空間幾何體常見典型考題賞析

■朱 琴

空間幾何體是立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí),又是每年高考的必考知識(shí),因此學(xué)好這部分知識(shí)至關(guān)重要,特別是空間幾何體的經(jīng)典題型,更值得學(xué)習(xí)與探究。下面舉例分析,以供大家分享。

題型1：空間幾何體的三視圖

對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體,在畫三視圖時(shí),首先分清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的,然后再畫其三視圖。由三視圖還原幾何體時(shí),要遵循以下三步:①看視圖,明關(guān)系;②分部分,想整體;③綜合起來,定整體。

例1 如圖1,將一個(gè)正三棱柱ABCDEF截去一個(gè)三棱錐A-BCD,得到幾何體BCDEF(如圖2),則該幾何體的正視圖(或主視圖)是( )。

圖1

圖2

解：由于三棱柱為正三棱柱,故平面ADEB⊥平面DEF。由于△DEF是等邊三角形,所以CD在后側(cè)面上的投影為AB的中點(diǎn)與點(diǎn)D的連線,CD的投影與底面不垂直。應(yīng)選C。

跟蹤練習(xí)1：某幾何體的三視圖如圖3所示,記集合A為此幾何體所有棱的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合,則( )。

圖3

A.3∈A B.5∈A

C.26∈A D.43∈A

提示：由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖4所示。

圖4

該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,AF⊥平面ABCD,AF∥DE,AF=2,DE=4,可求得BE的長(zhǎng)為43,BF的長(zhǎng)為25,EF的長(zhǎng)為25,EC的長(zhǎng)為42。應(yīng)選D。

題型2：空間幾何體的直觀圖

在斜二測(cè)畫法中,要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段。平行于x軸的線段平行性不變,長(zhǎng)度不變;平行于y軸的線段平行性不變,長(zhǎng)度減半。按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系:

例2 已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么△ABC的平面直觀圖△A"B"C"的面積為( )。

解：圖5,6所示的是△ABC的平面圖形和它的直觀圖△A"B"C"。

圖5

跟蹤練習(xí)2：如圖7,已知等腰梯形ABCD中,CD=1,AD=CB=2,AB=3,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖的面積為_________。

圖7

提示：作出等腰梯形ABCD的直觀圖,即梯形A"B"C"D",如圖8所示。

圖8

題型3：與球有關(guān)的“切”“接”問題

“切”的處理方法:與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體問題,解題時(shí)要找準(zhǔn)切點(diǎn),通過作截面來解決。“接”的處理方法:把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題,解題時(shí)要抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑。

例3 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上。若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為( )。

解：由題意可知,球心在正四棱錐的高上。設(shè)球的半徑為R,則(4-R)2+(2)2=R2,解得R=所以所求球的表面積為4π應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)3：在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球。若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( )。

提示：由AB⊥BC,AB=6,BC=8,得AC=10,要使球的體積V最大,則球與直三棱柱的部分面相切。若球與三個(gè)側(cè)面相切,可設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則×6×8=×(6+8+10)×r,可得r=2,此時(shí)2r=4＞AA1=3,不合題意。

因此球與三棱柱的上、下底面相切時(shí),球的半徑r最大。

題型4：古算書中的幾何體問題

中國(guó)古代在世界上居于數(shù)學(xué)領(lǐng)先地位。《九章算術(shù)》記載了當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和比例算法,還記載有解決各種面積和體積問題的算法以及利用勾股定理進(jìn)行測(cè)量的各種問題。

例4 《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為( )。

A.8π B.12π

C.20π D.24π

解：(方法1)將三棱錐P-ABC放入長(zhǎng)方體中(如圖9),三棱錐P-ABC的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球。

圖9

因?yàn)镻A=AB=2,AC=4,△ABC為直角三角形,所以

設(shè)外接球的半徑為R。

由題意可得(2R)2=22+22+(2)2=20,即R2=5,故球O的表面積為4πR2=20π。應(yīng)選C。

(方法2)利用鱉臑的特點(diǎn)求解,如圖10。

圖10

因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形,所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等,即PC的中點(diǎn)為球心O,易得2R=PC=20,所以球O的表面積為4πR2=20π。應(yīng)選C。

跟蹤練習(xí)4：《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無廣;高一丈。問積幾何。”其意思為:今有底面為矩形的屋脊柱的楔體,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈;上棱長(zhǎng)2丈,高1丈,問它的體積是多少。已知1丈為10尺。現(xiàn)將該楔體的三視圖給出(如圖11),其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1丈,則該楔體的體積為( )。

圖11

A.5000立方尺

B.5500立方尺

C.6000立方尺

D.6500立方尺

提示：該楔體的直觀圖是如圖12所示的幾何體ABCDEF。取AB的中點(diǎn)G,CD的中點(diǎn)H,連接FG,GH,HF,則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和。

圖12

可將三棱柱ADE-GHF割補(bǔ)成高為EF=2,底面積為S=×3×1=的一個(gè)直棱柱,故該楔體的體積V=×2+×2×3×1=5(立方丈)=5000(立方尺)。應(yīng)選A。