高中數學函數與回歸方程淺探

（北京師范大學株洲附屬學校 湖南株洲 412000）

引言

函數是數學中最為典型的一種關系，這種關系是一種對應性的關系，主要表達的是，當A隨著B的變化而變化，那么就可以說A是B的函數，但是具體的函數關系有很多，不同的函數之間的表達式也各不相同。如果我們想要正確的理解認知這些概念，不僅要函數進行表面性的理解，還要學會將函數的理論知識應用到實際的答題過程中進一步的理解其內在含義。回歸分析法就是一種解決函數問題的最優選擇。

一、回歸方程特點

根據函數和回歸方程的定義，可以看出二者雖然具有一定的差別，但是二者之間存在著很多相似點和聯系。函數是一種理想的關系模型，而回歸方程是一種非確定性的關系，存在隨機變量。想要在解決函數問題時采用回歸方程，就要使用回歸分析法，這種方法主要是根據基礎數據求值，最后得到回歸方程。在進行回歸分析中，首先要找到自變量和因變量，然后根據回歸方程進行具體的分析。也就是說，在實際解決函數問題時，要根據問題中所給出的具體數據，畫出散點圖，然后區分自變量和因變量并且判斷二者是否具有相關性。通過上文的分析，可以看出回歸分析法具有以下幾個特點，第一，回歸方程中兩個變量并不對等，分為自變量和因變量，具體要根據實際問題進行判斷。第二，根據回歸方程可以推導出因變量的估計值。第三，在不同關系的回歸方程中，不能進行替換，方程之間相互獨立。

二、實際例題詳解

1.例題一

例：一家服裝廠有很多設備，想要對設備進行管理，明確具體成本，因此將設備的使用年限設為x，并將設備需要支付的維修費用設為y，根據服裝廠提供的資料，得到了如表1所示的X、Y數值：

表1 該服裝廠的X、Y數值

根據表1中的具體數值能夠確定在維修費用y和使用年限x之間有著一定的關系，要求出二者之間的線性回歸方程，并且根據上述數據推導出，當該服裝廠設備使用年限x=10時，對應的設備維修費是多少[1]。

解：首先求出計算線性回歸方程所需要的具體函數，首先，維修費用y和使用年限x的平均數，然后，要計算出xi2和xiyi的總和等數值，最后，根據y=bx+a的方式得到b和a。

將x=10帶入到該回歸方程中，就可以估算出當該服裝廠設備使用年限x=10時，對應的設備維修費y=12.38。在解答這一題目的過程中，首先通過具體的數據判斷出維修費用y和使用年限x之間存在線性關系，在這的情況下，省略了檢驗這一步驟，如果無法確定二者關系時，就要進行檢驗工作，如果兩個變量之間沒有相關性關系，或者二者之間的關系并不顯著，那么回歸線性方程就是失去了作用，使用回歸線性方程所得到的結果也不是最優解，因此可知，在使用回歸方程時，必須要確定兩個變量之間的關系，以此可以更加準確的解決具體問題，并且提升解題效率。

2.例題二

例：某農業科研所在對新品種大豆的發芽情況進行研究時發現，冬季晝夜溫差大小和新品種大豆的發芽數之間有著一定的關系，為了明確二者之間的關系，該農業科研所進行了研究，并且記錄了五天的數據，包括每一天的晝夜溫差情況以及每天每100顆種子中的發芽數，得到了如下資料：

表2 科研所的具體數據

解題思路：在五組數據中，借助其中三組數據求出線性回歸方程，在利用剩余兩組進行檢驗，但是需要注意的是，在求解線性回歸方程之前，必須要判斷，用于檢驗的兩組數據不是相鄰數據的概率，以此得到線性回歸方程的準確性較高。

解：首先要求出兩組數據恰好是不相鄰數據的概率，因為在五組數據中選出兩種數據的情況一種有十種，每種結果的出現的概率相同，那么抽到相鄰數據的情況有四種，因此兩組數據恰好是不相鄰數據的概率為3/5。繼而分別求出發芽數y和溫差x的平均數，分別為27和12，然后計算出xi2和xiyi的總和等數值，在此基礎上就可以求出二者之間的線性方程如下：

3.例題三

例：某工業車間為了提高生產產量，加快生產效率，展開加工試驗，確定加工零件所需要花費的時間，繼而確定工時定額，得到了十組試驗數據，要求根據數據內容得到加工200個零件所需要花費的時間[2]。經過前兩道例題的分析可知，首先要通過給出的具體數據進行分析，判斷加工時間和零件數之間的關系，進而求出具體的回歸線性方程，根據方程預測得出加工200個零件所需要花費的時間，需要的內容依舊為：y和x的平均數，然后計算出xi2和xiyi的總和等數值，最后根據y=bx+a，得到b和a的數值。

結語

綜上所述，通過本文對高中數學函數與回歸方程的詳細研究，基于函數和回歸方程的相關概念知識，對二者之間的關系和作用有了簡單的了解，并且將回歸方程應用到了函數數學例題中，并且對題目詳細的計算，以此明確了回歸分析法對函數數學題目的作用。未來，在遇到同類型的函數數學題目時，我們也可以通過建設對應回歸方程的方式進行解答。但是，還需要進一步提高我們的理論知識記憶能力和實際運用能力。