組合數學課程教學改革與實踐

張大坤，史一葦，任淑霞

（天津工業大學 計算機科學與軟件學院，天津　300387）

0　引言

計算機科學與技術的興起帶動了組合數學的發展，組合數學可以說是計算機科學與技術的基礎，在國外已成為十分重要的學科。兩者的有機結合能在很大程度上解釋并運用在一些學科交叉領域。廣義上的“組合數學”就是大學離散數學，狹義的“組合數學”則是滿足研究一定條件組合的模型的存在、計數和構造等方面的問題[1]。

計算機相關的研究生不了解組合學和其他應用學科之間的關系，非計算機專業的學生也很難把該學科與計算機科學與技術相關聯。理解并掌握如何使用組合數學來解決其他學科的問題，以及如何使用其他學科來解決一些組合數學問題將成為學科趨勢。一些論文研究了組合數學在某個方向上的應用。一些論文介紹了組合構造算法的設計，但他們還沒有發現組合數學在組合數學中的應用。教學改革是“發現問題，解決問題，再發現問題，解決問題”的循環過程。其中，找到問題是關鍵，解決問題才是關鍵[2]。

1　組合數學課程的教學問題和現狀

目前，由于互聯網的高速發展，各種新型的高效課堂模式運應而生。組合數學在計算機科學與技術學科中的課堂教學模式也有了很大的突破，但是僅僅能滿足課堂的教學需求，在學科交叉，特別是優秀的教材安排，課程設計，師資隊伍，信息交流，等學科建設等方面還存在很大差距。這一點上到目前還不能滿足計算機科學與技術學科教學科研型學生的課業需求。隨著計算機科學與技術的課程體系的不斷完善，作為公共基礎課的組合數學課程，問題不斷顯現，需要去解決和優化。

1.1　教學內容陳舊

組合數學的研究的對象就是離散構形的問題，以組合計數為重點，介紹了組合數學的基本原理和思想方法，包括組合數學基礎，母函數及其應用，遞推關系，容斥原理，抽屜原理和瑞姆塞（Ramsey）理論，波利亞（Polya）定理等一些基本原理，并對符合一定條件的計數及構造和組態對象等方面的問題進行研究與分析。象構形的構形計數問題、存在性問題、形的最優化問題等等[3]。

組合數學在課程設計中存在很多的定義，復雜的公式概念，難以證明的定理公司，難以理解的問題等。比如最典型的四色猜想問題和船夫過河問題。在一定的程度上，導致教學難點高提高，理論與實際脫軌，學生沒有辦法真正去理解組合數學中的思想就更不用說與計算機科學與技術的學科交叉。在解決實際問題中就沒有辦法很好的結合組合數學。

通過查閱前人文獻看出，組合數學教學方法都是基于概念，定理，定義，課堂設計的很大部分時間都是用來證明其概念，定義，定理。這主要是由于教學教師的結合主要是數學教師。然而，這種基于概念定理的教學方法并不適用于組合數學課程，這使得學生認為組合數學課堂和研究變的很枯燥乏味。其次，關于學生學習程度的檢驗方式還是傳統的考試。考試的主題主要還是平時的定義定理和一些課堂練習[4]。

我們學校的大量相關的專業的研究生學習組合數學課程。本課程主要是研究組合數學中的各種算法與計算機科學與技術學科貼切，從而來發展他們通過學習組合數學課程來解決計算機類的問題，并且鍛煉他們的編程能力和動手操作能力。在教學的內容方面，我校組合數學教學的關鍵點是引入知識圖譜和組合數學的定義定理的證明。在組合數學的前沿與計算機科學與技術的交叉學科引入研究課題相對較少，并且不會激勵學生在學習后進行創造性思考。

1.2　組合數學教學沒有很好地體現學科之間的滲透思想

組合數學課程起源于不同學科的發展，在很大程度上具有跨學科性和相互滲透性的特點。計算機的出現和發展給組合數學帶來了新的靈感，組合數學因此得到了快速的發展，改變了傳統數學中代數和分析占領導地位的局面。組合數學的研究內容主要是要滿足一定條件的組態，因此組合數學的研究對象都是按照某種規則的安排。一切的推理發現，不管是否能用語言描述，都能歸納為如數、聲、字、色等這些元素經過某種組合的有序集合。組合數學提供的方法和理論也適應于不同的學科建設，特別是本學校的計算機科學與技術和通信科學工程專業[5]。

這些學科體系的發展和完善為組合數學提供了新的概念，新的課題，新的挑戰，新的研究目標和新的研究方法，充分促進了組合數學理論的發展，并且也豐富了其他學科的內容。但由于專業教師定位的局限性（基本上是數學教師講授），本文的教學主要集中在組合數學的定義概念理論基礎，大都是一些枯燥的教學，有的學生不得不為了學分選修這類課程。

1.3　組合數學教學改革缺乏創新思維

到目前為止，我校在教育改革上得到了教育部和學生充分的肯定和認可，我校研究生教育也在高速發展，對綜合數學課程知識越來越重視。組合數學課程的重要性不斷攀升。但是，由于師范教育基本滿足本科教學模式優化的需要，也不利于反思這門課程的教育意義和跨學科，教材的例子已經過時。形式上陳舊固化跟不上時代節奏，并且專業性和學科交叉性不足，很少能解決研究生本專業的問題。

根據學生課堂表現和反饋，組合數學的改革提到了日程。學校也高度重視 “組合數學”課程的學科間的交叉性建設，重點開展“數學及其應用”專業性建設的課程，從而在優化組合數學的課程結構，要有針對性對各類開設本專業課的專業進行調研和適應，從而豐富組合數學在其他學科的應用，最終能實質上解決研究生在本專業的研究生存在的問題[6]。

2　數學教學改革的思考與探索

2.1　教學改革

“算法分析與設計”， “人工智能”，“算法復雜性分析”， “復雜網絡優化”，運籌規劃與控制，“信號分析”等研究生后續課程預備課程的“組合數學及其應用”等等。為了回應學校的“組合數學及其應用”課程，課程的特點是大量的概念，獨特和不斷變化的論證方法，加上短時間的課程，這些都是優秀高校本科生課程體系建設中才會涉及到的課程，一些學生由于（本科階段）基礎參差不齊，跨專業性大，導致教學難點加大。

2.1.1求同存異，根據自己的能力教學生

作為研究生一年級必修的公共基礎課，面向不同的水平，不同專業的學生，增加學科交叉性，是本文的必然的選擇。“尋求學科交叉性”有兩層含義：第一，雖然學生有不同的情況，但選修課應該有一個基本的公開要求，有一個最低標準。這是要求學生掌握組合數學的基本概念和結論。第二，找出學生選擇課程的共同點。因此，在課堂上，學生最感興趣的是那些有趣的應用，而更專業的應用則是指學生可以閱讀文獻以理解和學習的方向。

2.1.2專業要求，課堂教學

組合學作為我們大學研究生共同的基礎課程，不同職業對于它的需求和基礎是不同的。因此，該研究組試圖通過對不同專業開展學科交叉研究豐富組合數學的學科基礎，提升學生的學習質量以達到有針對性的目標。具體的想法是通過調查以前學生選修課的情況和畢業生領導班子的調查，了解相關院校“組合數學及其相關專業學生的應用”相關課程的基本要求和專業要求。一位有代表性的大師級導師然后根據不同的專業需求，研究小組將進行小組準備和小組教學，數學知識的整體解讀的基本組合，小組教學內容的不同專業需求，最簡單的操作方法是要求根據課程和研究需要讓學生選擇合適的專業。此外，本文試圖舉辦研討會和研討會來回答和討論學生問題。有些學生可以回答問題并提供參考，以滿足他們對知識的渴望[7]。

2.2　課程體系建設

2.2.1結合主題特征和聯絡邊界主題

基于組合數學的性質和發展的趨勢，尤其是計算機科學與技術的發展趨勢和前沿研究動態，本文主要想介紹與本校的學科相關的組合數學學科建設的最新發展，重點強調了計算機科學與技術中的組合數學。增加了Havermann編碼的內容及其應用。以引導學生深入了解和探究，激發學生對創新思維和創新意識的培養，并且把理論運用在自己所研究學科和領域從而解決在研究上遇到的實際問題。

2.2.2滲透學科和加強跨學科交流

由于多年的教學工作經歷和科研的總結，研究組發現，市場上的“組合數學及其應用”教科書中介紹組合數學在交叉學科的科研案例還比較少特別是應用程序。本課題在介紹組合數學的方法定義定理和基本理論基礎上，本課題還將重點介紹組合數學在計算機科學與技術方面的交叉學科的應用，做出一些介紹和增加學科間的滲透。

2.2.3稀釋證明過程，增強實踐能力

組合數學雖然是來自實踐但它也是服務于實踐的。從這個意義上說，本文將把理論和應用放在教科書“數學與應用結合”的重要和平等地位。按照“應用某一應用的定義”的寫作模式，每章的第一部分是定義定理和理論基礎部分，然后是介紹知識的實際運用，組合數學的學科交叉知識的主要應用解決具體問題。對于高度專業化的應用，如通訊指導，計算機或控制指導;對計算機科學應用中的組合數學感興趣的學生可以參考“組合數學和算法分析”等。這將使學生能夠有針對性地結合自己的專業進行學習和討論。并弱化定理證明了重點在于組合數學思想的分析，重點在于這些組合數學算法的實現和應用。

2.3　教材建設

組合數學教材編寫和建設是課程設計中的一項關鍵性任務。雖然目前使用的教材內容豐富，但是，有很大部分只是純粹的理論基礎，完全不能聯系實際更不要強求學生去解決自己所研究的專業方向上的問題。一定程度上不能滿足我校的研究生教學設計的要求。因此，不僅要考慮本校研究生的水平基礎也要考慮其專業相關性，并且要結合研究生的強烈的求知的欲望，勇于研究探索學科間的交叉性。同時，考慮到各學科學生的需求從而豐富組合數學在其他學科的應用，本研究組正在制定并撰寫適合本學科的教材，內容深度廣泛交叉性強。大學生研究生“組合數學及其應用”課程教材。研究小組試圖在大學生教學實踐的基礎上，編寫一門名為“組合數學及其應用”的新教材，多年設立離散數學，并為研究生設置數學組合。教材具有以下特色。

2.3.1適應時代發展并引入當下各學科前沿話題

根據組合數學的學科基礎和應用，特別是在計算機科學與技術方面的研究和前沿話題等最新研究動態，本文力求介紹研究生開展組合數學課程的專業業界的最新發展狀況，然后結合組合數學，結合計算機發展背景，等等制定屬于其他學科適應的組合數學學科建設。

2.3.2弱化證明，注重應用分析

理論和應用教科書“組合數學及其應用”處于重要和平等的地位[8-10]。根據“定義，定理和應用”寫作模式，每章的第一部分是定義和理論部分，部分知識的應用，主要是組合數學知識在解決具體問題中的應用。對于高度專業化的應用，如通訊指導，計算機或控制指導，本文在本章最后給出閱讀指南。有興趣將組合數學應用于計算機科學的學生可以參考組合數學和算法分析。

3　結論

組合數學課程具有嚴謹的基礎理論，強大的系統，高度抽象的，靈活的方法，強調算法和經過驗證的方法。