巧解“最短距離”問題

（合肥五十中新校 安徽合肥 230000）

先看這類問題最基本的例子：

要在河邊修一個(gè)水泵站向A、B兩個(gè)村莊供水（如圖1），村莊A、B在河道兩側(cè)，那么水泵站應(yīng)該建在什么地方，才能使它到A、B兩個(gè)村莊的距離之和最小？

分析：這個(gè)問題可以直接應(yīng)用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決，連接AB交于點(diǎn)P（如圖2），此時(shí)AP+BP=AB，故點(diǎn)P就是應(yīng)該建水泵站的位置。

圖1

圖2

下面來看這個(gè)問題的一些變式。

一、利用軸對(duì)稱進(jìn)行轉(zhuǎn)化并求最短距離

例1 如圖3，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線直線l上求作一點(diǎn)P，使得AP+BP最小.

分析 解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，就可以運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”來找到使距離最短的點(diǎn)。利用軸對(duì)稱的知識(shí)，若作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’（如圖4），則直線l上任意一點(diǎn)到A和A’的距離相等，點(diǎn)A、B到直線l上一點(diǎn)距離之和最短問題就轉(zhuǎn)化為A’、B到直線l上一點(diǎn)距離之和最短的問題，也就是我們最開始看到的基本問題。

圖3

圖4

解：如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求做，此時(shí)AP+BP最小.

例2 如圖5，牧區(qū)內(nèi)有一家牧民，點(diǎn)A處有一個(gè)馬廄，點(diǎn)B處是他的家.l1是草地的邊沿，l2是一條筆直的河流。每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處.請(qǐng)為牧民設(shè)計(jì)一條最短路線。

圖5

分析 我們需要在l1上找到一點(diǎn)M，在l2上找到一點(diǎn)N，使得AM+MN+BN最小，若作點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B′（如圖6），則根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)A’M=AM，B’N=BN，要使得AM+MN+BN最小，只要讓A’M+MN+B’N最小即可，這便轉(zhuǎn)化成了“兩點(diǎn)之間距離最短”的問題。

解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′交l1于點(diǎn)M，交l2于點(diǎn)N，則A→M→N→B的路程最短.

練習(xí)1 （2012·蘭州中考）如圖7，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，求∠AMN+∠ANM的度數(shù).

圖6

圖7

二、利用平面展開進(jìn)行轉(zhuǎn)化并求最短距離

例3 如圖8，有一個(gè)長方體盒子，長4，寬2，高8，盒子的A點(diǎn)處有一只壁虎，B點(diǎn)處有一只蒼蠅，壁虎想沿著長方體盒子地表面去捕捉蒼蠅，請(qǐng)你計(jì)算出壁虎爬行的最短距離.所有

分析 若能將A點(diǎn)和B點(diǎn)放到一個(gè)平面內(nèi)，問題就轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“兩點(diǎn)之間線段最短”的問題了。

圖8

思考：怎樣將A點(diǎn)和B點(diǎn)放到一個(gè)平面呢？有幾種不同的方案？哪種方案最佳呢？

解：展開長方體的側(cè)面（如圖9），連接AB.

圖9

練習(xí)2 如圖10是一個(gè)圓柱形儲(chǔ)油罐，底面半徑為2米，高為5米，在底部A處準(zhǔn)備修一個(gè)繞油罐的螺旋式樓梯到達(dá)位于上底面B處，則樓梯至少多長？

圖10

圖11

練習(xí)3 （2012·青島中考）如圖11，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，求螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離.