Lebesgue測度的介值定理及其應用

路慧芹,路婕

(山東師范大學數學與統計學院， 山東 濟南 250014)

1 引言

Lebesgue測度是建立Lebesgue積分的理論基礎。 在實變函數教科書中, 均給出了Lebesgue測度具有的一般性質, 如非負性、單調性、可列可加性等。 作為對Lebesgue外測度性質的補充, 謝天夏等[1]研究了Lebesgue外測度可列可加性的充要條件，張天德等[2]給出了中有界集的Lebesgue外測度具有介值性質。 本文利用連續函數的介值性(參見文獻[3-5])及Lebesgue測度的單調性(參見文獻[6])，給出了RN中的任一可測集的Lebesgue測度均具有介值性質, 并把所得結果用來討論Lebesgue積分的性質, 證明了積分絕對連續性的逆命題也是成立的。

2 主要結果

定理1 設E為R1中的可測集，0

證明因為E為R1中的可測集，故有E?(-∞,+∞)，定義函數

f(x)=m(E∩(-∞,x]),x∈(-∞,+∞)。

f(x2)=m(E∩(-∞,x2])≥m(E∩(-∞,x1])=f(x1),

且

f(x2)-f(x1) =m(E∩(-∞,x2])-m(E∩(-∞,x1])

=m((E∩(-∞,x1])∪(E∩(x1,x2])-m(E∩(-∞,x1])

≤m(E∩(-∞,x1])+m(E∩(x1,x2])-m(E∩(-∞,x1])

=m(E∩(x1,x2])≤m((x1,x2])=x2-x1，

于是，我們有

|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,?x1,x2∈(-∞,+∞)。

因此，f(x)是(-∞,+∞)上的連續函數，由連續函數的介值定理知，存在x0∈(-∞,+∞),使得f(x0)=c.令E1=E∩(-∞,x0],則有mE1=c。

定理2 設E為R2中的可測集，0

證明(1) 首先，我們證明：?ε>0,?半開區間I?R2,s.t.m(E∩I)>mE-ε。

(2)其次， 我們證明：對R2中任意的半開區間I=(a1,b1]×(a2,b2],定義二元函數

f(x,y)=m(E∩((a1,x]×(a2,y])),(x,y)∈I，

則f(x,y)在I上連續。事實上，對任意的(x,y1)∈I，(x,y2)∈I,不妨設y1

f(x,y2)=m(E∩((a1,x]×(a2,y2]))≥m(E∩((a1,x]×(a2,y1]))=f(x,y1),

且

f(x,y2)-f(x,y1) =m(E∩((a1,x]×(a2,y2]))-m(E∩((a1,x]×(a2,y1]))

=m(E∩((a1,x]×(y1,y2]))

≤m((a1,x]×(y1,y2])

≤(b1-a1)(y2-y1)。

于是，我們有

|f(x,y2)-f(x,y1)|≤(b1-a1)|y2-y1|,?(x,y1)∈I,(x,y2)∈I。

同理可證，|f(x2,y)-f(x1,y)|≤(b2-a2)|x2-x1|,?(x1,y)∈I,(x2,y)∈I。

即，f(x,y)在I上對每一個變元都滿足李氏條件。對任意的(x,y)∈I，(x0,y0)∈I,我們有

|f(x,y)-f(x0,y0)| ≤|f(x,y)-f(x,y0)|+|f(x,y0)-f(x0,y0)|

≤(b1-a1)|y-y0|+(b2-a2)|x-x0|,

由此易知，f(x,y)在I上連續。

注：類似于定理2的證明過程，我們可以證明，對于RN(N>2)上的可測點集E的Lebesgue測度同樣具有類似于定理2的介值性定理。 于是我們有下述一般性結果。

定理3 (Lebesgue測度的介值定理) 設E為RN(N∈)中的可測集，0

3 應用

所以，f(x)在E上可積。