思想是一種隱性知識，這些內容不能通過教師的口頭說教來組織，應該讓學生在自主探索中實現感悟和積累經驗，這其實不需要教師專門的指導，只要多給學生安排一些習題，多做做就有感覺了.筆者認為上面的觀點只對了前一半.的確，作為一種隱性知識，如果僅靠教師的口頭說教，是沒有任何意義的，不但浪費時間，甚至可能導致學生產生一種逆反的心理和情緒.但是教師不能缺席學生在數學思想方面的成長，畢竟數學本身就具有高度的抽象性，而數學思想的抽象程度還要更高，根本無法通過圖表進行總結，如果讓學生自己摸索，顯然是沒有意義的.

相比于小學生，初中生在抽象思維方面已經有一定程度的發展，這時引導學生探索包括化歸思想在內的數學思想正是一個很好的時機.而且很多問題的分析恰好要借助化歸思想，為此我們以相關問題為素材，正好可以引導學生邊探索邊總結，指導學生有效掌握這一方法的使用條件和操作要點.比如，在學生學習七年級的數學內容時，他們將接觸負數和代數式等內容，他們對這些都是相當陌生的，對很多學生來講，這些內容的理解和使用是很不習慣的.為此，教師要引導學生采用化歸思想，將這些陌生的內容和他們已有的認知體系聯系起來，可以通過一根數軸，將負數和正數放在一起，還可以通過絕對值的處理將負數轉化為整數.

當然，化歸思想不是一兩節課就能解決的，它貫穿在學生整個初中數學的學習過程中，教師應該有一個長遠的計劃，將化歸思想納入整個初中數學的教學框架，讓學生在建構數學知識體系的同時領悟隱含在其中的方法和規律，進而形成自主運用化歸思想的意識.

二、通過典型案例揭示化歸思想的操作過程

初中數學教師普遍存在這樣的困惑，習題講過不少，但是學生的能力始終停留在模仿的層面，相關條件略有變動，他們就手足無措，更談不上在問題分析過程中區分在哪些情況下選擇化歸思想.筆者認為，學生出現這樣的問題，往往是因為教師在教學過程中就題論題，很少通過深度挖掘來幫助學生進行思想方法的總結.因此，筆者認為，應該在教學中放慢節奏，引導學生感悟思路的探索過程，進而讓他們了解化歸思想的方方面面，同時這能啟發學生以典型問題為范本總結化歸思想的操作特點，進而在遇到類似問題時，學生能夠做到從容不迫，成竹在胸.

在指導學生探索某些定理時，教師要注意到某些證明過程本身就是一個最典型的探究素材，教師在教學設計時，要注意發掘隱含在其中的數學思想和方法，如化歸思想.教師引導學生圍繞對應的問題情境展開分析，不但可以加深學生對原理的理解，而且能提升他們的知識遷移水平.

比如，對于圓周角定理的證明，我們就可以結合化歸思想的教學進行設計，化歸的常見策略應該是推動一般問題的特殊化.所以在探索這一原理時，教師可以引導學生先探索圓心位于圓周角一條邊上的場景，然后提供圓心位于圓周角外部或內部的場景，并將其轉化為之前的特殊場景，實現問題的簡化處理.

問題情境：圖1所示的⊙O中，圓弧BC所對應的圓心角為∠BOC，圓周角為∠BAC，請研究這兩個角在大小上的關系.

情境拓展1：如果圓心與圓周角的位置關系如圖2所示，圓心位于圓周角的內部，請研究這兩個角在大小上的關系.

情境拓展2：如果圓心與圓周角的位置關系如圖3所示，圓心位于圓周角的外部，請研究這兩個角在大小上的關系.

圖1

圖2

圖3

在最初的問題情境中，學生可以很快利用三角形的外角與內角的關系實現問題的分析和處理，但是情境拓展之后的情形則相對一般，怎么處理呢？教師要引導學生比較問題之間的差別，同時要有意識地引導學生通過建構圖2和圖3中的輔助線將其轉化為圖1所示的特殊場景，如此則能實現問題的解決.當學生完成這個問題后，教師還要有意識地引導他們展開總結，提煉出化歸思想的操作過程.

三、讓學生通過有效的習題訓練獲得提升

化歸思想的培養不能依賴于習題的講練來實現，但是沒有習題訓練，顯然是不行的.在實際教學過程中，教師要關注習題的有效設計.這些習題宜精不宜多，須知太多的題量只會讓學生產生一種應付的心態，而且題量太多，學生的時間又是有限的，他們顯然不會再花時間進行反思和總結.所以，教師要注意選擇具有代表性的習題，在條件允許的前提下，教師要適當通過變式教學對問題進行補充和延展，這樣可以讓學生的化歸思想得到更加深入的發展，他們的思維水平也將因此而獲得提升.

（1）請確定A、B兩點的坐標；

（2）求解△AOB的面積.

在處理問題（1）時，可以將函數問題化歸為方程組問題.由方程組A、B兩點的坐標可以確定為A（-2，4）和B（4，-2）.

圖4

至于第（2）問，由圖像可知直線y=-x+2與y軸的交點D的坐標是（0，2），因此所以S△AOB=2+4=6.

上述問題中的交點坐標既滿足第一個函數，又匹配第二個函數，因此可以將其轉化為方程組，這個題目也提示學生關注方程與函數之間的關聯，由此為他們提供化歸的思路.

習題練習絕不是數學研究的全部，但是能充分地將包括化歸思想在內的各種方法和技巧有效體現出來.教學過程中，教師通過習題來引導學生探索并積累化歸處理的經驗，有些時候，某個問題的化歸處理思路不止一個，這時教師可以提示學生采用多樣化的化歸方法處理，通過一題多解來提升學生思維的靈活性.當然，有時候學生采用一種方法進行化歸處理時，很可能陷入僵局，這時教師要注意提醒學生及時調整思路，或安排學生在合作探究中進行更加深入的討論，以便實現問題的解決.

綜上所述，作為初中數學研究的一種重要思想，化歸思想的培養需要教師足夠的注意，也需要教師在教學中有策略地予以推進.