像散Bessel光束自重建特性的理論和實驗研究?

楊艷飛 陳婧 吳逢鐵 胡潤 張惠忠 胡漢青

(華僑大學信息科學與工程學院,福建省光傳輸與變換重點實驗室,廈門 361021)

(2018年7月25日收到;2018年10月2日收到修改稿)

1 引 言

自1987年第一束無衍射Bessel光束[1]被提出以來,便引起了廣泛關注.因該光束具有無衍射、自重建等特性,使得它被有效應用于粒子微操控[2,3]、量子通信[4]、醫學成像等[5]領域.近幾年,對Bessel光束的研究仍不斷深入,如Luo課題組[6,7]提出了介電超表面的Bessel光束的產生和調控技術;陳歡等[8]提出了基于Pancharatnam-Berry相位調控產生Bessel光束;Rao和Samanta[9]提出了利用不同階的空心高斯光束入射軸棱鏡產生Bessel光束.然而對無衍射光束的研究中發現,在實驗光路的構建過程中,由于光學元件(軸棱錐)的加工誤差,或者操作不當使得光路失去準直,導致光束傾斜入射到光學元件,引起像散,這些均會導致軸棱錐后的衍射光場發生畸變,從而產生像散Bessel光束.近年來,研究者對像散Bessel光束進行了深入研究.1998年,Zhao和Zhu[10]通過觀察光束斜入射軸棱錐的情況,討論了像散Bessel光束隨入射傾角的變化規律;2003年,Thaning等[11]通過對比斜入射圓軸棱錐和正入射橢圓軸棱錐的情況,最終得到兩束等價的像散Bessel光束;2016年,劉莎等[12]利用像散飛秒Bessel光束在石英玻璃中刻寫出微米量級的雙芯光波導結構,實驗證明該結構有望被用作高靈敏度的差分位移傳感器.特別是吳逢鐵課題組對像散Bessel光束的光學特性做了較全面的研究,如:江新光和吳逢鐵[13]研究了像散對軸棱錐衍射特性的影響,并提出利用可調精密旋轉軸棱錐修正像散;胡潤等[14]通過分析離軸像散對高階Bessel光束的影響,提出了一種檢測拓撲電荷數的簡單方案;楊艷飛等[15]對部分相干像散Bessel光束的產生及其傳輸特性做了進一步的研究.

自2002年Garace-Chavez等[16]創造性地將Bessel光束的自重建特性用于光鑷操控粒子后,人們看到了光束自重建特性用于光學微操作、多層面粒子掃描等[17,18]領域的可能性.此后,各種光束的自重建特性被不斷發現和研究.2008年,Dogariu等[19]從理論和實驗上研究了加速Airy光束的自重建特性,發現Airy光束在傳播過程中具有很強的抗干擾能力;2011年,張前安等[20]通過理論分析和實驗驗證了高階Bessel光束的自重建特性,并提出利用高階Bessel光束構建新型光鑷系統,使光致旋轉成為可能;2015年,李冬等[21]研究了無衍射Mathieu光束經圓形障礙物部分遮擋后光場的自重建過程.

Marcelino課題組[22]曾對利用軸棱錐產生的像散Bessel光束做了相關研究,并通過理論模擬證明了像散Bessel光束具有自重建特性.該文主要介紹了像散Bessel光束的形成及其相關特性,利用幾何光學原理對其自重建特性做了理論模擬,但缺少相應的實驗驗證,且該文只對零階像散Bessel光束的自重建特性做了研究,而未涉及高階像散Bessel光束.本文基于波動光學及菲涅耳衍射積分理論,推導出圓形障礙物后像散Bessel光束自重建過程的一般表達式;理論模擬了零階像散Bessel光束經過軸上圓形障礙物后的截面光強和徑向曲線,可以更清晰地觀察到該光束的自重建過程;詳細分析了障礙物偏離光軸時零階像散Bessel光束的自重建特性,并進一步利用螺旋相位板產生高階像散Bessel光束,驗證了高階像散Bessel光束同樣具有自重建特性.實驗結果和理論模擬相符合.

2 理論分析

根據文獻[14]可知,像散Bessel光束的衍射光場表達式可簡化為

其中,ρ,θ,z為柱坐標變量;k=(2π/λ)為波數;n為折射率;γ為軸棱錐底角;η為軸棱錐的偏轉角;m為拓撲電荷數.

為了研究像散Bessel光束的自重建特性,考慮將障礙物置于軸棱錐后z=L處,則初始平面處的光場為

假設障礙物具有高斯型振幅吸收特性,則障礙物的振幅透過率函數可以表示為

(3)式中,(ρ,θ)為z=0平面上的極坐標位置;(ρ0,θ0)為圓形障礙物的中心位置,當ρ0=0時,表示障礙物在軸上;ω表示障礙物吸收特性參數,當ω→0表示不存在障礙物,ω→∞表示完全吸收;A(ρ)用來描述障礙物形狀,當障礙物為圓形時,依據硬邊光闌復高斯展開法,離軸圓形障礙物A(ρ)可展開為

其中a為圓形障礙物的半徑;Aν和Bν均為展開系數,可以通過優化方法獲得;N是展開項數,一般取前10項就能滿足要求.

根據菲涅耳衍射積分理論,障礙物后傳播距離z處的光場可表示為

將(2),(3),(4)式代入(5)式并利用如下公式:

其中Il是l階第一類修正Bessel函數.

經積分化簡計算,并根據巴比涅原理[23],可將(5)式化簡為

其中,

上式中,

利用(9)—(15)式可以求得障礙物后的光強分布式為

3 數值模擬

根據上述理論分析,利用MathCAD模擬像散Bessel光束被圓形障礙物遮擋后的光束傳輸特性. 模擬時,設置入射波長λ=632.8 nm,折射率n=1.458,軸棱錐底角γ=1?,偏轉角η=20?,圓形障礙物的半徑a=0.2 mm,障礙物的高斯吸收參數ω=100 mm,軸棱錐到障礙物的距離L=200 mm,離軸時障礙物的中心位置(ρ0,θ0)=(0.2,3π/2).

零階像散Bessel光束被圓形障礙物遮擋后的傳輸過程如圖1所示.圖1(a)為零階像散Bessel光束截面光斑圖;圖1(b)為障礙物遮擋示意圖;圖1(c)為像散Bessel光束自重建軸向光場分布圖(圓形障礙物置于傳輸距離z=0處).從圖1中可以看出,像散Bessel光束被障礙物遮擋后一小段距離內光束消失,經過一段距離傳輸后(大致在z=80 mm處),像散Bessel光束再次出現,并逐漸恢復成完整的像散Bessel光束.這是由于像散的存在,He-Ne激光器發出的平面波經螺旋相位板和傾斜軸棱錐后發生波前畸變,形成向光軸會聚的畸變的入射錐面波和從光軸出發的畸變的出射錐面波,兩個錐形波面疊加的區域可視為像散Bessel光束區域,當在該區域放置障礙物后,入射錐面波或出射錐面波被遮擋,或者兩者同時被遮擋.在被障礙物遮擋的區域里無法形成像散Bessel光束,但是沒有被遮擋的入射錐面波和出射錐面波繼續傳播后疊加仍會形成新的像散Bessel光束,表明像散Bessel光束經過障礙物傳播一段距離后仍然具有自重建特性.

圖1 (a)零階像散Bessel光束截面光斑圖;(b)障礙物遮擋示意圖;(c)自重建軸向光場分布圖Fig.1.(a)Cross-sectional spot diagram of zero-order astigmatic Bessel beam;(b)diagram illustrating of the occlusion with an obstacle;(c)self-reconstructed axial light field distribution.

根據(10)和(12)式模擬了零階(m=0)像散Bessel光束在無障礙物遮擋時傳輸不同距離處的截面光強,如圖2所示.其中圖2(a)為無障礙物遮擋時的截面光強圖,圖2(b)—(e)分別為傳輸距離在z=0,z=10,z=30,z=80 mm處的截面光強.隨著傳輸距離的增加,光束中心光斑不斷進行分裂,中心光點數目逐漸增多,同時外輪廓尺寸不斷變大.這種光場的裂變主要是由于光路引入了像散,由像散的概念可知,Bessel光束經傾斜軸棱錐聚焦后,其子午細光束與弧矢細光束匯聚后將不在一個點上,因此觀察到的光斑呈現出分裂的點陣狀態.

在像散Bessel光束中心放置半徑a=0.2 mm的圓形障礙物,并由(9)—(16)式模擬零階像散Bessel光束經軸上圓形障礙物后不同傳輸距離處的光強分布和徑向曲線圖,如圖3所示.其中圖3(a)為無障礙物時的光強截面,圖3(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時的光強截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.從圖3中可以看出:像散Bessel光束被圓形障礙物遮擋后,隨著傳輸距離的增加,光束輪廓和內部光點陣列逐漸顯現出來,且光束外輪廓不斷擴大,中心點陣列不斷增多.最終在距離障礙物80 mm處出現完整的像散Bessel光束.從圖2和圖3可以看出,被障礙物遮擋時,傳輸80 mm距離處重新出現的光斑圖3(e)與無障礙物時傳輸相同距離處的光束光斑圖2(e)一致,即光束表現出自重建特性.且對比圖3(a)與圖3(e)可知像散Bessel光束經過障礙物后重建出與障礙物前不同的截面光斑,此重建過程與無衍射Bessel光束的自重建過程不同.

圖2 零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強 (a)無障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.2.Cross section intensity of zero-order astigmatic Bessel beams at different positions:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖3 軸上障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強和徑向曲線圖 (a)無障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.3.Cross section intensity and radial distributions of zero-order astigmatism Bessel beam at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

從對應的徑向光強分布曲線圖中,能夠更清晰地看出障礙物位于中心軸上時零階像散Bessel光束的自重建演變過程.值得注意的是,從圖3(c)和圖3(d)中我們發現了一個新的光學特性:光束在障礙物后10 mm處,豎直方向已經開始重建,而水平方向還未開始;且在障礙物后30 mm處豎直方向已經基本完成重建,而水平方向才重建一部分.由于像散的存在,造成在重建過程中障礙物后的兩束光束干涉受到影響,導致橫向和縱向出現重建速度差.因此,像散Bessel光束在自重建過程中,橫向和縱向的重建速度并不一致,存在一定的速度差.

為了驗證障礙物的位置對像散Bessel光束自重建特性的影響,我們將圓形障礙物沿光束徑向偏離0.2 mm,即設置其中心位置為(ρ0,θ0)=模擬了像散Bessel光束經過離軸障礙物后不同傳播距離處的截面光強,如圖4所示.圖4(a)為無障礙物時的光強截面,圖4(b)—(e)為被離軸障礙物遮擋時的光強截面,其傳輸距離分別為0,1,3,80 mm.從圖4中可以看出,像散Bessel光束經過離軸圓形障礙物后一小段距離內,部分光束被遮擋消失,圓形障礙物清晰可見;隨著傳輸距離的增加,圓形障礙物逐漸消失,像散Bessel光束開始重建,直至障礙物完全消失,像散Bessel光束重建完成.因此,像散Bessel光束在被離軸障礙物遮擋時仍具有自重建現象.與只有一個中心光斑的零階Bessel光束相比,其可操控范圍更大,且能夠同時俘獲更多粒子,有望在多層面多粒子操控方面得到應用.

圖4 離軸障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強 (a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.4.Cross section intensity of zero-order astigmatism Bessel beam at different distances with o ff-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖5 軸上障礙物后高階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強 (a)無障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.5.Cross section intensity of high-order astigmatism Bessel beam at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

進一步模擬了高階像散Bessel光束經過軸上圓形障礙物后的自重建過程,設置參數m=2,即二階像散Bessel光束.不同位置處的截面光強分布如圖5所示,其中圖5(a)為無障礙物時的光強截面,圖5(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時的光強截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.從圖5中可以看出,高階像散Bessel光束同零階像散Bessel光束一樣具有自重建特性,且重建過程中依然表現出豎直方向重建速度先于水平方向.

4 實驗驗證

實驗中我們利用傾斜的軸棱錐產生像散Bessel光束;若在軸棱錐前加入螺旋相位板,即可產生對應的高階像散Bessel光束.實驗裝置如圖6所示,實驗中選擇λ=632.8 nm的He-Ne激光器作為光源,透鏡L1的焦距為f1=15 mm,透鏡L2的焦距為f2=300 mm,透鏡L1和L2組成望遠鏡系統對光束進行準直擴束.光闌直徑為10 mm,螺旋相位板的拓撲電荷數m=2,軸棱錐底角γ=1?,軸棱錐傾斜角η=20?,圓形障礙物的半徑a=0.2 mm,障礙物到軸棱錐的距離L=200 mm.采用工作距離(物距)S=113 mm的SMZ-168體視顯微鏡對不同距離處的截面光強進行觀察并拍攝記錄.

圖6 實驗裝置圖Fig.6.The schematics of the experimental setup.

圖7 軸上障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強實驗圖 (a)無障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.7.Cross section intensity and radial distributions of zero-order astigmatism Bessel beam in experiment at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖7所示為零階像散Bessel光束經過軸上圓形障礙物后不同位置處的光強截面圖,其中圖7(a)為無障礙物時的光強截面,圖7(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時的光強截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.與圖3進行對比,可以看出實驗結果與理論模擬基本符合.此外,圖8離軸障礙物后像散Bessel光束的自重建過程與圖4模擬結果也具有一致性.

圖8 離軸障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強實驗圖 (a)無障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.8.Cross section intensity of zero-order astigmatism Bessel beam in experiment at different distances with o ff-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖9 軸上障礙物后高階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強實驗圖 (a)無障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.9.Cross section intensity of high-order astigmatism Bessel beam in experiment at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

實驗中調節螺旋相位板,使經過望遠鏡系統的準直光束通過螺旋相位板后變成二階Bessel光束,再垂直入射傾斜軸棱錐,產生二階像散Bessel光束;然后經過軸上障礙物遮擋并長距離傳輸,觀察其自重建過程.圖9所示為二階像散Bessel光束經過軸上圓形障礙物后在不同傳輸距離處的截面光強,其中圖9(a)為無障礙物時的光強截面,圖9(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時的光強截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.從圖中可以看到一個完整的自重建過程.與圖5對比,可以看出實驗結果與理論模擬能夠較好地符合.并且由上述的理論模擬和實驗結果能夠說明:我們所推導出的像散Bessel光束經過圓形障礙物后的衍射光場表達式為一般形式,具有普適性.

5 結 論

基于菲涅耳衍射積分理論和巴比涅原理,推導出像散Bessel光束在障礙物后的衍射光場一般表達式,充分分析了像散Bessel光束的自重建過程及其傳輸特性.理論模擬和實驗驗證了零階像散Bessel光束經過軸上和離軸圓形障礙物情況下的傳輸過程,結果表明:這兩種情況下的像散Bessel光束均具有自重建特性;且隨著傳輸距離的增加,像散Bessel光束的外輪廓尺寸變大、中心光點陣列數增多.該特點有別于在傳輸中保持光場不變,中心光斑單一的無衍射Bessel光束,有望應用于多層面多粒子控制.并觀察到一新的光學傳輸特性:光束重建過程中橫向和縱向重建速度并不一致,存在一定的速度差.利用螺旋相位板產生高階像散Bessel光束,驗證了高階像散Bessel光束同樣具有自重建特性.相對于零階的光鑷系統,高階光束不僅可以擴大操控的范圍,而且還可利用光束攜帶的軌道角動量來實現光致旋轉,對微粒子操控更加靈活.該研究通過理論和實驗證明了像散Bessel光束的自重建特性,拓寬了像散Bessel光束的研究范圍;研究結果在光學微操控等領域具有一定的實際意義和應用價值.