空間幾何體求解中的誤區與警示

■王旭瀧

對空間幾何體的認知,凸顯空間問題平面化、模型化和代數化的本質屬性。大家在解題中容易出現思維誤區,本文結合實例“剖析”之。

誤區1：確定三視圖時,忽視“投影面和虛實線”

例1 將正方體(如圖1)截去兩個三棱錐,得到如圖2所示的幾何體,則該幾何體的側視圖為( )。

圖2

錯解：忽視正視,側視,俯視三個兩兩垂直方向的正投影,分不清選項A和B,易選A。對三視圖畫法中的虛實線不明確易選C或D。

剖析：側視圖中能夠看到線段AD1,應畫為實線,而看不到線段B1C,應畫為虛線。由于AD1與B1C不平行,可知投影為相交線。應選B。

警示：在畫三視圖時,應把握正視,側視,俯視三個兩兩垂直方向的最大直截面,要特別注意幾何體中與投影面垂直或平行的線及面的位置,認清規定方向上平行投影的實際結果。畫三視圖時,分界線和可見輪廓線都用實線,被遮住的部分的輪廓線用虛線,要注意“投射光源”的位置是投影面的正對面。

誤區2：三視圖還原幾何體時“虛實不分,對應不當,不作檢驗”

例2 如圖3,網格紙上的小正方形邊長為1,粗線是一個棱錐的三視圖,則此棱錐的體積為_____。

圖3

錯解：由三視圖知,其直觀圖為四棱錐,四棱錐的底面為正方形,邊長為2,四棱錐的高為2,則該棱錐的體積V=。

剖析：還原幾何體時缺少模型化的意識。答案對了,但解題過程錯誤。

根據三視圖,可知該幾何體是一個棱長為2的正方體去掉一個三棱柱和一個三棱錐后的四棱錐E-ABCD,如圖4所示。

圖4

該四棱錐E-ABCD的體積V=V正方體-

警示：利用三視圖還原直觀圖時,一定要全面把握幾何體的特征,分清三視圖中的虛線和實線,最后還應該對還原后的直觀圖進行檢驗。

誤區3：三棱錐的體積求解中忽略“等積變換”

例3 如圖5,在棱長為5的正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=2,Q是A1D1的中點,點P是棱C1D1上的動點,則四面體PQEF的體積( )。

圖5

A.是變量且有最小值

B.是變量且有最大值

C.是變量且沒有最值

D.是一個不變的量

錯解：應選A或B或C。

剖析：忽略三棱錐體積的等積變換易錯選A或B。由AB⊥側面AA1D1D,可知QA為Q點到AB的距離。因為EF=2,所以S△QEF為定值。由C1D1∥AB,可得C1D1∥面QEF,則C1D1到面QEF的距離為定值,而P是棱C1D1上的動點,所以P點到平面QEF的距離也為定值,由此可知四面體PQEF的底面積和高均為定值,可得四面體PQEF的體積為定值。應選D。

警示：求三棱錐的體積的解題關鍵是尋找易求的底面和對應的高。

誤區4：忽略共面的條件和面面平行性質定理的應用

例4 下列正方體或四面體中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,這四個點不共面的一個圖是( )。

錯解：應選B或C。

剖析：錯解的原因是不理解共面的條件和面面平行的性質定理。

直接作出截面或用反證法判斷。對于A,可作出截面為梯形。對于B,由面面平行的性質定理,可作出截面為正六邊形。對于C,空間四邊形的四邊中點可構成平行四邊形。對于D,由反證法或異面直線的判定定理,可知四點構成異面直線,即四點不共面。應選D。

警示：要作兩個相交平面的交線,只需找出兩個公共點。當平面較小不足以體現交線時,可采用作平行線或作延長線的方法延展平面,直到能作出交線為止。

誤區5：盲目類比平面幾何中的定理和性質

例5 如圖6所示,已知E,F分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的點,且AE=C1F。求證:四邊形BED1F是平行四邊形。

圖6

錯解：在長方體ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ADD1∥平面B1BCC1。由兩平行平面與第三平面相交其交線平行,可知D1E∥FB,同理可得D1F∥EB,故四邊形EBFD1為平行四邊形。

剖析：上述解法盲目套用平面幾何定理致錯。在DD1上取DM=AE=C1F,連接CM,EM。

由CF=D1M=CC1-C1F,CF∥D1M,可知四邊形CMD1F為平行四邊形,所以CM∥FD1,CM=FD1。同理可證四邊形ADME為平行四邊形,所以EM∥BC,EM=BC,可知BCME為平行四邊形,可得BE∥CM,CM=BE。

所以BE∥FD1,BE=FD1,可知四邊形EBFD1是平行四邊形。

警示：平面幾何中的有關結論在空間中不一定成立。平面幾何的結論在立體幾何中的應用遵循兩點:①空間中放在同一平面內使用;②先證明在空間是真命題再使用。

誤區6：忽視空間中平行與垂直的判定定理的條件

例6 設a,b為兩條直線,α,β為兩個平面,且a?α,a?β,則下列結論中不成立的是( )。

A.若b?β,a∥b,則a∥β

B.若a⊥β,α⊥β,則a∥α

C.若a⊥b,b⊥α,則a∥α

D.若α⊥β,a⊥β,b∥a,則b∥α

錯解：應選A。

剖析：不能準確把握空間中平行與垂直關系的判定定理和性質定理中的條件導致出錯。對于A,若b?β,a∥b,且a?β,則根據線面平行的判定定理可得a∥β,A正確。對于B,若a⊥β,α⊥β,則根據空間線面位置關系可知a?α或a∥α,而a?α,所以a∥α,B正確。對于C,若a⊥b,b⊥α,則a?α或a∥α,而a?α,所以a∥α,C正確。對于D,由a⊥β,b∥a,可得b⊥β,因為α⊥β,所以b?α或b∥α,可知D錯誤。應選D。

警示：利用線面平行,線面垂直,面面平行或面面垂直的判定定理時,一定要注意定理的前提條件。

誤區7：兩直線位置關系的判斷中忽略“反證法”的應用

例7 已知m,n為異面直線,m?平面α,n?平面β,α∩β=l,則直線l( )。

A.與m,n都相交

B.與m,n中至少一條相交

C.與m,n都不相交

D.至多與m,n中的一條相交

錯解：應選A。

剖析：忽略題設條件、缺少應用反證法研究問題的意識出錯。

假設l與m,n都不相交。由m?平面α,n?平面β,可知m∥l,n∥l,即m∥n∥l,這與m,n為異面直線矛盾,故假設不成立,即直線l與m,n中至少一條相交。應選B。

警示：簡單的空間位置關系的判斷問題,可以利用選項和題設條件,通過反證法進行推理判斷。

誤區8：忽視線線垂直和線面垂直的相互轉化

例8 如圖7所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,點A1在平面ABC內的射影點D在AC上,∠ACB=90°,AC=CC1。

求證:AC1⊥A1B。

圖7

錯解：缺少線面垂直轉化為線線垂直的意識,導致思維混亂,從而無法證明。

剖析：證明線線垂直,可構造證明一條直線和一個平面垂直。

由A1D⊥平面ABC和面面垂直的判定定理知,平面AA1C1C⊥平面ABC。由BC⊥AC和面面垂直的性質定理知,BC⊥平面AA1C1C,所以AC1⊥BC。由AC=CC1,可知AA1C1C為菱形,所以AC1⊥A1C。

因為A1C∩BC=C,所以AC1⊥平面A1BC。又A1B?A1BC,所以AC1⊥A1B。

警示：證明直線與平面垂直、平面與平面垂直,都可借助于直線和直線垂直加以證明。