例談高中數學中圓與其他知識的的聯系

（廣東省深圳市龍崗區橫崗高級中學 廣東深圳 518100）

圓的方程及性質是高中數學中的核心教學內容。它經常與其他知識巧妙地結合在一起，因而，學生不容易掌握。談到了圓在距離問題、方程根問題、不等式問題、函數最值中的應用。本文將從以下方面談談圓在數學解題中的應用。

一、與平面向量的聯系

例1 在平面直角坐標系中，O為原點，A（－1，0），B（0，），C（3，0），動點D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________。

分析:本題學生的常規思路是得到|＋＋|的表達式后消元，轉化為研究函數的最值問題，這樣運算量頗大。而用本文的方法，可獲簡解。

解：設D（x，y），由||＝1，得（x－3）2＋y2＝1，

向量＋＋＝（x－1，y＋），

故|＋＋|＝的最大值為圓（x－3）2＋y2＝1上的動點到點（1，－）距離的最大值，其最大值為圓（x－3）2＋y2＝1的圓心（3，0）到點（1，－）的距離加上圓的半徑，即＋1＝1＋。

點評：函數的最值問題通常用代數辦法解決，但如果函數的表達式與圓的方程類似時，則數形結合的方法會相對簡單。

二、與線性規劃問題的聯系

解法2：由約束條件畫出可行域，如下圖。

三、與復數的聯系

例3 若復數z滿足的最大值和最小值。

分析：本題用代數方法計算，運算量很大。可考慮用數形結合的方法，而的軌跡是一個圓形區域。

設復數z對應點為A，復數對應的點為

復數z對應的點在復平面上的軌跡是以點M為圓心，1為半徑的圓形區域，如圖，

根據圓的幾何性質知，動點A到原點O的距離最大值為2+r=2+1=3，最小值為2-1=1，

點評：若復數z滿足則z對應的點的軌跡是圓。通常涉及復數的模問題，可與圓聯系，利用數形結合的方法。

四、與定積分求值的聯系

解：由定積分的幾何意義知，所求定積分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x軸圍成的圖象的面積，即圓（x－1）2＋y2＝1的面積的一半，∴。

點評：當f(x)的原函數不容易求出時，可考慮定積分的幾何意義。