基于改進人工魚群算法的互感器Jiles-Atherton模型參數辨識*

林國營，宋強，潘峰，肖廈穎，李開成，王凌云

(1.廣東電網有限責任公司電力科學研究院，廣州 510000； 2.華中科技大學 電氣與電子工程學院 強電磁工程與新技術國家重點實驗室，武漢 430074)

0 引 言

電磁式互感器多使用非線性鐵磁材料制作。為了開展仿真平臺下的電磁式互感器特性研究，使仿真效果盡可能地接近實際情況，需要對試驗互感器搭建精確的鐵芯磁滯模型。描述磁滯現象的理論模型有Lucas、Jiles-Atherton模型(下文均簡稱為J-A模型)等。其中J-A模型因其控制參數較少而被廣泛應用在鐵磁材料的磁滯建模與仿真中。J-A模型各方程與參量均具有明確的物理意義，可以準確描述鐵芯磁滯回線的非線性關系。通過求解J-A模型的微分方程組便能夠得到與真實情況擬合度較高的B-H曲線，從而實現互感器的精確建模。

在難以直接獲取方程參數的場合中經常需要使用數學方法對參數進行辨識，即通過求解最優擬合參數來逼近理論參數。若求解結果的誤差足夠小，則認為擬合參數已經精確到可以取代理論參數[1]。J-A磁滯模型的參數雖具有實際意義，卻難以通過實測直接得到，所以要對其進行準確可靠的參數辨識。

目前應用于J-A模型參數辨識的常用算法主要是一些基于仿生學的智能優化算法，如遺傳算法、粒子群算法、模擬退火算法等，但是對于處理復雜的優化問題，單一的智能尋優方法往往存在顯著缺陷，不利于獲取精確的全局最優解，如模擬退火算法對初始溫度、溫度衰減系數等參數設置較為敏感，且搜索后期收斂速度較慢。

近年來，大多數文獻采用多種算法相結合的方式來尋找J-A模型的最佳參數組合。文獻[2]使用了粒子群算法(PSO)結合Simulink動態仿真的方法來擬合J-A磁滯回線模型，并獲取相關參數。該方法雖表現出較好的魯棒性和收斂性，但是算法復雜度較高，運行時間較長。文獻[3-4]采用神經網絡和遺傳算法相結合的方法，先使用神經網絡算法訓練尋優函數，再通過遺傳算法進行極值尋優，相比單優化算法達到了較高的擬合精度，但也導致了算法時效性不足。文獻[5]提出了一種結合混沌優化、遺傳算法和模擬退火算法的混合優化方法，犧牲算法簡便性以獲取較快的收斂速度。文獻[6]采用模糊控制方法獲取動態反饋系數進行蛙跳算法步長修正，減小了原本蛙跳算法的隨機性且具有一定的自適應能力，但對整體收斂品質提升不高。

使用一種基于變步長人工魚群和并行模擬退火算法的改進混合算法進行電磁式電流互感器鐵芯J-A模型的關鍵參數辨識。人工魚群算法是一種通過模擬魚群行為進行隨機搜索的智能優化算法，能夠快速將搜索域縮小至全局最優解的附近，但是該算法盲目性較大，導致后期尋優難以獲得更為精確的結果，同時減慢了尋優速度。而基于Meteopolis準則的模擬退火算法在搜索初期溫度較高時以較高的概率接受差解，從而不易陷入局部最優解；在溫度較低時，允許差解的概率變低從而使搜索更為精確。本文提出的改進混合算法，在尋優前期利用人工魚群算法快速接近全局最優解，并引入變步長因子減小算法的隨機性；再使用模擬退火算法在較小范圍內進行局部搜索，同時利用并行控制策略進行多線程運算。改進混合算法解決了魚群算法效率較低以及退火算法難以大范圍搜索的問題，能有效提高J-A模型參數辨識的時效性與精確度。

1 互感器Jiles-Atherton模型

互感器等效模型的準確性和有效性，關鍵在于鐵芯磁滯現象的物理描述與數學表達[7]。目前，描述磁滯現象較為經典的模型有Lucas模型和Jiles-Atherton(J-A)模型等[8-10]。其中J-A模型所需辨識的參數較少，實現起來較為方便，PSCAD等多款電力仿真軟件中都嵌入了基于J-A理論的互感器等值模型。該模型適用性廣且便于擴展研究。

在J-A理論模型的基礎上又出現了多種改進策略，不同文獻對于J-A理論的引用和轉述也不盡相同，采用文獻[7]提出的改進J-A模型作為互感器建模仿真的基礎。

磁化強度M、磁場強度H與磁通密度B之間的關系為：

B=μ0(H+M)

(1)

式中μ0=4π×10-7為真空磁導率。

根據能量守恒原理得到能量方程式：

(2)

式中He表示有效磁場強度；α為表征磁疇內部耦合的平均場參數；Man為無磁滯磁化強度，即理想材料的磁化強度；Mirr表示M中的不可逆磁化分量；Mrev表示M中的可逆磁化分量。He、Man、Mirr和Mrev的表達式如下：

He=H+αM

(3)

(4)

M=Mirr+Mrev

(5)

Mrev=c(Man-Mirr)

(6)

再由式(5)和式(6)得到：

Mirr=(M-cMan)/(1-c)

(7)

將式(3)～式(7)帶入能量守恒式(2)，可得：

(8)

式中δ是一個符號函數，當dH/dt>0時，δ=1， dH/dt<0時，δ=-1。

為了消除J-A的非物理解，對式(8)進行修正，修正后的J-A模型方程為：

(9)

(10)

(11)

上述公式中修正系數β通常取0.96。Ms、a、α、c、k為J-A模型中待求的5個未知參數，都具有明確的物理意義:Ms代表飽和磁化強度，a為朗之萬函數參數；α為磁疇內部耦合的平均場參數；c為可逆磁化系數；k為損耗系數。因此,對于每種鐵磁材料，其參數是確定的，且能準確反應該材料的磁化特性。

2 基于改進混合算法的智能尋優算法

由上一節描述可知，互感器J-A模型參數辨識問題可以看作一個計算量非常龐大的非線性方程組求解問題，群體智能優化算法因其在大數據環境下良好的計算能力而常被應用于解決此類問題。

2.1 人工魚群算法

人工魚群算法(Artificial Fish Swarm Algorithm， AFSA)思路來自于自然界魚群總是朝向食物濃度高的地方移動這一特征[8]，將計算模型的目標函數作為搜索目標，模擬魚群的行為方式，在一定范圍的搜索域中尋找最佳目標及其對應的控制變量參數。相比于其他的智能尋優算法，AFSA只將尋優目標值作為唯一辨識條件，對約束范圍的依賴性小，且對初值與參數設定不敏感，適應性廣[9]；引入變步長因子的AFSA，其移動步長根據條件靈活應變，具有自適應能力，整體收斂速度較快。

將計算模型的關鍵參數作為人工魚的位置坐標，若存在k個模型參數，那么在共有N條人工魚的魚群中，第i條人工魚位置Xi=(x1i,x2i,…,xki)，其中xki為第k個參數的取值。將這些參數帶入計算模型和目標函數中得到因變量Yi作為該位置的食物量(即尋優目標)，每次迭代通過模擬各種魚群行為來更新人工魚的位置，使得魚群朝向食物量最大的區域聚集[10]。以求極大值問題為例，AFSA三種典型的人工魚行為描述如下：

(1)覓食行為。人工魚當下位置為Xi，在其感知范圍內隨機另選位置Xj，比較這兩個位置的食物量Yi和Yj，若Yj>Yi，則向Xj方位前進一步。否則重新選擇位置Xj，若反復試驗一定次數后Yj仍不能超出Yi，則判定其不滿足前進條件，人工魚隨機移動一步；

(2)聚群行為。設第i條人工魚Xi當前可視范圍內的伙伴數量及中心位置分別為nf和Xc，當Yc/nf>δYi(δ為擁擠度)時，表示伙伴中心的食物密度較高，則Xi朝該方位移動一步，否則執行覓食行為；

(3)追尾行為。類似于聚群行為，記當前可視范圍的伙伴中Xj的食物量Yj最大，如果Yj/nf>δYi，表明伙伴Xj所處位置具有較多食物，則Xi朝該方位移動一步，否則執行覓食行為。

雖然AFSA前期能較快收斂，縮小搜索域的約束范圍，但其在小范圍內的精確檢索卻較為緩慢，無法快速獲取高精度要求下的最優目標值[11]。這一缺陷在處理復雜優化問題時表現的尤為明顯。該算法一旦進入到目標值更迭不明顯的搜索域時，AFSA的收斂速度大幅減慢，難以逼近全局最優解。總的來說，AFSA后期較差的搜索性能抑制了算法的總體尋優能力，搜索至一定精度后難以得到進一步優化，極大地減慢了運算速度，嚴重影響其搜索質量和效率[12-13]。

2.2 改進混合智能尋優算法

模擬退火(Simulated Annealing,SA)算法最早是由Metropolis等提出，后來逐漸發展成一種迭代自適應啟發式概率性搜索算法[14]。該算法具有較高的魯棒性且局部搜索能力強。為了使J-A模型參數辨識更加精確，盡可能地縮小全局誤差，文中在人工魚群算法的基礎上引入模擬退火算法，使混合算法在前期使用AFSA進行快速收斂，后期利用SA進行局部搜索，進一步精確尋優。

SA在Metropolis準則的基礎上判定是否接受搜尋優過程中的產生的新解。假設計算模型的目標函數為f(x)，自變量為x。當溫度為T時，若當前解為x1，不同于x1的一個新解為x2，其目標差df=f(x1)-f(x2)，則Metropolis準則為：

(12)

如果df<0，則以概率1接受新解；否則以概率exp(-df/T)接受新解。

在人工魚群算法中，認為食物量為魚群尋找的目標函數，魚群向著食物較多的方向移動。依循以上思想，將J-A模型的五個關鍵參數的取值作為人工魚的位置坐標。目標函數Fitness如式(14)所示。當目標函數達到最大時，參數辨識水平最高，即互感器J-A模型與實際測量數據的擬合度最高。

(13)

(14)

在J-A模型計算量較大的應用環境下，尋優算法的消耗時長具有一定的隨機性。所提出的改進算法在搜索前期對傳統人工魚群算法引入變步長因子控制其隨機性，使個體選擇適合的步長移動，加快人工魚群算法在搜索前期的迭代速度；在搜索后期引入并行策略，使得模擬退火算法通過四條線程并行運算，取得不錯的擴展性，且可以更快收斂。改進算法運用于J-A模型參數辨識的主流程如圖1所示。

圖1 基于人工魚群和模擬退火算法的改進混合算法流程圖Fig.1 Flow chart of the improved hybrid algorithm based on AFSA and SA

改進混合算法描述如下：

(1)建立Jiles-Atherton互感器磁滯回線模型：

B=f([Ms，a，α，c，k]，H)

(2)給定J-A模型參數辨識問題的約束條件，在約束條件的范圍內隨機對Ms，a，α，c，k五個參數取值，得到n組隨機參數組合，每個隨機參數組合視為一條人工魚的位置坐標。

(3)執行變步長人工魚群算法，流程圖如圖2所示。

圖2 變步長人工魚群算法流程圖Fig.2 Flow chart of the variable-step artificial fish swarm algorithm

(a)初始化人工魚群：設定個體數量n、最大迭代次數maxgen、搜索前期閾值Ymax1、定步長step；將人工魚群記為{X1,X2,…,Xn}，對應目標函數記為{Y1,Y2,…,Yn}；

(b)執行聚群行為和追尾行為，若滿足Y(X)>Yi(Xi)，則改變當前人工魚的位置坐標Xi=Xi+rand*step*|X-Xi|，其中rand是小于1的隨機數，目的是對定步長step進行自適應修正。取兩種行為獲取的較大目標函數值更新Yi，人工魚隨之移動到對應位置Xi；

(c)獲取整個魚群中最高的目標函數Ybest=max[Yi]，以及Ybest對應的人工魚位置Xbest，即得到搜索至此的最佳J-A模型參數組合；

(d)若此時Ybest小于前期閾值Ymax1，則進入下一次迭代，迭代次數gen=gen+1，繼續執行(2)～(3)的迭代過程，直至Ybest>Ymax1，前期搜索結束，轉而進入并行模擬退火算法；

(4)進入并行模擬退火算法，流程圖如圖3所示。

圖3 并行模擬退火算法流程圖Fig.3 Flow chart of parallel simulated annealing algorithm

(a)參數初始化：初溫T0，終止溫度Tend，鏈長L，降溫速率q，最大允許誤差per_erro；

(b)主線程和分線程同時輸入初解作為模擬退火當下溫度的初始解，初解為前期搜索獲取的最優解，有：S1=Xbest；

(c)主線程負責記錄初始解，分線程進入溫度迭代過程，根據Metropolis法則，進行1次解更新，更新后的解和初始解一起比較選出當前最優解ybest，以及對應的xbest和當前誤差erro；

(d)若erro依然大于計算允許的最大誤差per_erro，則將當前局部最優解作為主線程和分線程下一退火溫度的初始解，令T0=q*T0，繼續迭代步驟(c)，直至erro

(5)若全局最優值Ybest未達到后期閾值Ymax2，則令迭代次數gen=gen+1，繼續執行(2)～(5)，直至Ybest>Ymax2，結束搜索，對應的參數組合[Ms，a，α，c，k]即為J-A模型參數辨識的結果。

3 改進混合算法的參數辨識及誤差對比分析

為了驗證上述改進混合算法的時效性和精確性，利用Matlab工具進行該算法下的J-A模型參數辨識。仿真計算程序由Matlab2016編譯運行，計算機CPU型號為i7-5930K、3.5 GHz,內存為32 GB。

文章使用的實測數據來自文獻[6]，J-A模型的五個參數的取值范圍及理論值如表1所示。

表1 J-A模型參數范圍及理論值Tab.1 The range and theoretical values of J-A parameters

實測數據為1 000組B-H值，將H帶入式(1)、式(4)和式(6)，計算對應的B值，使得目標函數fitness達到全局最優解，并得到最優解所對應的五個參數a,c,k,α和Ms的值，即為辨識結果。

本節分別用粒子群算法、人工魚群算法、以及改進混合算法對J-A模型進行參數辨識。其中魚群算法及其改進算法均設定魚群數為20只，最大迭代次數為20次。參數辨識結果對比如表2所示。

表2 參數辨識結果及計算時間對比Tab.2 Comparison of the identified J-A parameters value and computation time

改進混合算法和魚群算法的相對理論曲線的擬合情況對比如圖4所示，可發現兩種方法的曲線擬合效果均較好，幾乎無可視誤差。

圖4 B-H曲線辨識結果對比Fig.4 Comparison of identified B-H curve

由表1可以看出，改進混合算法的辨識精度最高，單一的人工魚群算法精度次之，而粒子群算法精度最低，算法耗時排序則正好相反，綜合來看，改進混合算法可以在最短時間內辨識出更加精確的全局最優解，參數辨識時效性和精準度均優于其他兩種方法，尤其是與人工魚群算法相比，改進混合算法的最優解相對誤差減少了0.2個百分點，僅為魚群算法相對誤差的一半。

人工魚群算法及改進混合算法收斂速度對比如圖5所示。圖5中明顯可以看到，魚群算法在前5次迭代時目標值優化速度較快，但從第6次迭代開始目標值停留在1.48附近不再繼續增加，直至達到最大迭代次數，相對而言整體收斂速度較慢。而采用改進混合算法時，在第6次迭代后跳出魚群算法的約束，轉用并行模擬退火算法進行局部尋優，使得后期也達到了較高的收斂速度，快速收斂至第10次迭代，之后目標值穩定在1.475直至收斂結束，具有較優的搜索質量。多次使用改進混合算法進行參數辨識仿真實驗可以發現，尋優迭代曲線基本一致，算法的隨機性降低，收斂速度較為穩定，平均4.8次迭代即可達到前期閾值，平均11.5次可達到全局最優解。故而可設定最大迭代次數在15次以內，改進算法在300 s以內即可得出互感器J-A模型參數辨識結果，準確度高且搜索速度快。

圖5 優化值進化曲線對比Fig.5 Comparison of fitness value curves

4 結束語

提出了一種基于變步長人工魚群算法和并行模擬退火算法的改進混合算法，用于互感器J-A模型的5個關鍵參數辨識問題中。改進算法在搜索前期利用變步長人工魚群算法接近全局最優解，搜索后期利用并行模擬退火算法進行進一步的局部搜索，以獲取更為準確的全局最優解及其對應的參數辨識結果。建模仿真實驗也驗證了改進算法在較少的收斂次數下能獲取更加精準的全局最優解，且計算速度不受傳統算法隨機性制約，穩定性較高。相比于傳統的粒子群算法和人工魚群算法，在耗時較短的情況下即可將精度提高近一倍之多，有效提升了互感器J-A模型參數辨識的效率和精度。該算法可應用于互感器特性研究的仿真實驗中，能有效構建更為準確可靠的互感器模型，具有較高的實際應用價值，適用性較廣。