核心素養下數學思維能力的提升實踐

■天津市靜海區瀛海學校 劉林煒

常常聽到學生反饋：老師講的例題都聽懂了，概念、定理和公式也都記熟了，但解題還是困難重重，找不到合適的解題思路和方法。其主要原因在于，在課堂教學中，教師沒能充分調動學生的思維，只注重教學結果。因此，在課堂教學中，教師不僅要傳授知識，更要傳授獲取知識的方法，讓學生變“學會”為“會學”。因此，教師要對教學內容進行準確的定位，從知識、技能、方法和情感態度等方面進行判斷，設計和選擇教學路徑，實現讓數學成為文化、讓探究成為習慣的數學教學目標。

一、激活思維：緊扣新知本質，創設問題情境

在教學中，教師應基于學生已有的知識和經驗，引入恰當的問題情境，提供有思維價值的數學問題，激勵、喚醒、鼓舞學生，引導他們主動投入到建構知識的活動中去，投入到數學探究的思維活動中去。下面，就從《導數在研究函數單調性的應用》一課的導入教學片斷談起。

（一）情境

學習了導數的定義和幾何意義，下面，我們來研究一下導數的實際應用。

教師播放一段汽車越過山坡的視頻，并提出問題。

問題1：觀看視頻后，你會有什么發現？

追問：這個視頻與學過的什么數學知識有聯系?

導數和單調性的概念不僅抽象，而且學生無法直接感知二者之間的聯系。導入環節的視頻中展示了生活中汽車越過山坡時燈光的指向與路面之間的關系。學生通過觀看展示，分組討論，交流意見，嘗試將燈光抽象成一條切線，道路抽象成函數圖象，從而聯系導數與單調性的關系。這樣精心設計的教學情境，引導學生回歸生活。教學中，這樣設計不僅使難點得以突破，讓抽象變得直觀，同時也激發了學生的求知欲望。

建模后進一步追問：如果將曲線看作是函數y=f（x）在某區間上的圖象，對應的函數具有怎樣的性質？

通過師生活動抽象出所需要的數學問題：

（二）猜想

導數與函數的單調性有什么聯系？

教師再一次請學生觀看動畫，學生不難發現：

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于是，猜想得到以下結論：對于函數，在某區間D上有f '（x）＞0，f（x）在D上為增函數；在某區間D上有f '（x）＜0，f（x）在D上為減函數。

本課的特別之處在于導入新知時抓住知識的本質，巧設貼近本節知識的生活情境，把實際問題抽象為數學問題，引導學生將山坡看作一條曲線，將汽車看作曲線上的動點，把汽車前燈發出的光線看作動點的切線，而切線斜率也就可以看作函數在該點處的導數，進而猜想導數的正負與對應函數單調性之間的關系。學生以一個發現者的身份來思考問題，而不是把結論輕易拋出來，這樣就激發了學生強烈的求知欲。

二、學會思維：緊扣新知生成，促進自主探究

在“平面三公理”的探究過程中，有的教師直接將“三公理”內容拋給學生，講清圖形和符號表示后，讓學生看書學習“三公理”并熟記，然后花大量時間解題。一節課下來，教師說得天花亂墜，而學生對所學的內容不能充分理解，更談不上掌握運用，從而失去了學習立體幾何的興趣。本節課學生要發現和理解平面的三條公理，確實有困難。這時，就需要教師適時進行監控——學會思維。教師可以讓學生觀看“平面三公理”探究發現的教學視頻。

問題1：在空間中，直線與平面、平面與平面有怎樣的位置關系？教師可組織學生利用手里的硬紙板和牙簽進行小組探究。用硬紙板和牙簽分別代表平面和直線。通過實際操作，學生發現判定直線與平面的位置關系時可以根據公共點的個數。

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問題2：如何證明線在平面上？此時，需要驗證有無窮多個點在面上，這顯然是行不通的。那么，至少需要有幾個點在平面上，直線就在平面上呢？學生很快就想到了兩點確定一線，從而找到了解決問題的突破口。

教師追問：你能使牙簽的一個點在平面內嗎？你能使牙簽上的兩個點在平面內嗎？

經過實驗，教師引導學生歸納出公理1，判定直線在平面上。

問題3：平面與平面的位置關系如何？通過類比，學生很快得到以下的結論。

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通過分析，平面相交或平面重合的判定方法是行不通的。學生反思，至少需要幾個公共點重合時，兩個平面才重合。通過思考、討論，學生歸納出不在同一直線上的三點就能確定一個平面。教師進一步追問為什么不是四個點？學生們經歷逐步深入的思考過程，結合公理1說明了原由并歸納出公理2。

接下來，教師讓學生用硬紙板探究兩個平面相交時有哪些位置關系。學生們經過實際操作，得到以下位置關系：

圖1

進一步追問：圖2 中，兩個相交平面只有一個公共點嗎？學生思考后指出，不是一個點，因為平面是無線延展的，因此是一條過該點的直線（如圖3 所示）。

圖2

圖3

本節課的不同之處在于，教師抓住“線在平面”“平面相交”“平面重合”都有無窮個公共點的特征，將公理串聯起來,使得知識由碎片拼接為整體。學生經歷了這樣的過程，對數學的理解和體驗就會更加深刻，從中也能體會到類比的思想。

三、發展思維：緊扣新知核心，進行類比遷移

在教學中，教師要有整體意識，將一般性知識“聚焦”在相關的核心知識上，再圍繞核心知識進行深度加工，精心組織教學，引導學生發現并體會知識間的聯系，揭示其中隱含的知識背景，凸顯數學核心知識的價值。

例如：在“y=Asin（wx+?）”的教學中，通常的思路都是教師直接告訴學生先分別研究A、w、?對y=sinx的影響，然后再通過具體實例，作圖體會其結論，最后生成一般性結論。學生只是聽教師的指令按部就班完成操作，思維并不專注和深入。這樣的教學即忽視了“核心知識”的價值，又忽視了對學生思維能力的培養。為此，進行了如下設計。

問題1：在研究圖像y=sinx的基礎上來研究y=Asin（wx+?）的圖像，你有過類似的經歷嗎？學生經過討論，在教師適時引導下，很容易想到，在y=x2基礎上進行研究。

問題2：回憶初中研究的情形。

由此，我們不難發現，y=Asin（wx+?）的研究就沒那么困難了。這樣的教學符合學生已有的認知基礎，符合以往的學習經驗。學生能夠很自然地確定本節課的研究方案。同時，通過這樣的類比遷移，學生也學會了面對多個變量時，要通過減少變量的個數將復雜問題簡單化。

以上這些教學案例的分析,目的是讓教師在設計、組織開展教學活動時，要基于學生的思維發展，合理設計教學路徑，緊扣新知本質，通過恰當的問題情境，激發學生數學思維。這樣，才能掌握一定的數學知識和技能，培養數學思維的習慣和能力，以此提升學生的數學核心素養。