光線龐加萊球法構建的結構光場及其傳輸特性研究?

張書赫 邵夢 周金華

(安徽醫科大學生物醫學工程系,合肥 230032)

(2018年5月8日收到;2018年9月29日收到修改稿)

1 引 言

隨著激光技術的發展與波前調制技術的進步,越來越多具有新奇性質的光場呈現在人們眼前.例如厄米-高斯光束,它的橫截面光斑分布為矩形矩陣狀;拉蓋爾-高斯光束攜帶軌道角動量,強聚焦后能使被俘獲物體產生規則的旋轉[1];無衍射光束[2]的光斑強度與大小在較長的傳輸范圍內保持不變;自加速光束[3,4]的主瓣光斑在均勻介質中沿著曲線傳播.在這些新奇的光束中,結構光束(包括最經典的三類結構光束為厄米-高斯光束、拉蓋爾-高斯光束以及Ince-高斯光束[5,6])由于具有復雜的相位信息與光強分布被廣泛應用于信息傳遞[7]、顯微成像[8,9]或微粒操縱[10?12]等領域,促進了相應領域技術的發展.

在不同坐標系下赫姆霍茲波動方程在一定的邊界和近似條件[6](如傍軸近似,緩變近似等)的特解[13],對應為結構光束.從設計激光器的角度分析,對于某一光學諧振腔而言,選取解方程的坐標系即選擇光學諧振腔鏡面的幾何形狀[14],赫姆霍茲方程相對應的解就為該光學諧振腔能穩定生成的光束.例如矩形曲面反射鏡的諧振腔能獲得厄米-高斯光束及其高階模式,而在圓形曲面反射鏡下能獲得拉蓋爾-高斯光束及其高階模式[15].

從幾何光學的角度來分析,光線在諧振腔的兩個鏡面之間穩定的往復反射,可以等效為某質點在曲面反彈板之間的往返反彈.若將質點在兩個反彈板的往復運動向中間平面進行投影,其投影點的運動呈現為二維的簡諧振動,而這個運動軌跡的形狀為橢圓[16].考慮到龐加萊球面上的點可以描述單位圓內的橢圓,2017年Alonso和Dennis[16]提出了光線龐加萊球法設計復雜結構光束的一般方法.該方法可再現厄米-高斯光束與拉蓋爾-高斯光束,并給出這些光束的光線表征與光場沿光線的傳輸方式[17]以及設計一些其他的結構光束.光線龐加萊球法給研究結構光束的設計與傳輸提供了新穎的、可視化的方案.

本文運用光線龐加萊球法結合梅花曲線設計了一系列結構光束,并展示了這些光束在束腰面的光場復振幅分布以及該類光束在一定條件下退化為拉蓋爾-高斯光束以及局部無衍射光束[16](因為真正的無衍射光束,例如貝塞爾光束、馬蒂厄光束和Airy光束等,都具有無限的能量,以保證光強在傳播無限遠的距離內都不發散.而文中的光束光強分布均被限制在光束的外焦散線內,只能在一定的傳播范圍內保證無衍射的特性,故稱為局部無衍射光束).最后本文采用角譜衍射[18]展示這些結構光束在真空中的傳輸特性,包括光束的自修復特性以及無衍射特性,并采用光線追跡對這些性質予以解釋.

2 光線龐加萊球法構建梅花形結構光束

2.1 龐加萊球與橢圓光線軌道

如圖1所示,龐加萊單位球面上任意一點由經度角φ與緯度角θ共同確定.不同于以往龐加萊球描述偏振態的關系,這里僅取其球面上點的方位角與瓊斯向量v的關系為[16]

每一個瓊斯向量v可確定唯一一個實空間內斜橢圓的參數方程Q(τ)=(Qx,Qy)以及從Q點出發的光線的橫向方向向量(x和y方向)P(τ)=(Px,Py),即

其中0 6 τ 6 2π;Q0為非負實數,決定了光束束腰寬度,其值越大光束束腰越寬;P0為非負實數,決定了光線偏離z軸的程度,其值越大光線偏離z軸角度越大.光線從橢圓上以Q(τ)為起點,以方向[P(τ),1]傳播(在傍軸條件下有|P(τ)|? 1).這樣均勻介質下光線方程(ray equation)就可以寫為Q+zP.將這些光線方程結合文獻[17]中光線構建光場的理論,能構建光束在三維空間中的光場分布.雖然該方法直接計算三維光場分布較為復雜,但是它經過簡化后可以推導出光束在束腰平面內的光場分布公式(見第2.3節(9)式),并且光束在真空中傳輸后的光場可以通過衍射理論計算得到,故本文采用光線龐加萊球法計算光束束腰面的光場分布,并結合角譜衍射理論計算光束的三維光場分布.

理論上龐加萊球面的任意一組曲線都可以用來構建對應的光場,而直接分析三維曲線較為復雜.為了簡化分析,我們只考慮位于龐加萊球上半球面的曲線.將該曲線投影到z=0平面(赤道平面),這樣龐加萊球面的曲線與其赤道平面的投影曲線成為唯一的對應關系——在z=0平面上有且僅有一條曲線與龐加萊球面上已知曲線形狀對應.研究龐加萊球面上三維曲線的問題從而簡化為研究赤道平面的單位圓(Poincaré equatorial disk,PED)內二維曲線問題.

圖1 龐加萊球面上點與實空間中橢圓的對應關系 (a)龐加萊球面上的點由經度角φ與緯度角θ共同確定;(b)實空間內橢圓的參數,可通過(1)式與(2a)式由龐加萊球面上的點來確定(參考視頻mov1.avi)Fig.1.Relationship between an Ellipse in real space and a point on the Poincaré sphere:(a)The location of a point on Poincaré sphere is determined by longitude φ and latitude θ;(b)the parameter of an ellipse in real space can be described by a point on Poincaré sphere given by Eq.(1)and Eq.(2a)(see also mov1.avi).

2.2 梅花曲線作為PED路徑

選取梅花曲線作為龐加萊球面空間曲線在PED內的投影路徑,單位圓內的梅花曲線可以由心形線改寫而來[19],其參數方程為

參數0 6 η 6 2π;非負整數b為花瓣數;無量綱參數a控制梅花填充PED單位圓的程度,a越大,曲線越趨向于單位圓.圖2(a)展示了PED單位圓內a=b=3的三瓣梅花曲線,該曲線為圖2(b)中龐加萊球面上空間曲線在PED上的投影.根據幾何關系,龐加萊球面點的經度角φ與緯度角θ表示為η的參數方程,即

值得注意的是,并非所有由(3)式描述的梅花形PED路徑都能適于構建光場.為了構建合理的結構光場,參數Q0和P0需要滿足第一個量子化條件[16]

其中N為非負整數;k=2π/λ為光波數,λ為光波長.該量子化條件限制Q0和P0只能選取為分立值.以基模高斯光束束腰半徑ω0為參考,Q0可表示為

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圖2 PED路徑與龐加萊球面上三維曲線的關系 (a)PED內的投影為梅花曲線;(b)龐加萊球面曲線,該曲線所包絡的龐加萊球面上的曲面面積為?,它在PED內的投影即是(a)中的PED路徑Fig.2.Relationship between Plum blossom PED path and a spatial curve on the Poincaré sphere:(a)A plumblossom curve PED path;(b)a space curve(colorful)lays on the Poincaré sphere,the area of sphere surface within the colorful curve is ?.The PED path in Fig.2(a)is the projection of the colorful space curve on Poincaré sphere.

根據(6)式和光束束腰半徑ω0就可得到Q0的值,進一步通過(5)式獲得P0的值.此外,龐加萊球面上三維曲線所包圍的球面部分的曲面面積?為關于a和b的函數.則第二個量子化條件為[16]

由于(2)式確定的橢圓尺寸依賴于Q0的大小,為了統一表示,這里令Q0=Q/Q0將坐標系歸一化,使橢圓均被歸一化到同一單位圓內,這個單位圓也被稱為物理盤(physical disk).至此,PED上每一個點對應于龐加萊球上半球面上唯一的點,并對應于物理盤上唯一的一個橢圓.

如圖3所示,圖3(a1)中PED內一條三瓣梅花曲線c,過曲線c上每一點可找到與c外切且與單位圓內切的圓(圖3(a1)中青色小圓),記這些圓的圓心為t1;此外還能找到與c內切且與單位圓內切的圓(圖3(a1)中粉色小圓),記這些圓的圓心為t2.t1與t2的坐標可以通過數值求解的方法獲得,根據中軸線的定義可知t1與t2即為PED曲線與單位圓的中軸線[20].圖3(a2)為完整相切曲線.在物理盤上,根據坐標變換

可以將PED內t1與t2的點分別映射到物理盤內的q1與q2,如圖3(b1)所示(為清晰展示,圖3(b1)僅繪出q1與q2曲線中一部分,完整的曲線見圖3(b2)).q1與q2構成了歸一化尺寸橢圓Q0=Q/Q0的外包絡與內包絡,乘以系數Q0后,就構成了實空間光束束腰面的焦散線,見圖3(b2).外焦散線(藍色曲線)決定了光束光斑圖樣的包絡(例如厄米-高斯光束的矩形光斑陣對應了矩形外焦散線),內焦散線(洋紅色曲線)決定了光束內部光斑較亮區域的位置.此外,擁有內焦散線的光束還具有一定的自修復特性[21].

圖3 PED內曲線每個點構成物理盤內的橢圓(a1)PED內梅花曲線路徑以及兩中軸線t1與t2的一部分;(b1)物理盤上的橢圓以及q1和q2的曲線一部分;(a2)完整的t1(深藍色)與t2(洋紅色)曲線;(b2)完整的q1與q2曲線,他們分別構成橢圓的外與內包絡線,對應于光束的外與內焦散線(參考視頻mov2.avi)Fig.3.Each point in PED path corresponds to an ellipse in physical disk:(a1)Plum blossom PED path and parts of medial axes t1and t2;(b1)ellipses in physical disk and parts of q1and q2curves;(a2)full path of t1(deep blue)and t2(magenta);(b2)full path of q1and q2,q1and q2are ellipses’envelope curves,q1is the outer curve and q2is inner curve.They represent outer caustic and inner caustic of beam,respectively(See also mov2.avi).

當選取滿足(5)和(7)式兩個量子化條件的參數Q0,P0,a和b后,便可確定t1與t2或q1與q2的路徑.

2.3 束腰面上光場計算

結構光束的束腰面上光場復振幅分布可由(9)式確定[16],

(11)式中上標T表示向量轉置.此外(9)式中UN代表每個橢圓的光場貢獻,其計算式為

其中HN為N階厄米多項式.

(9)式的物理意義可以理解為“束腰面上的光場視作每個橢圓軌道的光場乘以對應的相位延遲后的干涉疊加”[16].對于滿足第二個量子化條件(7)式的不同的曲線參數a和b,當選取合適的參數Q0和P0后就可以得到一個對應的結構光束束腰面光場分布.從(4)—(9)式可以發現,參數Q0與P0只影響光束的束腰大小與光線方向,而梅花曲線參數a與b決定了光場分布圖樣.當花瓣數b預先確定后,只需要計算滿足(7)式的參數a,即計算整個束腰面上的光場分布.本文將展示b=0與b=1兩個特殊花瓣數下的結構光場以及一個花瓣數為b=5情況下的結構光場.

3 梅花結構光束的傳輸特性

在下列計算中均選取N=45,n=15,λ=1.064μm和ω0=10μm(Q0≈ 67.82μm)的光束參數.光束瑞利距離zR=πω20/λ≈295.26μm.

3.1 b=0的結構光束

當b=0時梅花曲線(3)式退化為半徑等于[a/(1+a)]2的圓方程,此時滿足(7)式的參數a≈35.82.由梅花曲線構建的結構光束如圖4所示.在圖4(a)中,PED路徑為圓形,其兩個中軸線t1與t2同樣為圓形.圖4(b)展示了從PED路徑對應到物理盤后的橢圓及其內外焦散線的結構分布.可見用于構建該光束的橢圓形狀相同,只是旋轉的角度不同.其內焦散線與外焦散線分別對應于洋紅色以及深藍色曲線.根據(9)式構建得到光強分布(圖4(c))與相位分布(圖4(d)),可以證明該光束即為拉蓋爾-高斯光束[16].由于選擇參數N=45,n=15,則光束對應的徑向量子數p=n=15,角向量子數l=N?2n=15,符合拉蓋爾-高斯光束的波動方程公式所計算的結果.

圖4 b=0梅花曲線構建的結構光場 (a)PED內梅花曲線變為圓,t1與t2為同心圓;(b)物理盤上橢圓的分布;(c),(d)分別為(9)式構建得到的光束束腰上光強與相位分布,該光束同時也是軌道量子數l=15、徑向量子數p=15的拉蓋爾-高斯光束Fig.4.A structured beam with b=0:(a)The Plumblossom curve turns into circle.Medial axes t1and t2are concentric circles;(b)ellipses in physical disk;(c)the intensity pattern;(d)the phase pattern.This is also known as a Laguerre-Gaussian beam with l=15 and p=15.

3.2 b=1的結構光束

當b=1時,a≈27.42,梅花形結構光束如圖5所示.梅花曲線(3)式退化為圖5(a)中的心形線.由于此時(3)式中參數a的值相對正弦部分很大,且正弦部分變化緩慢,故心形線趨向于一個圓.中軸線t1近似為一個離心率很小的橢圓,中軸線t2集中在單位圓的圓心附近,近似為一個點.其光束外焦散線q1近似為離心率很小的橢圓,內焦散線q2匯聚至兩個點如圖5(b)所示.光束光強分布在內焦散線附近明顯處于峰值,如圖5(c)所示.由于光線與這兩條焦散線相切,光波沿著這兩條三維內焦散線相干疊加,使得光束具有局部無衍射特性.

圖5 b=1時梅花曲線構建的光束 (a)PED路徑為緊貼單位圓的心形線;(b)物理盤內橢圓及其焦散線分布情況;(c),(d)光束束腰面上的光強與相位分布;注意到光強在內焦散線附近變強Fig.5.Structured beam with b=1:(a)The plumblossom curve is turned to be a heart curve;(b)ellipses in physical disk,the inner caustic is then concentrating to two points which make beam having nondiffraction feature;(c)intensity pattern;(d)phase pattern.Noticed that the intensity near the caustic becomes stronger.

我們采用角譜衍射計算圖5構建的光束在yoz面上傳播的光強分布,并使用光線的起點與終點兩個端點表示光束在xoy面上的光線分布,以此來演示光束的自修復性質.如圖6所示,在圖6(a1)的兩個焦散線處的光斑光強在一定范圍內保持不變.在束腰面上,光線的起點與傳輸方向由(2)式確定.圖6(a2)為光束束腰平面內光線傳播的起點分布,圖中使用深藍色點表示處于光束內部的光線端點,由內向外逐漸變綠.由于光線是傾斜的,隨著光束傳輸至z=500μm處,如圖6(a3)所示,內部光線逐漸轉移到光束外部,而光束外部的光線逐漸轉移到光束內部,正是這種光線的轉移使得光束出現了自修復的特性.視頻mov3.avi展示了光線的轉移過程.當遮擋住光束中心位置時(遮擋半徑r<30μm),如圖6(b1)所示,隨著光束的傳輸,光束中心的光斑逐漸恢復.這一被遮擋的光束空間傳播過程用光線表征,如圖6(b2)與圖6(b3)所示.當遮擋住中心的光線(圖6(b2)),隨著光束的傳輸,有來自周圍的光線填補中心光線的空缺(圖6(b3)),使光束自我修復.當遮擋住光束周圍的環形區域(r>30μm),如圖6(c1)所示.由于此時遮擋區域與圖6(b1)的遮擋區域互補,故圖6(c1)的光場與圖6(b1)的光場滿足巴比涅原理[22],即圖6(c1)的光場與圖6(b1)的光場疊加和等于圖6(a1)的光場分布.圖6(c1)中被遮擋光束的光線表征如圖6(c2)與圖6(c3)所示.注意到圖6(c2)與圖6(b2)以及圖6(c3)與圖6(b3)的光線分布也是互補的.與圖6(b2)相反,圖6(c3)中間部分的光線沒有被遮擋,隨著這些光線傳播到z=500μm,光線分布逐漸由內部轉移到外部,如圖6(c3)所示.由于內部光線減少,光束內部的光強也減弱了.此外由于光束發散,光線密度減弱導致光強下降.

圖6 b=1時結構光束的局部無衍射與自修復特性 (a1),(b1),(c1)光束在真空中傳輸yoz截面的光強分布圖,(a1)無遮擋,光線演化過程參考視頻mov3.avi;(b1)遮擋r<30μm的圓形區域;(c1)遮擋r>30μm的區域;(a2),(b2),(c2)與(a3),(b3),(c3)分別為xoy面上光線端點在z=0與z=500μm處的分布圖;光線的分布演化直觀地解釋了光束的自修復特性Fig.6.Non-diffraction and self-healing properties of structured beam with b=1.(a1),(b1),(c1)Are intensity patterns of light beams(in vaccum)in yoz plane:(a1)not blocked,see also mov3.avi;(b1)r<30μm is blocked,the intensity pattern gradually heals under beam propagating;(c1)r>30μm is blocked.(a2),(b2),(c2)and(a3),(b3),(c3)Are ray distribution of beam in z=0 and z=500μm plane,respectively.The evolution of ray distribution gives an intuitionistic explanation of self-healing process.

從光線的角度來看,光束的中心部分的自修復特性是由來自外部的光線填補所產生的.當遮擋了光束周圍區域后,光束失去了自修復能力.其他擁有內焦散線的光束都可以用這種光線的方式來解釋其自修復特性[16].

3.3 b=5的結構光束

選取b=5,a≈27.42,該結構光束見圖7.PED路徑如圖7(a)所示,梅花曲線為五瓣梅花形.其光束焦散線如圖7(b),外焦散線構成光束的輪廓,內焦散線呈十角星狀使光束具有較強的自修復能力.光束束腰面光強如圖7(c),洋紅色曲線為內焦散線,藍色曲線為外焦散線,由于干涉形成了10個主瓣的強度分布.相位分布見圖7(d),光束相位隨方位角變化,則光束具有相位渦旋,其光子攜帶軌道角動量.

圖7 b=5的結構光束 (a)PED內的五瓣梅花曲線,t1和t2曲線分別由深藍色與洋紅色標出;(b)物理盤內橢圓分布及其十角星包絡線;(c),(d)分別為光場束腰面的光強與相位分布;光強在內焦散線附近變強Fig.7.Structured beam with b=5:(a)PED path is a fivepetal plum-blossom curve,t1is deep blue,and t2,magenta;(b)ellipses in the physical disk and their inner envelope curves,which form a decagonal star structure;(c)the intensity pattern;(d)the phase pattern.The intensity near the caustic becomes stronger.

圖8 5瓣梅花曲線構建光場的自修復特性 (a1),(a2)為光束在無遮擋的情況下傳輸;(b1),(b2)遮擋光束中心r<30μm的區域;(c1),(c2)遮擋r>20μm 后的光場傳輸情況Fig.8.Self-healing property of structured beam with b=5:(a1),(a2)Non-blocked;(b1),(b2)r<30μm is blocked;(c1),(c2)r>20μm is blocked.(a2),(c2)demonstrate the self-healing property of this beam.

光束的自修復特性如圖8所示.圖8(a1)表示光束在束腰面的光場分布,這里使用光束束腰面最大光強歸一化光束光強分布.隨著光束傳播一個瑞利距離后,光束發散使得光強明顯減弱(圖8(a2)).當束腰面中心部分被遮擋后如圖8(b1),光強分布中心被遮擋了,在光束傳播一個瑞利距離后如圖8(b2),由于自修復性質,光束中心圖案重新出現,而光束周圍部分由于中心的遮擋逐漸減弱.當束腰面光束中心外部被遮擋后如圖8(c1)所示,由于光束周圍被遮擋,只留下中心光斑.光束傳播一段距離后,如圖8(c2)所示,周圍的光束樣式依然能自修復.而由于光束周圍被遮擋,使得光束中心逐漸消失,同圖6(c3)的分析.由于圖8(c2)的光強較弱,為了方便讀者觀察并沒有做歸一化光強處理.

4 結 論

光線龐加萊球法結合復雜的幾何曲線能設計出形態各異的結構光束,這類光束具有復雜的幾何外形與焦散線結構,擁有一些新奇的傳輸特性,例如自修復特性、局部無衍射特性等.清晰的焦散線形狀使人們能夠更直觀地觀察光束的光斑分布以及預測光束在傳輸過程中的演化.此外光線龐加萊球法還給出了光束的光線描述,賦予了光束自修復性或無衍射性質的幾何光學解釋,使光束的這些特殊性質變得更加直觀.焦散線與光線的幾何關系[23]使得人們能可視化地設計具有這些特殊性質的光束[4,21].由于這些光線均是在實數三維空間傳輸,滿足幾何光線光場的傳輸規則[24].在均勻介質中光線沿著(2)式光線方向直線傳播,并可以結合四元數[25]等空間光線追蹤的方法來表征光束經過一階光學元件,例如ABCD矩陣之后的變換.在非均勻介質下人們亦可通過光線方程以及程函方程(eikonal equation)[13]來描述光束在非均勻介質中的傳輸過程.對于光束經過衍射元件,可結合幾何光學衍射理論[26,27]計算衍射光場.

本文僅僅展示了使用梅花曲線設計的結構光場.由于光線龐加萊球法幾乎可以使用任意滿足量子化條件((5)和(7)式)的PED路徑進行結構光場的設計,除了梅花曲線還可以選擇其他更加復雜的二維曲線作為PED路徑以此設計出光場與相位更加復雜的結構光束.這類具有復雜的光強與相位結構的光束,在激光俘獲與信息傳輸上有潛在的應用價值.由于光線龐加萊球法構建出結構光束束腰面上的復振幅(振幅與相位)分布,人們可以在4f系統中使用空間光調制器生成這類光束,這將為實際應用提供極大的便利.