考慮預防和保護的項目風險應對預算分配方法

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(東北大學 工商管理學院，遼寧 沈陽 110167)

1 引言

在項目實施過程中，項目風險是客觀存在的，其一旦發生往往會對項目造成不利影響，嚴重者可導致項目失敗[1,2]。因此，為了保證項目順利完成，采取有效的應對策略來減緩風險顯得至關重要[3]。應對策略的實施往往需要資金上的支持。針對某一策略，較高的預算投入通常能帶來較好的應對效果，同時也將導致較高的項目成本，那么，在進行風險應對時，如何權衡策略的應對效果以及其實施成本，并在此基礎上進行風險應對預算的合理分配是一個具有現實意義的研究問題。

目前，關于項目風險應對的研究多數將關注焦點放在項目風險應對策略選擇問題上，并提出了一些方法來確定風險應對策略集合，如基于權衡的方法[4～10]，基于決策樹的方法[11～15]，基于相似案例的方法[16～18]，以及基于優化的方法[3,19～27]等。然而，關于項目風險應對預算分配問題的研究還比較缺乏[27,28]。Sherali等[28]采用事件樹來分析風險發生后各種結果事件的邏輯順序及發生概率，在此基礎上構建優化模型來進行風險減緩資源的最優分配。Sato和Hirao[29]針對項目預算和項目關鍵風險之間的權衡問題，以最大化基于風險的項目價值為目標構建優化模型來進行項目各工作活動之間的預算分配?？梢钥闯?，文獻[28]中風險減緩資源分配的目的是減少風險發生后的損失，而文獻[29]是為了降低項目活動中風險發生的概率。實際項目風險管理中，項目經理通常會從降低風險概率和減少風險損失兩個方面來應對風險。如工業生產項目中，設置安全警示牌來減少安全風險的發生概率，設置點火噴水裝置來降低安全風險所帶來的損失。同時，一些研究也指出了項目風險應對需要從風險預防和風險保護兩個方面進行，并將風險應對策略分為風險預防策略和風險保護策略[3,23]。其中風險預防策略指的是通過降低風險發生概率來應對風險的措施，通常在計劃階段執行；風險保護策略指的是通過減少風險損失來應對風險的措施，通常在風險發生后實施[3,27]。但是，這些研究僅給出了最優風險應對策略的選擇方法[27]，并未涉及如何在預防策略和保護策略之間進行應對預算的合理分配。

可以看出，上述文獻雖然對項目風險應對的相關研究做出了許多貢獻，但是仍然存在著以下不足：以往研究很少關注風險應對預算分配問題，使得其對項目管理實踐的指導較為有限；已有研究大多假設策略的實施效果及成本是固定的。實際中，策略的效果往往與策略本身、風險特性以及所投入的預算有關。比如，實施預防策略或保護策略都能在一定程度上降低風險，然而對兩種策略投入相同的預算所帶來的風險降低程度可能不同；同時當初始風險特性不同時，針對同一策略投入相同的預算所帶來的應對效果也會有所不同。當初始風險概率或損失較大時，實施應對策略通常能顯著地降低風險；而當風險較小時，若想獲得相同的風險降低程度往往需要投入更多的預算。針對現有研究的不足，本文嘗試對策略的效果與策略本身、風險特性以及所投入預算之間的關系進行分析，并在此基礎上探討項目風險應對預算分配問題。首先，分析風險預防策略或保護策略的效果與策略本身、風險特性以及所投入預算之間的關系，并給出相應的關系表達式；其次，在滿足風險控制要求的約束下，以最小化風險應對預算為目標構建考慮預防和保護的風險應對預算分配優化模型，通過模型求解，可得到最優的應對預算分配決策。最后，通過分析最優決策得到一些有價值的定理和結論，從而為項目風險應對的相關決策提供支持與參考。

2 風險應對策略分析

本節對策略效果與策略本身、風險特性以及預算之間的關系進行分析。本文涉及到的變量符號及相應說明見表1。

表1 變量符號及其說明

2.1 風險預防策略

風險預防的目的是盡可能地降低風險概率，進而減少風險期望損失[3]。那么，預防策略的效果體現在能將風險概率降低到何種程度。以往研究認為風險概率與應對預算之間的關系呈現向下凸的曲線形式[3,29]。即，當向預防策略不投入預算時，風險發生概率保持不變，與初始風險概率相同；隨著所投入預算的增加，風險概率呈現降低的趨勢。通常情形下，當風險概率已處于較低水平時，隨著預算的持續投入，風險概率降低的程度會越來越小。此外，在不更改項目活動的情況下，任何策略都不能保證項目免受風險，那么無論向預防策略投入多少預算，風險概率只能無限接近于一個相對較低的值?；谏鲜龇治?，風險概率和所投入預算之間的關系應滿足如下性質：(1)當q=0時，P=P0；(2)?P/?q<0，?2P/?q2>0；(3)當q→∞時，P→ε。

綜上，給出風險預防預算與風險概率的關系式，如(1)式所示

P=(aεq+P0)/(aq+1)

(1)

其中a為風險預防系數，表示單位預算投入所帶來的風險概率的降低程度，a越大，P越小。

2.2 風險保護策略

風險保護策略的效果體現在能將風險損失降低到何種程度。類似地，風險損失與所投入預算之間的關系應滿足如下性質：(1)當r=0時，L=L0；(2)?L/?r<0，?2L/?r2>0；(3)當r→∞時，L→δ。

與風險預防預算和風險概率的關系式相似，風險保護預算與風險損失之間的關系表達式為

L=(bδr+L0)/(br+1)

(2)

其中b為風險保護系數，表示單位預算投入所帶來的風險損失的降低程度，b越大，L越小。

為了避免由于風險概率和風險損失取值范圍不同對風險應對預算分配決策所產生的影響，將初始風險損失的取值進行歸一化處理，使得L0∈[0,1]。

3 項目風險應對預算分配優化模型

3.1 問題描述

考慮項目面臨一個關鍵風險，項目風險管理小組對該風險進行了分析和評估，得到該風險的發生概率P0以及風險發生之后所帶來的損失L0。為了將該風險降低在項目可接受水平內，項目風險管理小組提出了一個預防策略和一個保護策略，分別用來減少風險概率和風險損失。預防策略或保護策略的效果與對其投入的預算有關。那么本文要解決的問題是，在滿足項目風險控制要求的前提下，如何在預防策略和保護策略之間進行預算分配，使得所投入的總風險應對預算最小。

依據上述分析，以風險應對預算最小為目標，以滿足風險控制要求為約束構建優化模型，如下

minC=q+r

(3)

s.t.PL=R

(4)

q≥0,r≥0

(5)

其中q、r為決策變量；(4)式是風險控制要求約束，R為可接受的風險期望損失，即項目風險控制要求，可由項目經理確定。這里假設R>εδ，因為R≤εδ意味著無論投入多少努力都不可能滿足風險控制要求，那么風險應對決策將變得毫無意義。

3.2 結果分析

對模型進行求解分析，可得到以下定理和結論。

定理1優化模型(3)～(5)的最優解存在且唯一，即

(6)

(7)

最優的風險應對預算為

(8)

證明由于預防預算和風險概率、保護預算和風險損失之間是一對一的關系，那么求解最優的風險概率和風險損失，就能得到預防預算和保護預算的最優解。

對(1)式和(2)式進行變換，可得到預防預算關于風險概率的表達式q=(P0-P)/[a(P-ε)]，保護預算關于風險損失的表達式r=(L0-L)/[b(L-δ)]；由(4)式可知L=R/P，將上述表達式代入(3)式，可得到風險應對預算關于風險概率的表達式如下

(9)

對(9)式分別求風險應對預算關于P的一階導數和二階導數可得

(10)

(11)

顯然?2C/?P2>0，即風險應對預算是關于P的嚴格凸函數，最優解存在且唯一。因此，由一階條件?C/?P=0可得到最優的風險概率，相應地，將最優風險概率代入(1)～(4)式，可得到最優的預防預算、保護預算以及風險應對預算。證畢。

對定理1進行分析可得到如下結論。

結論1風險控制要求對風險應對預算分配決策的影響如下

?q*/?R<0,?r*/?R<0,?C*/?R<0

證明分別求q*和r*關于風險控制要求R的一階導數，可得

由于P0>ε，L0>δ，R>εδ，那么，?q*/?R<0，?r*/?R<0，進而?C*/?R<0。證畢。

結論1表明，最優的預防預算q*、最優的保護預算r*以及總風險應對預算C*都與可接受的風險期望損失R負相關。較高的R意味著項目經理對風險控制的要求較低，即將風險控制在較高的風險期望損失內就能使項目經理滿意，此時，對風險預防和風險保護投入的預算也較低；而當項目經理對風險控制要求越來越嚴格時，需要同時增加對風險預防和風險保護投入的預算，相應地，總的風險應對預算也隨之增加。

結論2初始風險概率對風險應對預算分配決策的影響如下

?q*/?P0>?r*/?P0>0, ?C*/?P0>0

證明分別求q*和r*關于初始風險概率P0的一階導數，可得?q*/?P0=(1/2+κδ)/[aκ(R-εδ)]，?r*/?P0=κR(L0-δ)/[2b(P0-ε)(R-εδ)]，那么，?q*/?P0-?r*/?P0=δ/[a(R-εδ)]>0；顯然，?q*/?P0>?r*/?P0>0，進而?C*/?P0>0。證畢。

結論2表明，隨著初始風險概率P0的增加，最優的風險預防預算q*、風險保護預算r*以及總風險應對預算C*呈現遞增的趨勢，且最優預防預算q*的增加速度大于最優保護預算r*的增加速度。即當初始風險概率增加時，若想滿足項目風險控制要求，不僅需要追加預防預算，同時還需追加保護預算。這是因為，在同樣的風險控制要求下，減少較高的初始風險概率需要投入較高的風險預防預算，而當將風險概率降低到一定程度后，單位預防預算所帶來的概率降低程度較小，此時可以通過增加風險保護預算的方式來降低風險損失，進而達到降低風險期望損失的目的。

結論3初始風險損失對風險應對預算分配決策的影響如下

?r*/?L0>?q*/?L0>0, ?C*/?L0>0

證明求q*和r*對初始損失L0的一階導數，可得?q*/?L0=(P0-ε)/[2aκ(L0-δ)(R-εδ)]、?r*/?L0=(κR+2ε)/[2b(R-εδ)]，?r*/?L0-?q*/?L0=ε/[b(R-εδ)]>0，顯然，?r*/?L0>?q*/?L0>0，?C*/?L0>0。證畢。

結論3表明，隨著初始風險損失L0的增加，最優預防預算q*、保護預算r*以及風險應對預算C*均呈現增加趨勢，且保護預算r*的增加速度高于預防預算q*的增加速度。這是由于初始風險損失的增加使得初始風險期望損失增加，若要滿足相同的風險控制要求，則需要向預防策略和保護策略投入更多的預算來降低風險。同時，單位預算所帶來的應對效果與風險概率或損失的初始值有關，當初始損失(或概率)較大時，預算投入到風險保護(或預防)所得到應對效果較好。因此，隨著初始風險損失的增加，風險預防預算和保護預算都會增加，且風險保護預算的增加速度較快。

定理2最優的風險預防預算q*和風險保護預算r*之間的關系如表2所示。

表2 最優的預防預算和保護預算之間的關系

證明首先，證明最優風險預防預算q*和風險保護預算r*之間的大小關系。比較q*和r*可得

(12)

當P0δ>R且L0ε>R(或P0δa(L0ε-R)時，q*>r*；當b(P0δ-R)=a(L0ε-R)時，q*=r*；當b(P0δ-R)

當P0δ>R且L0ε0>a(L0ε-R)，由 (12)式可知，q*>r*；同理，當P0δR時，b(P0δ-R)<0q*。

其次，證明是否需要同時向風險預防和風險保護投入預算。

當P0δ>R時，意味著單獨進行風險保護難以滿足項目風險控制要求，因此，需要向風險預防策略投入預算，即q*>0；類似地，當L0ε>R時，表明單獨進行風險預防無法將風險期望損失降低到可接受水平，此時需要通過風險保護來降低風險損失，進而達到降低風險期望損失的目的，即r*>0。顯然，當P0δ>R且L0ε>R時，需要同時對風險預防策略和風險保護策略投入預算，即q*>0，r*>0；當P0δ

情形1是否存在q*=0以及存在q*=0的條件。

q*=0意味著僅向風險保護投入預算就可以將風險期望損失降低到可接受水平，因此我們在P0δ

若q*=0，意味著最優的風險概率與初始風險概率相同，即P*=P0。由定理1可知，P*=(κR+ε)/(1+κδ)，那么P*=P0可替換為(κR+ε)/(1+κδ)=P0。通過公式變換可得

R=P0δ+a(L0-δ)(P0-ε)/2b±

(13)

R=P0δ+a(L0-δ)(P0-ε)/2b+

記為R′。即當R=R′時，q*=0。

情形2是否存在r*=0以及存在r*=0的條件。

與情形1相似，r*=0的前提條件是L0ε

R=L0ε+b(L0-δ)(P0-ε)/2a+

記為R″。即存在r*=0的情形，其存在的條件為R=R″。證畢。

對定理2進行分析可得到如下結論。

結論4當單獨向風險預防或風險保護投入無限多預算都不能達到風險控制要求時，風險預防和風險保護需要同時投入預算，且有效性較高的策略所投入的預算較多。

證明由定理2可知，在同時進行風險預防和風險保護時，更重視風險預防還是風險保護取決于(P0δ-R)/a和(L0ε-R)/b之間的大小關系。其中P0δ-R表示將損失減少到最低程度時的期望損失與風險控制要求之間的差距，可理解為風險概率的可控程度，當風險概率的可控程度較大時，需要更加關注風險預防，以達到降低風險的目的；a為風險預防系數，a越小表明單位預算能夠減少的風險概率越少，此時，更加需要向風險預防投入較多的預算來減少風險概率，從而降低風險期望損失。這里，將(P0δ-R)/a認為是風險預防策略的有效性，類似地，將(L0ε-R)/b認為是風險保護策略的有效性。因而，在滿足風險控制要求的條件下，對有效性較高的策略投入更多的預算能使得總風險應對預算最小。證畢。

結論5當僅采取預防策略就能夠滿足風險控制要求而僅實施保護策略難以滿足風險控制要求時，最優風險預防預算大于最優風險保護預算，反之亦然。

結論6存在僅采取單一應對策略就能達到風險控制要求的情形；且在ε=δ=0情形下，當a/b=R/(P0L0)時，僅采取保護策略，最優保護預算為r*=(b-a)/(ab)；當a/b=P0L0/R時，僅采取預防策略，最優預防預算為q*=(a-b)/(ab)。

證明由定理2可知，存在僅進行風險預防或風險保護就能滿足風險控制要求的情形；當ε=δ=0時，最優風險預防預算和風險保護預算分別為q*=(P0-κR)/(aκR)和r*=(κL0-1)/b。令q*=0可得，a/b=R/(P0L0)且r*=(b-a)/(ab)；令r*=0可得，a/b=P0L0/R且q*=(a-b)/(ab)。證畢。

結論6表明，當采取風險應對策略能使風險概率和損失降低到接近零，且預防系數和保護系數的比例與可接受的風險期望損失和初始風險期望損失的比例相等時，僅需向預防系數或保護系數較高的策略投入預算，且所投入的預算與初始風險概率、初始風險損失無關，僅與預防系數和保護系數有關。

4 結論與啟示

本文給出了考慮預防和保護的項目風險應對預算分配方法，通過該方法可得到最優的項目風險應對預算分配決策。對最優決策進行分析，可為項目經理提供如下管理啟示及決策建議：

(1)項目經理可根據具體的項目、風險以及策略信息來確定風險應對效果與預算之間的關系參數，并依據本文提出的模型確定最優的風險預防預算以及風險保護預算，從而實現以最少的風險應對預算滿足項目風險控制要求的目的。最優的項目風險應對預算與項目經理所設定的風險控制要求有關。當項目經理對風險控制的要求較高時，需要向風險預防和風險保護投入較多的預算；當項目經理對風險控制要求較低時，僅需投入較少的風險預防預算和風險保護預算?？梢钥闯?，風險控制要求與風險應對預算是兩個相互對立的目標，較嚴格的項目風險控制要求通常會導致較高的風險應對預算投入。因此，項目經理在進行風險應對時，需要在風險控制要求和風險應對預算之間進行權衡。

(2)隨著項目的持續開展，風險概率或損失的評估結果將會發生變化，此時需要項目經理及時調整風險應對預算分配決策，以滿足項目風險控制要求。具體地，當初始風險概率增加時，項目需要同時增加對預防策略和保護策略的預算投入，且向預防策略增加的預算投入大于向保護策略增加的預算投入；反之亦然。

(3)在實際項目風險管理中，針對多數項目風險，項目經理需要同時實施預防策略和保護策略來降低風險。此時，向預防策略投入更多的預算還是向保護策略投入更多的預算與策略的有效性有關。當初始風險概率較高、風險損失能降低到的最低程度較大且風險預防系數較小時，向風險保護策略投入更多預算已無法滿足風險控制要求，此時對風險預防給予更多的關注并加大對風險預防策略的預算投入可以帶來更大程度的風險降低，進而能以較少的應對預算來滿足風險控制要求。因此，在此種情形下，建議項目經理對風險預防給予更多的關注以及預算投入。反之，當初始風險損失較大、預防后的風險概率下界較大且風險保護系數較小時，建議項目經理更多地關注風險保護并向風險保護策略投入更多的預算。

本文從預防和保護的角度提出了項目風險應對預算分配方法，彌補了已有研究中較少關注應對資源分配問題的不足，豐富了項目風險應對的相關研究內容。本文的研究結論可為項目經理提供風險應對決策支持，具有實際應用價值。未來研究可以考慮采用歷史數據擬合的方式給出風險應對預算與應對效果之間的函數關系，從而給出更加準確的描述；此外，后續研究還可以探討多個風險情形下的應對預算分配問題，以更好地服務于項目風險管理實踐。